CAPÍTULO 2 AMOSTRAGEM DE SINAIS CONTÍNUOS 2.1 CONVERSORES ANALÓGICO-DIGITAL E DIGITAL-ANALÓGICO

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1 17 Prof. César Janeczko (2º semestre de 2014) CAPÍTULO 2 AMOSTRAGEM DE SINAIS CONTÍNUOS 2.1 CONVERSORES ANALÓGICO-DIGITAL E DIGITAL-ANALÓGICO Muitos dos sinais diretamente encontrados na ciência e engenharia são contínuos: intensidade da luz que muda com a distância, tensão que varia com o tempo, etc. Conversão Analógica para Digital (ADC Analog to Digital Convertion) e conversão Digital para Analógica (DAC Digital to Analogic Convertion) são processos que permitem um computador digital interagir com estes sinais do dia a dia. A informação digital é diferente de seu parceiro contínuo em dois importantes pontos: ela é amostrada e quantizada. Portanto, para uma eficiente digitalização de um sinal é importante definir: a freqüência de amostragem, o número de bits e o tipo de filtro analógico anti-alising necessário para converter um sinal analógico para digital Quantização Algumas definições importantes: S/H (Sample and Hold, amostra e segura) - mantém a tensão de entrada do ADC constante durante o tempo de conversão. ADC - converte uma tensão da forma contínua para a discreta (quantizada). Erro máximo de quantização = ± ½ LSB (bit menos significativo) Erro de quantização = (sinal analógico amostrado sinal digitalizado). Este erro de quantização aparece como um ruído aleatório somado ao sinal. Este ruído é uniformemente distribuído entre ± ½ LSB, tem média zero e desvio padrão 1 / 0.29LSB : 12LSB

2 18 o Com ADC de 8 bits adicionamos um ruído rms de 0.29/256 o Com ADC de 12 bits adicionamos um ruído rms de 0.29/4096 o Com ADC de 16 bits adicionamos um ruído rms de 0.29/65536 o O erro de quantização é um ruído aleatório, o número de bits determina a precisão dos dados. nós aumentamos a precisão da medida de 8 para 12 bits. Para definir-se quantos bits devem ser usados deve-se fazer as seguintes perguntas: (a) Quanto ruído já está presente no sinal analógico? (b) Quanto ruído pode ser tolerado no sinal digital? Na figura 2.1 mostra-se as formas de onda do processo de digitalização: amostragem, digitalização e erro de quantização ( ± 1 2 LSB ).

3 19 [ V] [ V ] Figura Formas de onda ilustrando o processo de digitalização.

4 Teorema da Amostragem Fez-se uma amostragem correta do sinal quando consegue-se reconstruir o sinal analógico através do sinal amostrado. Veja figura 2.2. Figura Em a), b) e c) tem-se uma amostragem própria, de três ondas senoidais que podem ser recuperadas. Em d) a amostragem é imprópria e a freqüência do sinal recuperado é diferente da freqüência do sinal amostrado. Portanto, ocorreu aliasing (falsa freqüência é perceptível).

5 21 O Teorema da amostragem de Shannon ou teorema da amostragem de Nyquist - (1940), afirma que um sinal contínuo é amostrado propriamente, podendo ser posteriormente ser recuperado como o sinal analógico a partir do amostrado, apenas se o sinal original não contêm freqüências acima da metade da razão de amostragem. Por exemplo, uma razão de amostragem de 2000 amostras / segundo requer que o sinal analógico seja composto de freqüências abaixo de 1000 Hz. Se freqüências acima deste limite estão presentes no sinal, elas serão transformadas em falsas freqüências entre 0 e 1000 Hz, combinando com qualquer informação que era verdadeira neste intervalo (aliasing - sobreposição). A Freqüência de Nyquist ou Razão de Nyquist é igual à metade da freqüência de amostragem. A figura 2.3 mostra como as freqüências são mudadas durante o aliasing. Figura 2.3 Conversão de freqüência analógica para digital durante a amostragem.

6 22 A figura 2.4 mostra sinais analógicos, no domínio do tempo e freqüência, que se deseja amostrar. Didaticamente, usa-se um trem de impulsos como amostrador. Trem de impulsos é um sinal contínuo com uma série de impulsos (infinitamente estreitos) que se igualam ao sinal original no instante da amostragem. É uma ponte para atravessar do mundo analógico para o digital. Na freqüência espectral ocorre duplicação do espectro do sinal original em cada múltiplo da freqüência de amostragem, fs, 2 fs, 3 fs,... etc. para o lado esquerdo dos múltiplos tem-se a banda inferior (lower sideband) e para o lado direito a banda superior (upper sideband). Para recuperar o sinal é necessário eliminar as freqüências acima de 0,5 fs. Tal procedimento é realizado através de filtro passa-baixas.

