MATEMÁTICA FINANCEIRA Professor Fábio Maia. AULA 1 - Juros Simples. Formulário: Juros Simples: j = C.i.n e Montante: M = C. (1 + i.

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1 MATEMÁTICA FINANCEIRA Professor Fábio Maia AULA 1 - Juros Simples Juros Simples é o processo financeiro onde apenas o principal rende juros, isto é, os juros são diretamente proporcionais ao capital empregado. Formulário: Juros Simples: j = C.i.n e Montante: M = C. (1 + i.n) Exemplos de Aplicação: 1 - Calcular os juros simples produzidos por $40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias. Temos: j = P.i.n A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d. Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma unidade de tempo, ou seja, dias, poderemos calcular diretamente: j = , = $5000, Um empréstimo de $8.000,00 rendeu juros de $2.520,00 ao final de 7 meses. Qual a taxa de juros do empréstimo? Temos: j = Pin ; 2520 = 8000.i.7; Daí, vem imediatamente que i = 2520 / Então, i = 0,045 a.m = 4,5% a.m. 3 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende $3.500,00 de juros em 75 dias? Temos imediatamente: j = Pin ou seja: 3500 = P.(1,2/100).(75/30) Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à mesma unidade de tempo, ou seja, meses. Logo, 3500 = P. 0,012. 2,5 = P. 0,030; Daí, vem: P = 3500 / 0,030 = $ ,67

2 4 - Por quanto tempo um capital de $11.500,00 foi aplicado para que rendesse $1.725,00 de juros, sabendo-se que a taxa de juros de mercado é de 4,5% a.m.? j = Pin 1725 = (4,5/100).n 1725 = ,045.n = 3, meses = 3 meses + 0, de um mês = 3 meses + 1/3 de um mês = 3 meses e 10 dias. 5 - Que capital produziu um montante de $20.000,00, em 8 anos, a uma taxa de juros simples de 12% a.a.? Temos: M = P(1 + in) = P.(1 + 0,12.8) = 1,96.P, de onde tiramos P = $10.204, Calcule o montante resultante da aplicação de $70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias. M = P(1 + in) M = 70000[1 + (10,5/100).(145/360)] = $72.960,42 Observe que expressamos a taxa i e o período n, na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Daí ter dividido 145 dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, já que um ano comercial possui 360 dias. 7 - A que taxa mensal o capital de $38.000,00 produzirá o montante de $70.300,00 em 10 anos? M = P(1 + in) = (1 + i.10), de onde vem: 70300/38000 = i 1,85-1 = 10.i, de onde vem: i = 0,85/10 = 0,085 a.a. = 8,5% a.a. Para achar a taxa mensal, basta dividir por 12 meses, ou seja: i = 0,085 / 12 = 0, = 0,7083 % a.m.

3 8 - Um capital é aplicado a juros simples de 5% ao semestre (5 % a.s.), durante 45 dias. Após este prazo, foi gerado um montante de $ ,55. Qual foi o capital aplicado? Lembrando que a taxa i e o período n têm de ser expressos relativo à mesma unidade de tempo, vem: ,55 = P[1 + (5/100).(45/180)], de onde tiramos P = $ ,00 Nota: Como a taxa i está relativa ao semestre, dividimos 45 dias por 180 dias, para expressar o período n também em semestre. Lembre-se que 180 dias = 1 semestre. 9 - Que capital aplicado a 3% ao bimestre (3% a.b.), por um prazo de 75 dias, proporcionou um montante de $ ,00? M = P(1+ in) = P[1 + (3/100).(75/60)], de onde tiramos P = $ ,02 Nota: observe que dividimos 75 dias por 60 dias, para expressá-lo em bimestres, já que 1 bimestre = 60 dias Um capital de $5.380,00 aplicado por 3 meses e 18 dias, rendeu $1839,96 de juros ao final do período. Qual a taxa mensal de juros simples? j = Pin 1839,96 = 5380.i.108, pois 3 meses e 18 dias = = 108 dias. Logo, i = 1839,96 / = 0, a.d. = 0,3167% a.d. Para obter a taxa mensal, basta multiplicar por 30 dias, ou seja: i= 0,3167% a.d. X 30 = 9,5% a.m Um capital P foi aplicado a juros simples de 15% ao bimestre (15% a.b.), por um prazo de 5 meses e 13 dias e, após este período, o investidor recebeu $10.280,38. Qual o valor P do capital aplicado? M = P(1 + in) Temos: 15% a.b. = 0,15 a.b. = 0,15/60 = 0,0025 a.d. = 0,25% a.d. (a.d. = ao dia) 5 meses e 13 dias = = 163 dias. Logo, como i e n estão referidos à mesma unidade de tempo, podemos escrever: 10280,38 = P(1 + 0, ), de onde tiramos P = $ 7.304,00

