Matemática III. IFRS Campus Rio Grande

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1 1.31. Introdução à Matemática Financeira Uma das aplicações das sequências é a Matemática Financeira. odemos associar os dois sistemas monetários com nossas As e Gs! O sistema de juros simples é associado às As e o sistema de juros compostos às Gs. Entre As e Gs, ou seja, entre juros simples ou juros compostos o sistema mais usado é o de juros compostos. No desenvolvimento do trabalho de hoje, tu terás ideia do porquê. Os juros entram no sistema de cobrança ou aplicação de dinheiro. Se pedimos alguma quantia emprestada, seja ao vizinho ou a algum banco ou financeira, quem emprestou o dinheiro deixou de usufruir do seu próprio dinheiro, por isso merece uma compensação. Assim como se não pagamos nossas dívidas no tempo correto, pois o dinheiro se desvaloriza com o tempo, outro fator que colabora com a cobrança de juros. Se aplicamos nosso dinheiro o pensamento se inverte. Aplicar dinheiro em um banco é como ele estivesse tomando nosso dinheiro emprestado e nos deve juros, assim como pela desvalorização do dinheiro. Se coloquei 100 reais hoje na poupança, daqui a um ano se resgatar os mesmos 100 reais, já não podemos comprar as mesmas coisas. Temos que ser recompensados por isso. Juro (J): É o valor a mais que aquele que emprestou o dinheiro receberá pela compensação de ter ficado sem utilizar seu dinheiro e pela desvalorização do dinheiro no tempo. Capital inicial(ci): É o valor inicialmente investido, ou o valor que se pediu emprestado. Taxa de juros (i): É o percentual combinado relativo a compensação e a desvalorização do dinheiro que devemos pagar ao credor (aquele que tem algo a receber). or exemplo, se o empréstimo foi feito a um amigo e ele não quiser compensação que seja cobrado a desvalorização do dinheiro no tempo, assim a taxa de juros usada pode ser o índice de inflação no período. Tempo: Dependendo do investimento ou empréstimo, os juros incidem em períodos de tempo diferentes. or exemplo, quando pagamos uma conta atrasada a taxa de juro é cobrada pelo número de dias que passou do vencimento da conta, assim como quando usamos o limite da conta num banco, ou melhor, quando usamos o empréstimo automático quando gastamos mais dinheiro que a conta do banco possui. Já o rendimento de uma poupança é mensal e se por um acaso retiramos uma certa quantia antes do aniversário mensal da poupança, perdemos o rendimento relativo aquele período. Importante: pela desvalorização do dinheiro só faz sentido comparar quantias na mesma unidade de tempo. Se temos 100 reais hoje, nosso poder de compra pode ser maior que 200 reais seis meses no futuro. Não podemos dizer neste caso que R$ 100 < R$ 200, embora 100 < 200 sempre. ara saber neste caso o que vale mais, R$ 100 hoje, ou R$200 daqui a seis meses aprenderemos a DESLOCAR QUANTIAS NO TEMO. Ou seja, viagens no tempo para o passado e para o futuro são possíveis, desde que quem viaje seja o valor do dinheiro. Montante (Mn): Montante é o capital inicial acrescido dos juros. Se deixarmos 100 reais na poupança no dia 1º de janeiro, este é o capital inicial. O dinheiro que estará na poupança no dia 1º de fevereiro será o M 1, pois terá os 100 reais acrescidos dos juros. O dinheiro que estará na poupança no dia 1º de março será o M 2, e assim por diante. Se retirarmos alguma quantia em 15 de abril perderemos o rendimento de todo o este mês e o valor retirado será descontado do que tínhamos em M 3, referente ao aniversário de 1º de abril Juros simples. O sistema de juros simples é baseado na cobrança da taxa de juros fixo incidindo unicamente ao capital inicial e relacionado a unidade de tempo. 33 Sequências

