Resistência dos Materiais. Escola Estadual de Educação Profissional - EEEP. Curso Técnico em Edificações

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1 Escola Estadual de Educação Profissional - EEEP Curso Técnico em Edificações

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3 Governador Cid Ferreira Gomes Vice Governador Francisco José Pinheiro Secretária da Educação Maria Izolda Cela de Arruda Coelho Secretário Adjunto Maurício Holanda Maia Secretário Executivo Antônio Idilvan de Lima Alencar Assessora Institucional do Gabinete da Seduc Cristiane Carvalho Holanda Coordenadora de Desenvolvimento da Escola Maria da Conceição Ávila de Misquita Vinãs Coordenadora da Educação Profissional SEDUC Thereza Maria de Castro Paes Barreto

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5 CURSO TÉCNICO INTEGRADO EM EDIFICAÇÕES DISCIPLINA DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO E ANÁLISE DE TENSÕES E DEFORMAÇÕES INTRODUÇÃO EXERCÍCIOS PRESSUPOSTOS E HIPÓTESES BÁSICAS DA RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Continuidade Física Homogeneidade Isotropia Equilíbrio Pequenas Deformações Saint-Venant Seções Planas Conservação das Áreas Lei de Hooke Princípio da Superposição de Efeitos OBJETIVO TIPOS DE CARGAS CARGA CONCENTRADA CARGA DISTRIBUIDA CARGAS PERMANENTES CARGAS ESTÁTICAS CARGAS ACIDENTAIS CARGAS MÓVEIS ESFORÇOS EXTERNOS CARGAS CONCENTRADAS CARGAS DISTRIBUIDAS FORÇA DE TRAÇÃO E COMPRESSÃO ESFORÇOS INTERNOS MOMENTOS

6 5.1.1 Momento Fletor Momento Torsor CISALHAMENTO (FORÇAS CONSTANTES) TIPOS DE ESTRUTURA ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS TIPOS DE APOIO PRIMEIRO GÊNERO ESTÁTICO SEGUNDO GÊNERO ESTÁTICO TERCEIRO GÊNERO ESTATICO CALCULO DAS REAÇÕES CONVENÇÕES EXEMPLOS DIAGRAMA DO MOMENTOFLETOR DIAGRAMA DE ESFORÇO CONSTANTE EXERCÍCIOSDE FIXAÇÃO EXERCÍCIOSDE FIXAÇÃO RESISTÊNCIA MOMENTO DE INÉRCIA DE UMA FIGURA PLANA QUALQUER EM RELAÇÃO A UM EIXO QUALQUER EXERCICIOS GERAIS BIBLIOGRAFIA...54 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Jayme Ferreira da Silva Jr. Timoshenko volume 1 e 2 Alerson Moreira da Rocha RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 4

7 1 INTRODUÇÃO A ANÁLISE DE TENSÕES E DEFORMAÇÕES 1.1 INTRODUÇÃO Um conceito da grandeza tensão pode ser encarado como uma extensão do conceito da grandeza pressão. Imaginemos o sistema de êmbolos apresentado abaixo: Utilizando-se os conceitos de física, pode-se dizer que a pressão P no interior do duto é constante e tem valor: onde F1 e F2 são as forças aplicadas nas extremidades e A1 e A2 são as áreas da seção transversal do duto onde são aplicadas F1 e F2, respectivamente. Os macacos hidráulicos são aplicações diretas da equação acima, pois com uma pequena força aplicada na extremidade 2 do sistema de êmbolos afim de se produzir uma força de magnitude considerável na extremidade 1, dependendo da razão entre as áreas A1 e A2. Algumas conclusões já podem ser obtidas analisando a grandeza pressão: Sua unidade de medida será: unidade de força dividida por unidade de área. No Sistema Internacional de Unidades (SI): Pa (Pascal) = N/m 2. Como 1 Pa representa uma pressão relativamente pequena 1 normalmente se utiliza prefixos do tipo kilo (10 3 ) ou mega (10 6 ). Exemplos: 10 MPa, 45 kpa, etc. O módulo da pressão é o mesmo no interior do duto, mas a direção e sentido não.pode-se dizer então que a pressão é uma grandeza vetorial. A direção da força F2 gerada no sistema de êmbolo é sempre a mesma da pressão atuante na seção 2, e esta direção é sempre normal a superfície do êmbolo. Porque surgiu pressão no interior do duto? A resposta é simples: Sempre que se tenta movimentar uma massa de fluido e existem restrições ao deslocamento, surgem as pressões. Assim sendo, no caso do êmbolo da figura 1, se não existir resistên- 5