4 12 - Obteve-se um empréstimo de $10.000,00, para ser liquidado por $14.675,00 no final de 8 meses e meio. Qual a taxa de juros anual cobrada nessa operação? 8 meses e meio = = 255 dias. Teremos, então: M = P(1 + in) = 10000(1 + i.255), de onde vem: 14675/10000 = i 1,4675 = i 0,4675 = 255.i i = 0, a.d. = 0,1833% a.d. Multiplicando por 360, obteremos a taxa anual: i = 0, = 0,66 a.a. Ou expressando em termos de porcentagem, i = 0, = 66% a.a Em quanto tempo um capital aplicado a 48% a.a. dobra o seu valor? M = P(1 + in) Fazendo M = 2P e substituindo os valores conhecidos, vem: 2P = P[1 + (48/100).n] Simplificando, fica: 2 = 1 + 0,48.n 1 = 0,48.n, de onde tiramos n = 2, anos Para obter o período em meses, devemos multiplicar o valor acima por 12 ou seja: n = 2, x 12 = 25 meses Determinar o capital necessário para produzir um montante de $ ,00 no final de um ano e meio, aplicado a uma taxa de 15% ao trimestre (15% a.t.). M = P(1 + in) Temos: n = 1 ano e meio = 18 meses = 18/3 = 6 trimestres. Portanto: = P[1 + (15/100). 6], de onde tiramos P = $ , Determinar o montante correspondente a uma aplicação de $ ,00 por 225 dias, à taxa de 5,6% ao mês (5,6% a.m.). M = P(1 + in) 225 dias = 225/30 = 7,5 meses Logo, M = [1 + (5,6/100).7,5] = $ ,00

5 16 - Quanto tempo deverá permanecer aplicado um capital para que o juro seja igual a duas vezes o capital, se a taxa de juros simples for igual a 10% a.a.? Temos: j = 2P j = Pin 2P = P.0,10.n, de onde tiramos n = 20 anos Exercícios de Aplicação 1) Calcule quanto renderá um capital de $ aplicado à taxa de 24% ao ano, durante sete meses. $ 8.400,00 2) Um capital de $ , aplicado durante 8 meses, rendeu juros de $ ,00. Calcule a taxa anual. 60% a.a. 3) Durante 180 dias certo capital gerou um montante de $ Sabendo-se que a taxa de juros é de 4% ao mês, calcule o valor do capital aplicado. $ ,19 4) Calcule o valor dos juros contidos no montante de $ resultante da aplicação de certo capital à taxa de 42% a.a., durante 13 meses. $ ,48 5) Calcule o valor a ser pago, no final de cinco meses e 18 dias, correspondente a um empréstimo de $ , sabendo-se que a taxa de juros é de 27% ao semestre. $ ,00 6) Uma empresa aplicou $ 2.000,00 no dia 15/07/03 e resgatou essa aplicação no dia 21/07/03 por $ Qual foi a taxa mensal de rendimento proporcionada por essa operação? 4,5% a.m 7) Calcule em quanto tempo um capital aplicado a 48% ao ano dobra o seu valor. 25 meses 8) A que taxa de juros um capital aplicado durante 10 meses rende juros igual a 1 4 do seu valor? 2,5% a.m. 9) Um capital emprestado gerou $ de juros. Sabendo-se que o prazo da aplicação foi de 13 meses e a taxa de juros de 6% ao mês, calcule o valor do montante. $ ,00 10) Certo capital aplicado gerou um montante de R$1.000,00. Sabendo-se que a taxa de juros é de 5% ao mês e o prazo de oito meses, calcule o valor dos juros. R$ 285,71

