Sérgio Carvalho Matemática Financeira

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1 Sérgio Carvalho Matemática Financeira Resolução Matemática Financeira ICMS-RJ/2008 Parte Uma rede de lojas, que atua na venda de eletrônicos, anuncia a venda de notebook da seguinte forma: - R$ 1.125,00 à vista em boleto bancário; ou - 3 prestações mensais iguais, sem juros, de R$ 450,00, vencendo a primeira prestação no ato da compra. Embora na propaganda seja utilizada a expressão sem juros, os clientes que escolhem a segunda opção pagam juros ao mês de, aproximadamente: (Utilize, se necessário: raiz de 7=2,646). a) 13,5% b) 20% c) 21,5% d) 19% e) 9,5% Sol.: São duas diferentes formas de pagamento. Não foi dito de forma expressa, mas como se trata de uma venda realizada pelo comércio, fica subentendido que o regime é o composto. Ok? Se usarmos a equivalência composta de capitais, descobriremos qual a taxa de juros embutida na operação a prazo. O desenho da questão é o seguinte: 1.125, 450, 450, 450, Cores diferentes para cada forma de pagamento. Podemos melhorar este desenho? Claro! Como? Fazendo sumir a parcela de entrada. Basta fazer uma conta de subtrair. 675, 450, 450, 1 Repita com fé: Eu Vou Passar

2 Agora, sim! Dando seqüência: se o regime é o composto, podemos escolher qualquer data focal. Que tal a última data do desenho? Ótimo. Teremos, pois, que a equação de equivalência será a seguinte: 675.(1+i) 2 = 450.(1+i) Só isso! Haverá uma única taxa capaz de confirmar esta igualdade! Será exatamente a taxa que estamos procurando! Ok? Se observarmos as opções de resposta, veremos que há, entre elas, as seguintes: 19%, 20% e 21,5%. São bastante próximas! Podemos testar a intermediária (20%), e ver se com isso chegaremos a alguma conclusão. Que tal? 675.(1+0,2) 2??=?? 450.(1+0,2) As interrogações servem para lembrar que estamos fazendo uma pergunta! Um teste! Ok? Vamos às contas. 675 x 1,44??=?? 450 x 1, ??=?? ( ) 972??=?? 990 A resposta é NÃO! Logo, a taxa que procuramos não é 20%. Percebam que o lado que ficou menor que o outro foi o primeiro. Assim, para que ele aumente vamos pensar juntos a taxa terá que ser maior ou menor que 20%? Você responderá: ora, professor, se eu aumentar a taxa, as duas partes da equação aumentarão, e não só a primeira parte. É bem verdade isso! Mas veja que a primeira parte da equação traz o parêntese famoso elevado ao quadrado. Uma elevação da taxa representará um aumento maior na primeira parte da equação que na segunda. Viram? Assim, qual é a única taxa, entre as opções, maior que 20%? Ora, é 21,5%, que é a resposta da questão! Mas já que estamos na chuva, vamos tirar a prova dos nove, e testar os 21,5% na equação de equivalência. 675.(1+0,215) 2??=?? 450.(1+0,215) ,45??=?? 996,75 A resposta é SIM! A diferença de centavos é desprezível. Ademais, a questão falou em aproximadamente! Na hora da prova, não precisaríamos ter feito este últimos cálculos. Bastava analisar! Ok? Próxima! 2 Repita com fé: Eu Vou Passar