2 Exemplo:1. Emprestei a quantia de R$200 para meu pai no sistema de juros simples, usando a taxa de juro de 10% ao mês. assado um mês meu pai me devia R$220. assado dois meses, ele ainda não conseguiu me pagar, e assim me devia R$ 240. assado três meses, ele ainda não conseguiu me pagar, e assim me devia R$ 260 reais. A sequência das dívidas (220, 240, 260,...) é uma A de r = Dado capital inicial Ci e taxa de juro i (sem percentual), determine quem é a 1 da A dos montantes, sua razão r e o termo geral da A dos montantes a juros simples Juros Compostos. O sistema de juros composto é bem mais utilizado que os juros simples. Eles se diferenciam porque a taxa de juros fixo de um período para outro incide no montante anterior e não ao capital inicial. M 1 = Ci + J Nesse caso o juro é relativo ao Ci. M 2 = M 1 + J Nesse caso o juro incide em relação ao M 1. M 3 = M 2 + J Nesse caso o juro incide em relação ao M Exemplos: Use a calculadora. 3. Uma aplicação financeira em regime de juros compostos rende 10% ao mês. Se forem aplicados 100 reais inicialmente, sem mais aplicações ou retiradas, mostre os montantes nos primeiros 5 meses após o depósito inicial. 4. O juro do cheque especial em um certo banco é de 12% ao dia. João entrou no cheque especial num valor de R$ 1.000,00. É como pedisse um empréstimo ao banco com essa taxa de juro. Mostre o que João pagaria no cheque especial em 1 dia, 2 dias, 3 dias,.., 7 dias; aproximadamente. 34 Sequências

3 5. O juro da caderneta de poupança não é fixo, mas não é menor que 0,5% ao mês, então consideremos essa como taxa fixa, a juros compostos. Se aplicarmos R$ 500,00 mostre os montantes referentes aos 6 primeiros meses de aplicação. Considere que não há mais depósitos. Caso não tenhas percebido a sequência dos montantes a juros compostos a taxa fixa formam uma G. (M 1, M 2, M 3,..., M n,...). Considerando C i e i temos: M 1 = q = Logo M n = Considerando juros compostos à taxa fixa i e capital inicial C i, calculase o montante M n por: M n=. Exemplo: 6. Contando com a previsão de recebimento de R$ 1.000,00 dentro de 6 meses, Elaine contraiu um empréstimo de R$ 750,00 a ser pago de uma vez ao final daquele período, com capitalização composta, com taxa fixa de 7% ao mês. Elaine conseguira pagar a dívida? 35 Sequências

4 7. Uma quantia de R$ ,00 é aplicada e resgatada após 3 semestres no valor de aproximadamente R$ ,17. Qual a taxa mensal usada nessa aplicação? Nessa G faz sentido obtermos n N, pois n está relacionado com tempo. Como já falamos do resgate de quantia numa poupança que não seja no aniversário mensal da poupança perde-se o rendimento relativo daquele mês, então se retirar em n = 6,5 é o mesmo que fazer a retirada em n = 6. Devemos interpretar qual seria o n correto. Outro detalhe é na obtenção do tempo, que é o expoente do termo geral dos montantes. Assim quando for pedido o tempo para que o capital inicial chegue a um determinado montante é certo que precisaremos do conceito de LOGARITMO. a x = b x = log ab Exemplo: 8. Neusa aplicou R$ 400,00 num investimento que rende 2% ao mês. (a) Determine o montante se Neusa deixar seu dinheiro aplicado por um ano. (b) Quanto tempo Neusa precisará deixar seu dinheiro aplicado para o seu capital dobrar? 9. Após quanto tempo, à taxa de 4% ao mês num capital de R$ 1.000,00 renderá juros de R$ 170,00? 36 Sequências