6 11) Calcule o valor do capital, que aplicado a uma taxa de 6,2% ao mês, por 174 dias, produziu um montante de R$ ,00. R$ ,00 12) Um capital de $ foi aplicado no dia 19/06/02 e resgatado em 20/01/03. Sabendo-se que a taxa de juros da aplicação foi de 56% ao ano, calcule o valor dos juros, considerando-se o número de dias efetivo entre as duas datas. R$ ,22 13) A aplicação de $ ,00 gerou um montante de $ ,00 no final de nove meses. Calcule a taxa anual. 84% a.a. 14) O Capital de R$ 840,00 foi aplicado a juros simples, de 05/04 a 25/10 do mesmo ano. Sabendo-se que a taxa de juros foi 35% a.a.,calcule o juro: a) exato ( R$ 163,51 ) b) comercial ( R$ 163,33 ) 15) Apliquei a juros simples a metade do capital que possuía a taxa de 48% a.s. Ao final de 1 ano e 4 meses recebi R$ 1.200,00 de juros simples. Calcule o capital que possuía. R$ 1.875,00 16) Um investidor aplica 3/5 do seu capital a taxa de 5,5% a.m., e o restante a 30% ao semestre. Decorridos 2 anos, 4 meses e 15 dias, recebe um total de R$ ,00 de juros simples. Calcule o valor de seu capital. R$ ,66 17) Calcule quanto tempo deve permanecer aplicado um capital para que o valor acumulado seja igual a 5/3 do capital, sabendo-se que a taxa de juros simples é de 20% a.a. ( resposta em: anos, meses e dias, se for o caso ) 3 anos e 4 meses 18) Empregou-se a juros simples um certo capital durante 8 meses e 10 dias, obtendo-se o valor acumulado igual ao quádruplo do valor empregado. Calcule a taxa trimestral dessa aplicação. 108 % a.t.

7 AULA 4 - JUROS COMPOSTOS JUROS COMPOSTOS É o regime de capitalização onde após cada período, os juros são incorporados ao principal e passam, por sua vez, a render juros. Também conhecido como "juros sobre juros". Formulário: M = C x (1 + i) n Exemplos de Aplicação: 1) Calcule o montante de um capital de R$ 8.000,00, aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de 5% ao mês. C = R$ 8.000,00 t = 1 ano = 12 meses i = 5 % a.m. = 0,05 M =? Usando a fórmula M=P.(1+i) n, obtemos: M = 8000.(1+0,05) 12 = (1,05) 12 M = ,795 M = 14366,85 2) Uma loja financia um bem de consumo durável, no valor de R$ 3.200,00, sem entrada, para pagamento em uma única prestação de R$ 4.049,00 no final de 6 meses. Qual a taxa mensal cobrada pela loja? M = R$ 4.049,00 C = R$ 3.200,00 n = 6 meses i =? Usando a fórmula M=P.(1+i) n, obtemos: = (1+ i ) 6 (1+ i ) 6 = (1+ i ) 6 = 1,26531 Devemos pesquisar nas tabelas financeiras, na segunda coluna, a linha n=6, até encontrarmos o valor 1, E realmente vamos encontrá-lo na tabela correspondente à taxa de 4%. Logo: i = 4%.

8 3) Determine em que prazo um empréstimo de R$ ,00 pode ser quitado em um único pagamento de R$ ,00, sabendo que a taxa contratada é de 15% ao semestre em regime de capitalização composta. M = R$ ,00 C = R$ ,00 i = 15% a.s. = 0,15 a.s. n =? Usando a fórmula M=P.(1+i) n, obtemos: = (1 + 0,15) n 1,15 n = Pesquisando na tabela correspondente à taxa de 15%, na segunda coluna, verificamos que para n = 5 temos (1+i) n = 2,01136, Logo: n = 5 semestres. 4) Colocada em um banco, uma quantia rendeu R$ ,00 a juros compostos de 2% a. m, durante 5 meses. Calcular essa quantia. M = R$ ,00 C =? i = 2% a.m. = 0,02 a.m. n = 5 meses Usando a fórmula M=P.(1+i) n, obtemos: = C. (1 + 0,02) = C. 1,02 5 Pesquisando na tabela correspondente à taxa de 2%, na segunda coluna, verificamos que para n = 5 temos (1+i) n = 1, , Logo: = 1, C C = , C = R$ ,23 Exercícios de Aplicação 1) Calcular o montante de um capital inicial de R$ 6.000,00, a juros compostos de 5%am, durante 6 meses. R$ 8.040,57 2) Calcular o montante de um capital inicial de R$ 8.000,00, a juros compostos de 3%am aplicado do dia 3 de março a 16 de julho. R$ 9.138,13