8 cia na seção 2, o fluido entraria em movimento acelerado e escoaria sem o surgimento de pressões internas. Em outras palavras, é preciso que haja confinamento (pressão positiva) ou aumento do volume dos dutos (pressão negativa). Um raciocínio análogo pode ser aplicado aos sólidos. Supondo que se exerça uma força F sobre um sólido qualquer conforme figura abaixo. Da mesma maneira que nos fluidos, têm-se duas possibilidades: ou o sólido entra em movimento ou, no caso onde existam restrições ao deslocamento (como no exemplo da figura 2), surgem o que nos sólidos se denominam tensões. A grande diferença entre sólidos e fluidos pode ser observada na figura 1.3: Em ambos os casos na figura surgirão pressões (para o fluido) e tensões (para o sólido) quando se aplica a carga F1 (direção axial do tubo). Entretanto, quando se aplica a carga F2 (transversal ao tubo) pode-se verificar que o fluido não oferece a menor resistência ao corte ou cisalhamento, porém no sólido isso não acontece. Esta diferença motivou os pesquisadores a estudarem os sólidos e os fluidos em duas grandes áreas do conhecimento: 6

9 Mecânica dos Sólidos e Mecânica dos Fluidos. Então, diferentemente dos líquidos, as tensões em um sólido podem ocorrer de duas formas: Tensões normais: Estas tensões são resultados de um carregamento que provoca a aproximação ou o afastamento de moléculas que constituem o sólido. E o caso do carregamento F1 da figura 1.3. Tensões cisalhantes ou tangenciais: Estas tensões são resultado de um carregamento que provoca um deslizamento relativo de moléculas que constituem o sólido. É o caso do carregamento F2 da figura EXERCÍCIOS 7

10 1.3 PRESSUPOSTOS E HIPÓTESES BÁSICAS DA RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS A é uma ciência desenvolvida a partir de ensaios experimentais e de análises teóricas. Os ensaios ou testes experimentais, em laboratórios, visam determinar as características físicas dos materiais, tais como as propriedades de resistência e rigidez, usando corpos de prova de dimensões adequadas. As análises teóricas determinam o comportamento mecânico das peças em modelos matemáticos idealizados, que devem ter razoável correlação com a realidade. Algumas hipóteses e pressupostos são admitidos nestas deduções e são eles: Continuidade Física A matéria apresenta uma estrutura continua, ou seja, são desconsiderados todos os vazios e porosidades. 8

11 1.3.2 Homogeneidade O material apresenta as mesmas características mecânicas, elasticidade e de resistência em todos os pontos Isotropia O material apresenta as mesmas características mecânicas elásticas em todas as direções. Ex: As madeiras apresentam, nas direções das fibras, características mecânicas e resistentes distintas daquelas em direção perpendicular e, portanto não é considerado um material isótropo Equilíbrio Se uma estrutura está em equilíbrio, cada uma de suas partes também está em equilíbrio Pequenas Deformações As deformações são muito pequenas quando comparadas com as dimensões da estrutura Saint-Venant Sistemas de forças estaticamente equivalentes causam efeitos idênticos em pontos suficientemente afastados da região de aplicação das cargas Seções planas A seção transversal, após a deformação, permanece plana e normal à linha média (eixo deformado) Conservação das áreas A seção transversal, após a deformação, conserva as suas dimensões primitivas Lei de Hooke A força aplicada é proporcional ao deslocamento. F = k.d Onde: F é a força aplicada; k é a constante elástica de rigidez e d é o deslocamento Princípio da Superposição de efeitos Os efeitos causados por um sistema de forças externas são a soma dos efeitos produzidos por cada força considerada agindo isoladamente e independente das outras. A fim de compensar as incertezas na avaliação das cargas, na determinação das propriedades dos materiais, nos pressupostos ou nas simplificações, é previsto nas Normas Técnicas a adoção de coeficientes de segurança. Consiste em se majorar as cargas e se reduzir a resistência dos materiais. Os diversos critérios adotados para escolha dos coeficientes de segurança adequados são estudados ao longo do curso de Engenharia Civil. 9