5 1.34 Taxa de Juros Equivalente Se uma taxa de juro é cobrada mensalmente podemos não nos dar por conta do juro total que estão nos cobrando. Especialmente em financiamentos muito longos. A partir desse juro equivalente saberemos se tivéssemos o dinheiro empregado no primeiro momento, quantos produtos poderíamos comprar. Nesse caso, poderíamos comparar a compra por um financiamento ou a vista, considerando economias mensais colocadas na poupança, por exemplo. Erroneamente se pensa que tendo-se uma taxa de 12% ano, a taxa mensal seria de 1%, ou pior, que uma taxa de 1% ao mês equivaleria a uma taxa de 12% ao ano. A partir das taxas equivalentes poderíamos fazer estes cálculos. A parte da taxa de juro i, desconsiderando o capital inicial em n período é dado por (1 + i) n. Em vez de considerar n períodos a taxa i por período, considerarmos um único período a uma taxa total I, teríamos que multiplicar o capital inicial por 1 + I. Se estas taxas se equivalem, teremos: 1 + I = (1 + i) n Exemplo: 10. Um capital é aplicado a uma taxa de 1% ao mês. Qual será a taxa de juros equivalente a um período de 5 anos? 11. Estima-se que a população de uma cidade cresça aproximadamente 5% por ano. Qual será a taxa de crescimento se considerarmos um período de 20 anos? 12. Um certo banco, cobra 10% 1 ao ano mais uma taxa pós fixada para financiamentos habitacionais para imóveis de R$ 150 mil a R$ 500 mil ou uma taxa pré-fixada de 12,21% ao ano. Ambos para financiamentos de 360 meses. Como a taxa pós fixada é imprevisível, pois depende da economia atual, dólar, inflação e muitas outras coisas, muitos preferem a taxa préfixada. Em relação a ela: (a) Qual a taxa mensal equivalente? 1 Taxa real, fonte: 37 Sequências

6 (b) Qual a taxa equivalente no período do financiamento? Somatório de n termos de uma G ensando no futuro podemos pensar em aplicar nosso dinheiro numa previdência privada, ou até mesmo numa poupança. O rendimento da poupança é baixo, previdência privada é maior, mas o investidor não pode fazer retiradas como na poupança. Se quisermos calcular quanto teremos no fim de alguns (muitos) anos investindo a mesma quantia todo mês, sem retiradas, a uma determinada taxa de juro, como faremos? rimeiro mês = X Segundo mês = X + X.(1+i) Terceiro mês = X + X.(1+i) + X.(1+i) 2 Quarto mês = X + X.(1+i) + X.(1+i) 2 + X.(1+i) 3 Quinto mês = X + X.(1+i) + X.(1+i) 2 + X.(1+i) 3 + X.(1+i) 4... Último mês = X + X.(1+i) + X.(1+i) X.(1+i) n-1 Ou seja, a quantia total é a soma de uma G de n termos, cujo primeiro termo é X, ou melhor, a quantia investida todo mês, e de razão q = (1+i). Sabemos fazer esse cálculo: Não precisamos de uma nova fórmula, apenas aplicar a fórmula de G com estas relações. Observação: O somatório de uma sequência é chamado também de série, especialmente se a soma for infinita. Exemplo: 13. Vilmar aplicou por 30 anos a quantia de R$1.000 num fundo de previdência privada que lhe dava o rendimento de 0,8% ao mês. No fim dos 30 anos, quanto Vilmar terá disponível? 38 Sequências

7 1.36. Viagens para o passado Geralmente, quando fazemos a compra de um bem parceladamente, as prestações são fixas. Se adiantarmos o pagamento de um ou duas parcelas futuras, quanto podemos pedir de desconto? E quando nos é proposto em vez de parcelar fazer o pagamento a vista o desconto é justo? Quando nos dizem que a conta parcelada não tem juros, pois eles não nos oferecem desconto à vista o que é melhor: pagar a vista, parcelar ou buscar uma loja que ofereça desconto a vista? Como tomar todas estas decisões? Como já dissemos, só podemos comparar quantias de dinheiro se estas quantias estiverem na mesma unidade de tempo. or isso, quando nos dizem que o preço a prazo é o mesmo do a vista sem dar desconto a vista é porque além de estar embutindo juro no prazo estão cobrando preço abusivo a vista, pois naturalmente se eu tenho um produto que vale hoje $100, pagando dez parcelas de R$ 10, por exemplo, a primeira parcela de R$ 10 não vale o mesmo que a última, pois até lá o dinheiro terá se desvalorizado e não poderemos comprar as mesmas coisas, do que no tempo da primeira prestação. Isso tudo só não ocorre em economias extremamente estáveis em que não há inflação. Vamos lá: Nós até agora, sabemos apenas viajar para o futuro, ou seja, avançar no tempo. or exemplo se tenho uma dívida C i para pagá-la no futuro a uma taxa i ao período, daqui a n períodos fazemos C i(1 + i) n. Ou seja, multiplicamos a dívida inicial por (1 + i) n. Mas por exemplo, para sabermos quanto a décima parcela de R$ 10 valeria hoje, teríamos que voltar no tempo. Se os montantes são Gs, termos futuros são multiplicados pela razão das pgs, agora termos passados como seriam calculados? Se sabemos que a 8 = 36 e a razão é q = 3, quem é a 7? a 7 = 12 = 36/3? Sim! E a 6? a 6 = 4 = 12/3 ou a 6 = 36/3 2! ara transportar quantias para o passado devemos DIVIDIR por (1+i) n Um conjunto de quantias, chamadas usualmente de pagamentos ou termos, referidas a épocas diversas, é chamada de série, ou, ainda, renda. Se esses pagamentos forem iguais e igualmente espaçados no tempo, a série é dita uniforme. São exemplos de séries uniformes tipo de pagamentos em que as prestações são iguais, consideradas a mesma taxa de juros para todos os termos da série. O primeiro pagamento representado é um mês após a compra. 1 i 1 i n 1 i 2 1 i 4 meses Qual o valor presente dessa série? Quanto sairia se o devedor quiser quitar a dívida? Ou pagar a vista? O cálculo equivalente a seguinte soma: 39 Sequências