9 3) Durante quanto tempo é preciso aplicar R$ 5.000,00, á taxa de 7%am, para produzir o montante de R$ ,00? 13 meses 4) Um capital de R$ 7.500,00 aplicado durante 5 meses produziu um montante de R$ 9.500,00. Qual foi a taxa mensal aplicada? 5) Calcule o capital inicial que no prazo de 5 meses a 3% am produziu o montante de R$ 4.058,00 6) A população de uma cidade cresce em regime de juros compostos. Supondo uma taxa de crescimento de 6,5% a.a., calcule o tempo necessário para que a população dessa cidade quadruplique. ( 22 anos ) 7) Uma pessoa aplica R$ ,00 num título de renda fixa com vencimento no final de 61 dias, a uma taxa de 72% ao ano. Calcular o seu valor de resgate. ( R$ ,73 ) 8) Calcule no fim de quanto tempo um capital, aplicado á taxa de 4% ao mês, quadruplica o seu valor, no regime capitalização composta. (2 anos 11meses e 10 dias ) 9) Um capital de R$ 2.850,00 foi aplicado a juros compostos à taxa de 2,25% a.a./a. Calcule o prazo necessário para que esse capital produza um montante de R$ 4.068,72. (16 anos) 10) Calcule o capital necessário para produzir um montante de R$ ,00 no final de um ano e meio, aplicado a uma taxa de juros compostos de 18% ao trimestre. ( R$ 4.067,34 ) Observações Importantes As convenções são utilizadas quando é pedido no problema a resolução através de uma das convenções e é dado o tempo fracionado, por exemplo: 2 meses e 5 dias ou 258 anos e 2 meses... LINEAR-> Para resolvermos esse tipo de problema usa-se a fórmula M = C ( 1 + i ) t' x ( 1 + i t''), onde t' é a parte inteira e t'' é a fração. Obs: O termo linear refere-se ao fator ( 1 + it'') que nada mais é do que uma função linear ou de 1º grau.

10 Vamos exemplificar: Se o tempo dado é 5 anos e 6 meses, a taxa de juros é 10% a.a. e o capital é R$35.600,00, então: M= [1 + (10 100)] 5 x [ 1 + (10 100) x (6 12)] M = ( 1,6105) x ( 1,05) = R$60.200,49. EXPONENCIAL: A diferença da linear é que se utiliza a seguinte fórmula: t' + t'' M = C ( 1 + i ) Obs: O termo exponencial refere-se ao fator ( 1 + i ) t' + t'' que é uma função exponencial. *Considerando os mesmos dados do problema anterior teremos: M = [ 1 + ( ) ] 5 + ( 6 12 ) M = ( 1,6891 ) = R$60.131,96 Em convenção linear o capital rende juros compostos na parte inteira e juros simples na fracionária Em convenção exponencial o capital rende juros compostos durante todo o período Em juros compostos, quando não diz nada, usar convenção exponencial Exemplo de Aplicação: Um capital de R$ 1.000,00 é emprestado a taxa de 10% aa pelo prazo de 5 anos e 6 meses. Tendo por base a capitalização anual, qual será o montante? C = 1.000,00 p = 6 meses q = 12 meses (a taxa está na base anual) n = 5 anos M =? Usando a fórmula M = C ( 1+ i) n + p/q teremos: M = (1 + 0,1) 5 + 1/2 M = (1,1) 5 + ½ M = (1,1) 5,5 M = ,68912 M = R$ 1.689,12 Exercício de Aplicação: João aplicou certa quantia e após 18 meses verificou que o montante era de R$ 5.590,17. Qual foi o valor investido, uma vez que a taxa foi de 25% aa. Considerar convenção exponencial. R$ 4.000,00