12 Adota-se neste texto um coeficiente de segurança único que reduz a capacidade de carga da estrutura. 2 OBJETIVO Estudar os esforços internos e externos que atuam nas peças de uma construção de modo a resolver os problemas. Fig. 2 3 TIPOS DE CARGA 3.1 CARGA CONCENTRADA: Se apóiam em pequenas áreas e podem ser consideradas como apoiadas em um ponto. Fig

13 3.2 CARGA DISTRIBUIDA: Se apóiam em grandes áreas, podendo ser uniformes ou variadas. Fig. 3.2 Fig CARGAS PERMANENTES: Atuam durante toda a vida da estrutura, sem mudar de valor. 3.4 CARGAS ESTÁTICAS: Atuam em cargas paradas, não sofrem efeito de impacto. 3.5 CARGAS ACIDENTAIS: Cargas móveis sofrem efeito de impacto, podendo ou não mudar de valor. 3.6 CARGAS MÓVEIS: Carga acidental 4 ESFORÇOS EXTERNOS 4.1 CARGAS CONCENTRADAS 4.2 CARGAS DISTRIBUIDAS 4.3 FORÇA DE TRAÇÃO E COMPRESSÃO 5 ESFORÇOS INTERNOS 5.1 MOMENTOS Momento Fletor ( Ma = F x d) 11

14 Fig Momento Torsor Fig CISALHAMENTO (FORÇAS CONSTANTES) Fig TIPOS DE ESTRUTURAS 6.1 ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS N de Eq. N de incógnitas 12

15 Fu = 0 Fv = 0 M = ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS N de Eq. N de incógnitas 7 TIPOS DE APOIO Entendemos como apoio qualquer estrutura que impeça o deslocamento. 7.1 PRIMEIRO GÊNERO ESTÁTICO Só impede o deslocamento vertical Símbolo Fig SEGUNDO GÊNERO ESTÁTICO Impede o deslocamento vertical e horizontal, mas permite a rotação. Fig

16 7.3 TERCEIRO GÊNERO ESTÁTICO Fixa totalmente a peça, impedindo o deslocamento horizontal, vertical e a rotação. Fig CÁLCULO DAS REAÇÕES 8.1 CONVENÇÕES Fig EXEMPLOS Exemplo 1 Fig

17 a) Fv = 0 R A + R B = 0 R A + R B = 8t 4 + R B = 8 R B = 4t b) M B = 0 R A x 6 2 x 5 4 x 3 2 x 1 = 0 6 R A = 0 R A = 24 6 R A = 4t Exemplo 2 Fig a) F V = 0 R A + R B = 0 R A + R B = 10 4,8 + R B = 10 R B = 5,20t b) M B = 0 R A x 5 2 x 4 4 x 3 4 x 1 = 0 5R A = R A = 24 R A = 4,80t 15

18 Exemplo 3 Fig Sen 30 = 0,50 Cos 30 = 0,87 a) F V = 0 R A + R B 2 4.sen 30-2 = 0 R A + R B = 6t R A = 6 3,67 R A = 2,33t b) M B = 0 R HA + 3,87 = 0 R HA = 3,87t Ou c) M A = 0-2 x 7 + R B x 6 4.0,5 x 3 2 x 1 = R B 6 2 = 0 6R B = 22 R B = 3,67 t d) M B = 0 R A x 6 2 x 5 2 x x 1 = 0 6R A = 14 R A = 2,33t 16

19 Exemplo 4 Fig a) F V = 0 b) F H = 0 R A + R B = 0 H A = 4t R A + R B = 10t c) M B = 0 R A x 5 x 4 x 5 2 x 3 4 x 5 4 x 3 = 0 5R A = 0 R A = 18 5 R A = 3,60t e R B = 6,40 t Exemplo 5 Fig