8 Se olharmos atentamente, trata-se da soma de n termos de uma G, cujo primeiro termo é e razão. Exemplo 14: Um produto é comprado em 18 vezes de $165,70, com o primeiro pagamento um mês após a compra. Considerando que o dinheiro vale 2% ao mês, qual o valor à vista do produto e qual a taxa equivalente cobrada no período? 15. Uma câmera foi anunciada por $699,00 à vista, ou em doze vezes iguais de $62,42 com o primeiro pagamento um mês após a compra. Qual a taxa de juros mensal embutida na compra a prazo? Renda perpétua Rendas perpétuas aparecem em locações. Com efeito, quando se aluga um bem, cede-se a posse do mesmo em troca de um aluguel, geralmente, mensal. Então, o conjunto dos aluguéis constitui uma renda perpétua ou perpetuidade, porque é considerado que o locatário levará a eternidade para restituir o valor do bem ao seu dono, ou melhor, consideramos que o locatário pagará o valor do bem em infinitas prestações, com o primeiro pagamento um mês após a assinatura do contrato. Considerando o valor mensal do aluguel, S o preço do bem e i o valor do dinheiro considerado, então S 1 i 1 i 1 1 i i 1 i S ou = Si i 40 Sequências

9 Devido a especulação financeira e a lei da oferta e da procura, dificilmente este valor será praticado, apenas tomado como valor do piso do preço do aluguel. Exemplo: 16. Se o dinheiro vale 1% ao mês, por quanto deve ser alugado um imóvel que vale $40.000,00? Exercícios 1. Taís investiu R$2.000,00 num investimento que rende 3% ao mês na condição de não fazer retiradas por dois anos. No fim desse tempo, quanto Taís poderá resgatar? 2. Eleci precisa de R$5.000,00 para uma compra, mas atualmente só tem a metade. Se Eleci aplicar seu dinheiro num investimento que rende 2% ao mês, em quanto tempo terá o dinheiro que precisa? 3. Em quanto tempo Joana, aplicando seu dinheiro num investimento que rende 5% ao mês terá seu dinheiro triplicado? 4. Verifique se os capitais na tabela abaixo são equivalentes, ou seja, se valem o mesmo na mesma unidade de tempo. Determine também o valor presente dos capitais. Considere taxa de juros de 10% ao mês. mês capital 1 $2.000,00 2 $2.200,00 3 $2.420,00 4 $2.662,00 5. Uma compra pode ser paga à vista por $1.400,00 ou financiada por meio de uma entrada de 30% e dois pagamentos mensais, sendo o segundo pagamento 50% maior que o primeiro. Qual o valor dos pagamentos mensais, sabendo que o início dos pagamentos será ao término de um período de carência de 4 meses e que a taxa de juros aplicada é de 5% ao mês? 6. Uma pessoa tem uma dívida de $3.000,00 com vencimento em 2 meses e outra de $4.500,00 com vencimento em 6 meses. retende pagar seus débitos por meio de um único pagamento, a ser realizado ao fim de 4 meses. Qual o valor do pagamento único que liquida a dívida, considerando uma taxa de juros de 10% ao mês? 7. Qual deve ser a parcela mensal de um produto que é vendida à vista por $1.199,00, em doze prestações considerando a taxa de juros de 1,5% ao mês? 8. edro tem três opções de pagamento na compra de vestuário. i) à vista, com 30% de desconto. 41 Sequências