11 AULA 5 - TAXAS: NOMINAL E EFETIVA; PROPORCIONAIS ENTRE SI; EQUIVALENTES ENTRE SI EM JUROS SIMPLES E EM JUROS COMPOSTOS; TAXA OVER Juros Simples TAXA NOMINAL - Taxa de juros simples referente a um det. período de capitalização. Ex. 24% ao ano TAXA PROPORCIONAL - Quando existe mesma relação para os períodos a que se referem. Ex. 2% ao mês, 24% ao ano TAXA EQUIVALENTE - Em juros simples é igual a proporcional -em juros simples taxa nominal ou estabelecida é a taxa comercial (NC) -em juros simples taxa efetiva ou implícita é a taxa racional (ER) Juros Compostos TAXA NOMINAL É a taxa falsa período de capital não coincide com o período de tempo da taxa de juros. Ex: Qual o montante de um capital de R$ 5.000,00, no fim de 2 anos, com juros de 24%aa/t? Solução C = R$ 5.000,00 n = 2 anos i = 24%aa/t k = 4 t ( um ano possui 4 trimestres) i k = i k M = C.(1+ i) n Dessa forma, teremos i 4 = 0,24 = 0,06 at n = 2 anos = 2 x 4t = 8t 4 M = C (1 + i) n M = (1 + 0,06) 8 Pesquisando na tabela financeira a taxa de 6% e n = 8, encontramos: M = ,59385 M = R$ ,00

12 TAXA EFETIVA- é o custo do dinheiro. Taxa real. O período de capitalização coincide com o de tempo da taxa de juros. Ex. Uma taxa nominal de 18%aa é capitalizada semestralmente. Calcule a taxa efetiva i k = i 1 + if = ( 1 + i ) k M = C. (1 + i) n k k k i = 18% aa = 0,18 aa 1 ano = 2 s = k = 2 Logo: i k = 0, if = (1 + 0,09) 2 if = 1, if = 0,1881 aa ou 18,81% M = R$ ,00 TAXA PROPORCIONAL- relaciona taxas nominais com efetivas. Ex. 6% ao ano com capitalização mensal e 0,5% ao mês com capitalização mensal TAXAS EQUIVALENTES relaciona taxas efetivas com períodos de capitalização diferentes. Formulário: ( 1 + i a ) = ( 1 + i b ) 6 = ( 1 + i t ) 4 = ( 1+ i s ) 2 = ( 1 + i m ) 12 Exemplo: Qual a taxa trimestral equivalente a 30%aa? (1 + it ) 4 = 1 + ia (1 + it ) 4 = 1 + 0,3 (1 + it ) 4 = 1,3 (1 + it ) = 1,3 ¼ (1 + it ) = 1,3 0,25 (1 + it ) = 1,06778 it = 1, it = 0,0678 at ou 6,78% Exercícios de Aplicação 1) Sendo a taxa mensal de 3%, calcule a taxa equivalente, com 4 decimais: a) anual ( 42,5761% a.a. ) b) trimestral ( 9,2727% a.t. ) c) semestral ( 19,4052% a.s. ) 2) Sendo a taxa de 24% a.a., calcule a taxa efetiva anual, com 4 decimais, quando a capitalização for: a) semestral ( 25,4400% a.a. ) b) trimestral ( 26,2477% a.a. )

13 c) mensal ( 26,8242% a.a.) d) diária ( 27,1148% a.a. ) 3) Uma empresa toma emprestado de um banco R$ ,00, cuja taxa de juros é de 21% a.a., com capitalizações quadrimestrais. Calcule quanto deverá devolver no final de 2 anos. R$ ,18 4) O capital de R$ ,00 foi aplicado a juros compostos a uma taxa de 5% a.a./a durante 7 anos e 3 meses. Calcule o montante pela convenção exponencial. R$ ,69 5) Uma poupança rende juros de 42% a.a., capitalizados mensalmente. Calcule o tempo que deve permanecer aplicado um capital de R$ 1.200,00 para atingir o valor acumulado de R$ ,00. ( 5 anos,7 meses e 11 dias ) TAXA DE JUROS APARENTE Taxa de juros aparente é aquela que vigora nas operações correntes. Num regime inflacionário, a taxa de juros incorpora dois componentes. O primeiro refere-se à inflação do período e o segundo, ao juro realmente pago. Em outras palavras, a taxa real de juros portanto, representa a remuneração que se aufere acima da inflação. Vejamos como se comporta como se comporta a taxa real com ou sem inflação: a) Sem Inflação: (1 + i ) = (1 + r) b) Com Inflação: r = (1 + i ) - 1 (1 + j ) A taxa aparente é dada pela fórmula: (1 + i) = (1 + j) + (1 + r) Aplicações: 1) Correção a prori ou prefixada: Esta foi a forma encontrada pelo mercado financeiro nas operações de curto e médio prazo, como letras de câmbio, certificados de depósito etc. Baseia-se numa taxa de inflação esperada ou antecipada para um período futuro referente à operação financeira em questão. 2) Correção a posterori ou pós-fixada: Foi este processo de correção adotado nos títulos e empréstimos mais longos e nas operações mais diretamente ligadas ao governo.