20 a) F V = 0 b) F H = 0 R A + R B = 0 H A , = 0 R A + R B = 12t H A + 5,48 6 = 0 R B = 6,12t H A = 0,52t c) M B = 0 R A x 5 + 0,52 x x x 2 4 x 5-6 x 2 3,48 x 2 = 0 5R A + 1, ,96 = 0 R A = 5,88t Exemplo 6 a) F V = 0 b) F H = 0 R A + R B = 0 R HA = 0 R A + R B = 12t R HA = 2t R B = 5,20t c) M B = 0 R A x x 2-2 x 5 4 x 3-4 x 4 = 0 5R A = 0 5R A = 34 R A = 34 5 R A = 6,80t Fig

21 Exemplo7 Fig a) F V = 0 b) F H = 0 R A + R B = 0 H B = 0 R A + R B = 8t H B = - 2t R B = 7,50t c) M B = 0 R A x x 6-4 x 4 2 x 2-2 x 3 = 0 4R A = 0 4R A = 2 R A = 2 4 R A = 0,50t * Calcular as reações Exemplo 8 Fig

22 a) F V = 0 R A + R B = 0 R A + R B = 16t R B = 8t b) M B = 0 R A x 6-4 x 5-2 x 4 4 x 3-2 x 2 4 x 1= 0 6R A = 0 6R A = 48 R A = 48 6 R A = 8t Exemplo 9 a) F V = 0 R A + R B = R A + R B = 22t R B = 8,83t Fig b) M B = 0-2 x 7 + R A x 6-6 x 5,50-2 x 4 12 x 2 = 0 6R A = R A = 79 R A = 79 6 R A = 13,17t 20

23 Exemplo 10 Fig a) F V = 0 R A + R B = 24t R B = 11,40t b) M B = 0 R A x 5 2 x 6 6 x 4,5 2 x 4 6 x x 1 2 x 3 = 0 5R A R A = 12,60t Exemplo 11 Fig

24 a) F V = 0 R A + R B = 8t R B = 5,33t b) M B = 0 R A x x 3 4 x 1 4 x 2 4 x 1 = 0 3R A = 8 R A = 2,67t Exemplo 12 a) F V = 0 b) F HA = 0 R A + R B = 0 H A + 2 = 4 R A + R B = 8t H B = 2t R B = 7,50t c) M B = 0 R A x x x 0,5 4 x 1,5-2 x 1 2 x 1 = 0 3R A , = 0 R A = 3,50t Fig

25 9 DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR Definição: É igual ao somatório de todos os momentos fletores, de um mesmo lado da seção. Convenções: Fig. 9.1 R A + R B = 2P // R A = 2P = P Fig MFs = P x l y = a. x ( Carga concentrada ) R A = P e R B = P Fig

26 MFs = q. l x l - q. l x l = MFs = q. l 2 - q. l 2 = 4 8 MFs = 2q.l 2 q.l 2 8 MFs = q. l 2 e y = a. x 2 8 Exemplos Traçar os diagramas de momento fletor das estruturas. Fig. 9.4 Fig. 9.5 M F1 = 4 x 1 = 4tm // M F2 = 4 x 3 2 x 2 = 8tm // M F3 = 4 tm Fig. 9.6 Fig. 9.7 Nas extremidades da peça o momento é zero! 24

27 M FA = M FB = 0 M F1 = 6 x 2 4 x 1 = 8tm M F2 = 6 x 3 4 x 2 = 10tm M F3 = 6 x 2 4 x 1 = 8tm Fig. 9.8 Fig. 9.9 a) F V = 0 R A + R B = 17t R B = 7,50t M B = 0 R A x 6-4 x 5-2 x 4-12 x 2 2 x 1 = 0 6R A = 0 R A = 9t R B = 11t M FA = M FB = 0 M F1 = 4 x 2 4 x 1 M F1 = 14tm M F2 = 11 x 1 3 x 0,5 M F2 = 9,5tm Fig Fig