3 34. Um banco desconta (desconto simples por fora), dois meses antes do vencimento, promissórias com taxa de desconto de 5% ao mês e exige que 20% do valor de face da promissória sejam aplicados em um CDB que rende 6% nesses dois meses. A taxa bimestral de juros cobrada pelo banco é de, aproximadamente: a) 9,2% b) 12,6% c) 11,1% d) 10,3% e) 18,4% Sol.: Podemos dizer que o valor nominal da promissória seja igual a R$ 100,00 (cem). Ok? Isso ajudará a fazermos contas mais rápidas. Haverá uma operação de desconto simples por fora, e os dados são os seguintes: N=100 ; n=2 meses = 1 bimestre i= 5%a.m. = 10% ao bimestre A=? N D 100 = i. n 100 D x1 D=10 E: A=N-D A=90,00 Se fosse só isso, o desenho da questão estaria pronto! Ocorre que, além das informações do desconto, diz-nos o enunciado que haverá uma retenção de 20% do valor de face, e que este valor será aplicado a juros de 6% ao bimestre. Assim, como o valor nominal (valor de face) da promissória é 100, 20% dele serão iguais a 20. O dono do título, que se dirigiu ao banco para descontar a promissória, levará consigo esses R$ 20,00? Não! Esta quantia ficará lá, no banco, aplicada. É uma exigência do contrato. Assim, aquele valor atual (R$ 90,00) que havíamos calculado sofrerá nova redução. De quanto? De R$ 20,00. Levará quanto para casa? Apenas R$ 70,00. A taxa de juros é de 6% ao bimestre. Se o capital foi de R$ 20,00, os juros no período serão de R$ 1,20. E o montante que ele produzirá, R$ 21,20. Tudo bem até aqui? Pois bem! De quanto era mesmo o valor nominal do título? Era R$ 100,00, conforme adotamos. Para encontrarmos a taxa de juros que o banco utiliza, temos que saber que aqueles R$ 70,00 iniciais irão gerar um valor maior daqui a 2 meses. Quanto? Seriam aqueles R$ 100,00 (valor nominal do título)? Na realidade, os R$ 100,00 terão que ser reduzidos de R$ 21,20. Assim, na data 2m, o valor monetário presente naquela data era de R$ 78,80. 70, 78,80 Assim: 3 Repita com fé: Eu Vou Passar

4 C J 100 = i. n 70 8, = = 100 i 70 7 i i=12,6 %a.b. Resposta! 35. Uma loja oferece a seus clientes duas alternativas de pagamento: I. Pagamento de uma só vez, um mês após a compra; II. Pagamento em três prestações mensais iguais, vencendo a primeira no ato da compra. Pode-se concluir que, para um cliente dessa loja: a) a opção I é sempre melhor. b) a opção I é melhor quando a taxa de juros for superior a 2% ao mês. c) a opção II é melhor quando a taxa de juros for superior a 2% ao mês. d) a opção II é sempre melhor. e) as duas opções são equivalentes. Sol.: Em meu entendimento, questão passível de anulação. O enunciado não forneceu elementos suficientes para concluirmos qual a melhor forma de pagamento. Uma vez que não dispomos de valores numéricos para as parcelas, não há como concluir nada. O enunciado não deixou claro nenhuma relação entre o valor das parcelas referentes às duas formas de pagamento. Não se sabe se uma parcela da segunda alternativa é 1/3 da parcela única da primeira. Ou uma outra fração qualquer. Isso não foi dito pelo enunciado! Pode ser qualquer valor! Como dizer, então, que uma forma de pagamento é melhor que a outra? Questão mal feita, e que precisa ser anulada. 36. Uma dívida é composta de duas parcelas de R$ 2.000,00 cada, com vencimento daqui a 1 e 4 meses. Desejando-se substituir essas parcelas por um pagamento único daqui a 3 meses, se a taxa de juros é 2% ao mês, o valor desse pagamento único é: (Despreze os centavos na resposta) a) R$ 2.122, b) R$ 1.922, c) R$ 4.041, d) R$ 3.962, e) R$ 4.880, Sol.: Questão tradicional de equivalência de capitais. Reparem que o enunciado não falou expressa ou implicitamente nada sobre o regime da operação, se simples ou composto. Neste caso, em que não há nenhum sinal de regime composto presente na leitura, trabalha-se com o simples. Aqui uma curiosidade: uma vez que a taxa da operação é relativamente baixa (2% a.m.) e as distâncias de tempo envolvidas são muito curtas, não vai influenciar muito optar por um regime ou pelo outro. A bem da verdade, as respostas serão praticamente iguais! 4 Repita com fé: Eu Vou Passar

5 Senão vejamos: trabalhemos primeiro considerando o regime composto Adotando como data focal a mais à direita do desenho, a equação de equivalência será a seguinte:.(1+0,02) 1 = 2000.(1+0,02) ,02. = (2000 x 1,061208) = 4.122,42 / 1,02 = 4.041,00 Letra C Resposta! Agora, resolvendo pelo regime simples! Uma vez que o enunciado não disse nada acerca da data focal, somos obrigados a adotar a data zero. Projetando todas as parcelas do desenho para lá, por meio de operações de desconto racional simples, teremos: E x E = =1.960, F x F = =1.851, G x G = 106 =0,943. Daí: 0,943. = 1.960, ,85 0,943. = 3.812,63 =3812,63/0,943 =4.043,00 Resposta! 5 Repita com fé: Eu Vou Passar