14 Exemplos de Aplicação 1) Calcular a taxa aparente anual a que deve cobrar uma financeira para que ganhe 8%aa de juros reais sabendo sabendo que a taxa de inflação foi de 5%aa? r = 8%aa j = 5%aa i =? Logo: (1 + i) = (1 + j). (1 + r) (1 + i) = (1 + 0,05).(1 + 0,08) (1 + i) = 1,134 i = 0,134 ou 13,4%aa 2) Por um capital de R$ 6.000,00 aplicado por 2 anos, o investidor recebeu R$ 5.179,35 de juros. Qual é a taxa de juros ganha, se a inflação for de 30%aa? Use (1,863225) 1/2 = 1,365 C = R$ 6.000,00 J = R$ 5.179,35 n = 2 anos j = 30%aa Inicialmente, devemos calcular a taxa de juros aparente, considerando os dados do problema será utilizada a fórmula abaixo: J = C (1 + i ) n - 1 Assim, 5.179,35 = (1 + i ) , = (1 + i ) , /2 = ( 1 + i) 1,365 = (1 + i) i = 0,365 ou i = 36,5%aa A taxa de juros real (r), numa inflação de 30%aa, será: (1 + i) = (1 + j). (1 + r) (1 + 0,365 ) = ( 1 + 0,3)(1 + r) 1 + r = 1,365 1,05 r = 1,05 1 r = 0,05 ou r = 5%aa

15 3) Uma pessoa aplica R$ ,00 em uma instituição financeira que paga 7% aa mais correção monetária. Qual o montante recebido após 3 anos, se a correção for de 25%aa? Use (1,3375) 3 = 2, r =7%aa j =25%aa i =? Logo: M = C(1+i) n (1 + i) = (1,25). (1,07) M = (1,3375) 3 (1 + i) = 1,3375 M = , i = 1, M = R$ ,62 i = 0,3375 ou 33,75% Exercícios de Aplicação 1) O preço a vista de um carro é de R$ ,00. A agência o vende por R$ 5.000,00 de entrada e o retante após 6 meses a juros efetivos de 12%aa mais a correção monetária. Sabendo que a correção do primeiro trimestre de financiamento foi de 6% e a do segundo foi de 10%, pergunta-se qual é o valor a ser pago ao fim dos 6 meses. Use (1,12) 1/2 = 1, R$ ,00 2) Uma pessoa comprou uma casa por R$ ,00 a vendeu-a, após 1 ano, por R$ ,00. De quanto deve ser a inflação mensal para que o investidor ganhe 10%aa com juros reais? Use (1,0,363636) 1/12 = 1, A taxa de inflação mensal será de 2,62%am 3) Uma loja anuncia a venda de um conjunto de som por 3 parcelas quadrimestrais sequenciais de R$ 3.000,00, R$ 4.000,00 e R$ 5.000,00 mais uma entrada de R$ 500,00. Qual deve ser o preço a vista se a taxa de juros ao quadrimestre e a inflação prevista for 8% no primeiro quadrimestre, 7% no segundo e 6% no terceiro? R$ ,72

16 Referências: JUER, Milton. Matemática financeira: praticando e aplicando. Rio de Janeiro: Qualitymark, MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática financeira. 3.ed. São Paulo: Atlas SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática financeira: aplicações à análise de investimentos. 3.ed. São Paulo: Prentice Hall, VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática financeira. 7.ed. São Paulo: Atlas, 2000.