28 a) F V = 0 R A + R B = R B = 11,50t b) M B = 0-2 x 5 + R A x 4-6 x 3,5-4 x 2-6 x x 0,5 + 2 x 1 = R A = 0 4R A = 42 R A = 10,50t c) M F1 = M F3 = 0 M FA = - 2 x 1 2 x 0,5 = - 3tm M F2 = M F2 = 6tm M FB = - 2 x 5 6 x 3,5 + 10,50 x 4 4 x 2 M FB = M FB = 3tm E = 0 d) M C1 D = -2t E = = -4t M CA D = ,50 = 6,50t E = 6,5t 4 = 2,50t M C2 D = 2,50-4 = - 1,50t M CB E = -1,50-6 = - 7,50t D = -7, ,50 = 4t E = 4-2 = 2t M C2 D = 2-2 = 0 26

29 Traçar os D.M.F das estruturas Fig a) F H = 0 H A = 0 H A = 4t b) F V = 0 R A + R B = 3, R A + R B = 17,48t c) M B = 0 R A x x 2-4 x 1 3,48 x 5-6 x 3,5 4 x 2-2 x 1 = 0 5R A , = 0 5R A = 44,50 R A = 8,88t R B = 8,60t d) M B = 0 M FA = M FB = 0 M F1 = 4 x 2 4 x 1 M F1 = 4tm M F2 = M F3 = 4 x 4 4 x 3 2 x 2 = = 0 27

30 M F4 = 8,88 x x 4 4 x 3 2 x 2 3,48 x 3 M F4 = 7,20tm M F5 = M F6 = - 2 x 1 = -2tm Fig Fig

31 10 DIAGRAMA DE ESFORÇO CONSTANTE (D. E. C.) Força constante de uma secção Definição: É igual ao somatório de todas as forças perpendiculares à estrutura de um mesmo lado da secção. _ Convenções: Fig _ Diagrama: + - Fig a) F V = 0 R A + R B = 8t E = 0 F A D = 4t E = 4t F C1 D = 4 2 = 2t E = 4 2 = 2t F C2 D = = -2t 29

32 E = -2t F C3 D = 2-2 = -4t M FA = M FB = 0 M F1 = M F3 = 4 x 1 = 4tm M F2 = 4 x 3 2 x 2 = 8tm E = -4t F CB D = = 0 Fig Fig Fig

33 Fig M FA = M FB = 0 M F1 = M F3 = 12tm M F2 = 14 tm E = 0 F CA D = 8t E = 8 4 = 4t F C1 D = 4 2 = 2t F C2 E = 2t D = 4-2 = 2t E = -2t F C3 D = 2-2 = -4t E = = -8t F CB D = = 0 31

34 11 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1 1) Fig a) F V = 0 b) M B = 0 R A + R B = R A x 6 2 x 5 4 x 3 2 x 1 = 0 R A + R B = 8t 6 R A = R B = 4t R A = 24 = 4t 6 2) Fig a) F V = 0 b) M B = 0 R A + R B = R A x 5 2 x 4 4 x 3 2 x 1 = 0 R A + R B = 8t 5 R A = R B = 3,60t 5R A = 22 R A = 22 = 4,40t 5 32

35 3) Fig a) F V = 0 b) M B = 0 R A + R B = R A x 6 2 x 5 2 x x 1 = 0 R A + R B = 6t 6R A = 0 R B = 3,66t 6R A = 14 R A = 14 = 2,33t 6 4) Fig a) F V = 0 b) F H = 0 R A + R B = H A = 4t R A + R B = 10t c) M B = 0 R A x 5 + H A x 5 2 x 3 4 x 5 4 x 3 = 0 5R A = 0 5R A = 18 R A = 18 = 3,60t // R B = 6,40t 5 33

36 5) Fig a) F V = 0 b) F H = 0 R A + R B = H A ,48 = 0 R A + R B = 12t H A 0,52 = 0 H A = 0,52 c) M B = 0 R A x x 2 4 x 5 6 x 2 3,48 x 2 + 0,52 x x 2 = 0 5R A ,96 + 1, = 0 5R A = 29 R A = 29 = 5,88t // R B = 6,12t 5 6) Fig a) F V = 0 b) F H = 0 R A + R B = H A = 0 R A + R B = 12t H A = 8t R B = 5,20t 34