7 23 Figura 2.4 a) mostra um sinal analógico que desejamos amostrar, em b) temos o espectro deste sinal, c) mostra o sinal amostrado por um trem de impulsos, d) o espectro do sinal amostrado, cada freqüência múltipla da freqüência de amostragem fs, 2fs, 3fs, etc. recebe uma cópia do espectro upper sideband, bem como um espelho desta cópia lower sideband em e) temos novamente o sinal amostrado a uma taxa mais baixa e em f) o espectro com sobreposições efeito da freqüência de amostragem muito baixa provocando aliasing

8 Conversão Digital para Analógica A conversão Digital para Analógica consiste em tomar-se às amostras da memória, convertê-las em um trem de impulsos que em seguida é aplicado a um filtro passa-baixas com freqüência de corte (no máximo) igual à metade da freqüência de amostragem. Devido a dificuldade em se gerar um pulso estreito em eletrônica, os DAC costumam apresentar um sample and hold em sua saída, o que segura o valor da amostra até que a próxima amostra seja apresentada. Este dispositivo é chamado de hold de ordem zero. Um hold de primeira ordem faria a união das duas amostras por uma linha reta e um hold de segunda ordem usaria parábolas. No domínio da freqüência, um hold de ordem zero resulta no espectro do trem de pulso sendo multiplicado por uma sinc, dado pela equação 2.1: H ( f ) sin πf f πf f s = 2.1 s A figura 2.5 mostra a análise de uma conversão digital-analógica. Em a) os dados digitais são convertidos para um trem de impulsos, com o respectivo espectro em b). Em f) tem-se o sinal reconstruído pelo uso de um filtro passa-baixas para remover freqüências acima de metade da freqüência de amostragem [compare b) e g)]. Entretanto, os DAC criam formas de onda como em c) hold de ordem zero, ao invés de um trem de impulsos. O espectro de um hold de ordem zero é igual ao espectro do trem de impulsos multiplicado por uma função sinc, como mostrado em d). Um filtro de reconstrução ideal deve remover as freqüências acima da razão de Nyquist, e corrigir para uma sinc, como mostrado em e).

9 Figura 2.5 Conversão digital-analógica. 25

10 Filtros analógico para a conversão de dados. de sinais. A figura 2.6, mostra o diagrama em blocos de um sistema de processamento digital Figura 2.6 Filtros analógicos usados para obedecer ao teorema de amostragem. O filtro analógico colocado antes do ADC é chamado de filtro antialias. Este é usado para remover as componentes de freqüência acima da metade da razão de amostragem. O filtro colocado após o DAC é chamado de filtro de reconstrução. Este elimina freqüências acima da razão de Nyquist, e pode incluir uma correção para hold de ordem zero. Um filtro ativo, com amplificador operacional, de dois pólos com a função de passabaixas pode ser implementado como mostra a figura 2.7. Encontrando k1 e k2 da tabela 2.1 e arbitrariamente selecionando R1 e C e então calculando R e Rf, para a freqüência de corte fc desejada. Figura 2.7 Bloco construtivo de um filtro ativo.

11 27 Tabela 2.1 Parâmetros para desenvolvimento de filtros de Bessel, Butterworth e Chebyshev (6% de ripple) Resposta em Freqüência de filtros analógicos A resposta em freqüência é a Transformada de Fourier da resposta ao impulso. Estas têm comportamentos diferentes para os vários tipos de filtro, como pode ser observado nas figuras 2.8 e 2.9.

12 28 Figura 2.8- Resposta em freqüência de três filtros na escala logarítmica Figura 2.9- Resposta em freqüência de três filtros na escala linear

13 Resposta ao degrau de filtros analógicos Na figura 2.10 pode-se observar a resposta ao degrau (no domínio do tempo) de três tipos de filtros analógicos, onde se verifica a diferença de comportamento destes, quanto ao overshoot. Bessel é considerado o filtro ótimo quando o overshoot deve ser minimizado. Figura 2.10 Resposta ao degrau de três filtros. Bessel tem pouco overshoot, Butterworth mais e Chebyshev ainda mais Resposta ao pulso, de filtros analógicos Analisando-se a figura 2.11, observa-se que o comportamento da rampa de subida (transição do nível baixo para o alto) e da rampa de descida, possuem o mesmo tipo de

14 30 comportamento para o mesmo filtro (característica de fase linear), diferenciando-se para o tipo de filtro e o número de pólos. Figura 2.11 Resposta ao pulso de dois filtros. Distorção na subida é igual na descida (fase linear) Selecionando um Filtro Antialias Um filtro antialias é colocado antes do processo de conversão analógica-digital e filtra freqüências acima da metade da freqüência de amostragem. A escolha do filtro depende das características do sinal analógico a ser digitalizado. Na figura 2.12 pode-se observar que a forma de onda analógica a) é uma onda retangular com um burst senoidal de alta freqüência. Usando-se um filtro antialias Chebyshev temos um sinal com muito overshoot b). em c) temos a resposta a um filtro de Bessel, que otimiza a resposta ao degrau, e mesmo assim temos uma rampa de subida e decida mais lenta que o original. Em

15 31 d) tem-se uma amostragem sem filtro antialias. Comparando-se os três métodos não podemos de primeira mão dizer qual é o melhor, pois os três perdem informação e nenhum é capaz de recuperar o sinal amostrado. Antes da escolha, devemos fazer a seguinte pergunta: Quanta informação representada no sinal você pretende processar? E a sua resposta vai depender do seu objetivo final dependendo de caso para caso. Para este caso, o filtro Chebyshev retira completamente o burst de alta freqüência, mas distorce o sinal. O filtro Bessel deixa as rampas de subida e decida mais suaves. Portanto, não usar filtro antialias é a melhor opção por não alterar os valores da onda retangular. A otimização de uma característica de qualquer filtro é sempre as custas de outra característica que acaba piorando. Bom desempenho em freqüência implica em baixo desempenho no tempo, e vice-versa. Figura 2.12 Escolha de um filtro antialias.