10 ii) em duas prestações mensais iguais, sem desconto, vencendo a primeira um mês após a compra. iii) em três prestações mensais iguais, sem desconto, vencendo a primeira no ato da compra. Qual a melhor opção para edro, se o dinheiro vale, para ele, 25% ao mês? 9. Qual a taxa ao mês relativa a uma taxa de 12% ao ano? 10. Se é cobrada uma taxa de 1% ao mês, qual a taxa cobrada ao período de capitalização de um ano? 11. Qual o valor do resgate para um capital de $200,00 aplicado pelos prazos e taxas a seguir: (a) 27 dias a 9% ao mês, capitalizados diariamente. (b) 6 meses a 28% ao ano, capitalizados mensalmente. (c) 7 meses a 32% ao ano, capitalizados trimestralmente. 12. Qual deve ser a parcela mensal de um produto que é vendida à vista por $1.199,00, em doze prestações considerando a taxa de juros de 1,5% ao mês? 13. Um bem, cujo preço é $ 120,00, é vendido em 8 prestações mensais iguais, a primeira sendo paga um mês após a compra. Se os juros são de 8% ao mês, determine o valor das prestações. 14. Supondo juros de 0,5% ao mês, quanto você deve investir mensalmente, durante 30 anos, para obter ao fim desse prazo, por 30 anos, uma renda mensal de $ 1.000,00? 15. Uma lanterna de Gol, original, custa R$ 280,00 e tem vida útil de 5 anos. Uma lanterna alternativa custa R$ 70,00 e tem vida útil de 1 ano. Gilmar precisa trocar a lanterna de seu Gol. Considere que o dinheiro vale 12% ao ano, que lanterna ele deve preferir? 16. Um bem, cujo preço à vista é $ 120,00, é vendido em 6 prestações mensais iguais, antecipadas (isto é, a primeira é paga no ato da compra). Se os juros são de 10% ao mês, determine o valor das prestações. 17. Helena tem duas alternativas para obter uma copiadora: a) Alugá-la por 35 ao ano. Nesse caso, o locador se responsabiliza pelas despesas de manutenção. b) Comprá-la por 150. Nesse caso, já que a vida econômica da copiadora é de 5 anos, Helena venderá a copiadora após 5 anos. O valor residual da copiadora após 5 anos é de 20. As despesas de manutenção são de responsabilidade de Helena e são de 5 por ano, nos dois primeiros anos e de 8 por ano, nos anos seguintes. Se o dinheiro vale 7% ao ano, qual a melhor opção? 18. Calcule o valor de uma motocicleta comprada a prazo, com uma entrada de $1.200,00 e o restante à taxa de 4% ao mês. O prazo do financiamento é de 12 meses e o valor da prestação é de $192, Sílvia paga aluguel de $611,00 por um apartamento. Supondo que o dinheiro valha 5% ao mês, qual o preço do imóvel? 20. Se a taxa corrente de juros é de 0,6% ao mês, por quanto se aluga um imóvel cujo preço a vista é R$ ,00, supondo: a) o aluguel mensal pago vencido? b) o aluguel mensal pago adiantadamente? 42 Sequências

11 1.39. Respostas dos exercícios (a n) é convergente. Termo geral: a n = 3n 2n 1 3 ; n a n 1 2 (b n) é convergente. Termo geral: b n = n n ; n bn 0 n 3 (c n) é divergente. Termo geral: c n = n 2 ; n cn n (d n) é convergente. Termo geral: d n = 2 n ; n dn A = a. x = 2 b. x = 3 c. x = 3 5. S = a b c d Sequências