37 c) M B = 0 R A x x 2 2 x 5 4 x 3 4 x 4 = 0 5R A = 0 5R A = 36 R A = 36 = 6,80t 5 7) Fig a) F V = 0 b) F H = 0 R A + R B = H A = 0 R A + R B = 8t H A = 2t c) M B = 0 R A x x 6 4 x 4 2 x 2 2 x 3 = 0 4R A = 0 4R A = 2 R A = 2 = 0,50t // R B = 7,50t 4 35

38 12 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 2 * Traçam os D.M.F e D.E.C 1) Fig a) F V = 0 R A + R B = R A + R B = 20t R B = 11,67t b) M B = 0 R A x 6 6 x 5,5 4 x 3 2 x 2-6 x 0,5 + 2 x 1 = 0 6R A = 0 6R A = 50 R A = 50 = 8,33t 6 M F1 = M F5 = 0 M FA = - 2 x 0,5 = - 1tm M F2 = - 6 x 1,5 + 8,33 x 2 = 7,66tm M F3 = 8,33 x 3 6 x 2,5 = 9,99tm M F4 = - 2 x 3 + 1,67 x 2 6 x 1,5 = 8,34tm M FB = - 2 x 1 2 x 0,5 = - 3tm E = 0 F C1 D = 0 E = 0 2 = -2t F CA D = 2 + 8,33 = 6,33t E = 6,33 4 = 2,33t F C2 D = 2,33t 36

39 F C3 E = 2,33t D = 2,33-4 = -1,67t F C4 E = - 1,67t D = 1,67-2 = -3,67t E = 4 2 = 2t F C5 D = 2-2 = 0t Diagrama do momento fletor: 37

40 Fig a) F V = 0 R A + R B = R A + R B = 20t R B = 10,33t b) M B = 0-2 x 7 + R A x 6 6 x 5,5 2 x 4 2 x 1-6 x 0,5 + 2 x 1 = R A = 0 R A = 4,67t M F1 = M F5 = 0 M FB = M FA = - 2 x 0,5 2 x 1= - 3tm M F2 = - 6 x 1,5 + R A x 2 2 x 3 = ,67 x 2 6 4,34 tm M F3 = 9,67 x 4 6 x 3,5 2 x 2 2 x 5 = 38, x 5= 3,68 tm M F4 = - 2 x 6 + 9,67 x 5 6 x 4,5 2 x 3 2 x 0,5 = , = 2,37 tm E = 0 F C1 D = 0 2t E = = -4t F CA D = 4 + 9,67 = 5,67t E = 5,67 4 = 1,67t F C2 D = 1,67 2 = - 0,33t E = - 0,33t F C3 D = - 0,33t F C4 E = 0,33 2 = - 2,33t D = 2,33-2 = -4,33t 38

41 E = - 4,33 2 = -6,33t F CB D = - 6, ,33 = 4t E = 4 2 = 2t F C5 D = 2 2 = 0 Diagrama do momento fletor: 39

42 Fig a) F V = 0 R A + R B + 2 = R A + R B = 25t R B = 13,07t b) M B = 0-2 x 8 + R A x 7 6 x 6,5 + 2 x 5 9 x 3,5-2 x 3 6 x 0,5 + 2 x 1 = R A , = 0 R A = 11,93t c) M F1 = M F5 = 0 M FB = M FA = - 2 x 0,5 2 x 1= - 3tm M F2 = - 2 x x 1,5 + 11,93 x 2 = ,86 = 8,86 tm M F3 = - 2 x 5 6 x 3,5 + R A x x 2 6 x 1= 14,72 tm M F4 = - 2 x ,93 x 5 6 x 4,5 + 2 x 3 9 x 1,5 2 x 1 = , ,50-2 = 11,15 tm M F4 = ,14 4 = 11,14 tm E = 0 F C1 D = 0 2 = -2t E = = -4t F CA D = ,93 = 7,93t E = 7,93 4 = 3,93t F C2 D = 3, = 5,93t F C3 E = 5,93 6 = - 0,07t D = - 0,07 2 = -2,07t E = - 2,07 3 = - 5,07t F C4 D = 5,07t 40

43 E = - 5,07 4 = - 9,07t F CB D = - 9, ,07 = 4t E = 4 2 = 2t F C5 D = 2 2 = 0 Diagrama do Momento Fletor: 41

44 * Traçar os D.M.F e D.E.C das estruturas: Sen30 = 0,50 Cos30 = 0,87 2.sen30 = 2 x 0,5 = 1t Fig a) F V = 0 R A + R B = 0 R A + R B = 28t b) M B = 0 R A x 7 6 x 6,5-4 x 5 9 x 3,5-2 x x 2 6 x 0,5 + 2 x 1 = 0 7R A , = 0 R A = 95,5 // R A = 13,64 t 7 R B = 14,36t c) M F1 = M F5 = 0 M FA = 2tm M F2 = 13,64 x 2 6 x 1,5 = 27,28 9 = 18,28 tm M F3 = 13,64 x 4 6 x 3,5 4 x 2 = 19,56 tm M F4 = - 2 x ,36 x 2 6 x 1,5 = ,72 9 = 13,72tm M FB = - 2 x 1 2 x 0,5 = -3,02tm D.M.F Fig

45 E = 0 F C1 D = 0 E = - 2t F CA D = ,64 = 11,64t E = 11,64 4 = 7,64t F C2 D = 7,64-4 = 3,64t E = 3,64 6 = - 2,36t F C3 D = - 2,36 2 = - 4,36t E = - 4,36 3 = - 7,36t F C4 D = 7, = - 6,36t E = - 6,36 4 = - 10,36t F CB D = - 10, ,36 = 4t E = 4 2 = 2t F C5 D = 2 2 = 0 D.E.C Fig

46 a) F V = 0 R A + R B 3, = 0 R A + R B = 17,48t b) F H = 0 H A = 0 H A = 4t c) M B = 0 R A x x 1 3,48 x 5 6 x 3,5-4 x 2-2 x 1 = 0 5R A , = 0 R A = 44,4 // R A = 8,88t 5 R B = 8,60t d) M FA = M B5 = 0 M F1 = 4 x 2 4 x 1 = 8-4 = 4tm M F2 = 4 x 4 4 x 3 2 x 2 = = 0t M F2 = M F3 = 0 M F4 = 8,88 x x 4 4 x 3 2 x 2 3,48 x 3 6 x 1,5 = 26, ,44 9 = 7,24 tm M F5 = - 2 x 1 = 2 tm = M F6 44

47 13 RESISTÊNCIA Fig a) R A + R B = R A + R B = 1150 kg b) M B = 0-50 x 5 + R A x x 2,5-100 x 1 = R A = 0 4R A = R A = 2850 // R A = 712,50 kg 4 R B = 437,50 kg c) M F1 = M FB = 0 M FA = - 50 x x 0,5 = kg.m M F2 = 437,50 x x 0,5 = 337,50 kg.m E = 0 F C1 D = - 50t E = = -250 kg F CA D = ,5 = 462,5 kg F C2 E = 462,5-600 = - 137,5 kg D = - 137, = - 237,5 kg E = - 237,5 200 = - 437,5 kg F CB D = - 437, ,5 = 0 45

48 Fig Fig.12.3 F C5 = ,5 200x = 0 x = 662,5 x = 3,31 m 200 M MÁX = M F5 = -50 x 3, ,5 x 2,31 665,5 = 387,25 kg.m 46

49 * Centro de Gravidade de uma Figura Plana Fig * Centro de Gravidade de uma figura plana qualquer Então: x = s i. x i y = s i. y i s T s T Fig Exercícios: Calcular os C.G da figuras dadas: 47

50 Fig Fig

51 Fig Fig

52 14 MOMENTO DE INÉRCIA DE UMA FIGURA PLANA QUALQUER EM RELAÇÃO A UM EIXO QUALQUER Definição: é igual ao somatório do momento de inércia em relação ao C.G paralelo ao eixo dado de cada elemento de área pelo quadrado da distância que separam os dois eixos. Fig Então: Jx = (Jx + Si. y 2 ) Jy = (Jy + Si. x 2 ) Ex: Calcular os M.I em relação aos eixos: x, y, x 1, y 1 x cg, y cg da figura: Fig

53 Jx = b 1 h s 1.y b 2 h s 2.y 2 2 Jx = Jx = ( , ) + ( ) Jx = , Jx = ,33 cm 4 Jy = h. b s 1.x 1 + hb s x.x Jy = Jy = Jy = ( , ) + ( ) Jy = , Jy = ,33 cm 4 Fig

54 15 EXERCÍCIOS GERAIS 1) Calcular a altura da secção para suportar as tensões máximas e iguais de tração e compressão com valor de 4,83 kg/cm 2. Fig. 14 2) Calcular o momento fletor máximo da estação abaixo. Fig. 15 3) Traçar os D.M.F e D.E.C da estação abaixo. Fig

55 4) Calcular os M.I em relação aos eixos: xcg e ycg da figura abaixo: Fig

56 ANOTAÇÕES GERAIS 54

57 BIBLIOGRAFIA Jayme Ferreira da Silva Jr. Timoshenko volume 1 e 2 Alerson Moreira da Rocha Notas de aula 55

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59 Hino Nacional Hino do Estado do Ceará Ouviram do Ipiranga as margens plácidas De um povo heróico o brado retumbante, E o sol da liberdade, em raios fúlgidos, Brilhou no céu da pátria nesse instante. Se o penhor dessa igualdade Conseguimos conquistar com braço forte, Em teu seio, ó liberdade, Desafia o nosso peito a própria morte! Ó Pátria amada, Idolatrada, Salve! Salve! Brasil, um sonho intenso, um raio vívido De amor e de esperança à terra desce, Se em teu formoso céu, risonho e límpido, A imagem do Cruzeiro resplandece. Gigante pela própria natureza, És belo, és forte, impávido colosso, E o teu futuro espelha essa grandeza. Terra adorada, Entre outras mil, És tu, Brasil, Ó Pátria amada! Dos filhos deste solo és mãe gentil, Pátria amada,brasil! Deitado eternamente em berço esplêndido, Ao som do mar e à luz do céu profundo, Fulguras, ó Brasil, florão da América, Iluminado ao sol do Novo Mundo! Do que a terra, mais garrida, Teus risonhos, lindos campos têm mais flores; "Nossos bosques têm mais vida", "Nossa vida" no teu seio "mais amores." Ó Pátria amada, Idolatrada, Salve! Salve! Poesia de Thomaz Lopes Música de Alberto Nepomuceno Terra do sol, do amor, terra da luz! Soa o clarim que tua glória conta! Terra, o teu nome a fama aos céus remonta Em clarão que seduz! Nome que brilha esplêndido luzeiro Nos fulvos braços de ouro do cruzeiro! Mudem-se em flor as pedras dos caminhos! Chuvas de prata rolem das estrelas... E despertando, deslumbrada, ao vê-las Ressoa a voz dos ninhos... Há de florar nas rosas e nos cravos Rubros o sangue ardente dos escravos. Seja teu verbo a voz do coração, Verbo de paz e amor do Sul ao Norte! Ruja teu peito em luta contra a morte, Acordando a amplidão. Peito que deu alívio a quem sofria E foi o sol iluminando o dia! Tua jangada afoita enfune o pano! Vento feliz conduza a vela ousada! Que importa que no seu barco seja um nada Na vastidão do oceano, Se à proa vão heróis e marinheiros E vão no peito corações guerreiros? Se, nós te amamos, em aventuras e mágoas! Porque esse chão que embebe a água dos rios Há de florar em meses, nos estios E bosques, pelas águas! Selvas e rios, serras e florestas Brotem no solo em rumorosas festas! Abra-se ao vento o teu pendão natal Sobre as revoltas águas dos teus mares! E desfraldado diga aos céus e aos mares A vitória imortal! Que foi de sangue, em guerras leais e francas, E foi na paz da cor das hóstias brancas! Brasil, de amor eterno seja símbolo O lábaro que ostentas estrelado, E diga o verde-louro dessa flâmula - "Paz no futuro e glória no passado." Mas, se ergues da justiça a clava forte, Verás que um filho teu não foge à luta, Nem teme, quem te adora, a própria morte. Terra adorada, Entre outras mil, És tu, Brasil, Ó Pátria amada! Dos filhos deste solo és mãe gentil, Pátria amada, Brasil!

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