a.cosx 1) (ITA) Se P(x) é um polinômio do 5º grau que satisfaz as condições 1 = P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) e P(6) = 0, então temos:

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1 ) (ITA) Se P(x) é um poliômio do 5º gru que stisfz s codições = P() = P() = P() = P(4) = P(5) e P(6) = 0, etão temos: ) P(0) = 4 b) P(0) = c) P(0) = 9 d) P(0) = N.D.A. ) (UFC) Sej P(x) um poliômio de gru, com coeficietes reis. Sbedo que P( + i ) = - 4i, ode i = -, clcule P( - i ). ) (ITA) No desevolvimeto de (x - bx + c + ) 5 obtémse um poliômio p(x) cujos coeficietes somm. Se 0 e - são rízes de p(x), etão som + b + c é igul ) - b) - c) d) 4 4) (Uicmp) Determie o quociete e o resto d divisão de x 00 + x + por x -. 5) (UNICAMP) Sej f(x) = x + -x x + 0 um poliômio de gru tl que 0 e j IR pr qulquer j etre 0 e. Sej g(x) = x - + ( - )-x x + o poliômio de gru - em que os coeficietes,,..., são os mesmos empregdos defiição de f(x). ) Supodo que =, mostre que x f ( x ) f ( x) g =,pr todo x, IR, 0. b) Supodo que = e que =, determie expressão do poliômio f(x), sbedo que f() = g() = f(-) = 0. 6) (UFSCr) Em relção P(x), um poliômio de terceiro gru, sbe-se que P(-) =, P(0) =, P() = e P() = 7. ) Determie equção reduzid d ret que pss pelo poto em que o gráfico d fução poliomil P(x) cruz o eixo y, sbedo que ess ret tem coeficiete gulr umericmete igul à som dos coeficietes de P(x). b) Determie P(x). 7) (Fuvest) Cosidere um poliômio ão ulo p(x) tl que (p(x)) = x.p(x) = x.p(x ) pr todo x rel. ) qul é o gru de p(x)? b) Determie p(x). 8) (Fuvest) Sbedo-se que p(x) é um poliômio, é um costte rel e p(x) = x - x + x + idetidde em x, determie: ) O vlor d costte. Justifique b) s rízes d equção p(x) = 0..cosx x é um 9) (Fuvest) Um poliômio P(x) = x + x + bx + c stisfz s seguites codições: P() = 0; P(-x) + P(x) = 0, qulquer que sej x rel. Qul o vlor de P()? ) b) c) 4 d) 5 6 0) (Fuvest) Ddo o poliômio complexo p(z) = z + (+i) expresse, form + bi, com e b reis: p i ) b) s rízes do poliômio ) (Fuvest) O poliômio P é tl que P(x) + x.p(-x) = x + pr todo x rel. ) Determie P(0), P() e P(). b) Demostre que o gru de P é. ) (Uifesp) A divisão de um poliômio p(x) por um poliômio k(x) tem q(x) = x + x + 5 como quociete e r(x) = x + x + 7 como resto. Sbedo-se que o resto d divisão de k(x) por x é, o resto d divisão de p(x) por x é ) 0. b). c) 7. d) ) (UFC) O coeficiete de x o poliômio p(x) = (x - ) (x + ) 5 é: ) 0 b) 50 c) 00 d) ) (Vuesp) Cosidere o poliômio p(x) = x - mx + m x - m, em que mr. Sbedo-se que i é riz de p (x), determie: ) os vlores que m pode ssumir; b) detre os vlores de m ecotrdos em (), o vlor de m tl que o resto d divisão de p(x) por (x ) sej 5.

2 5) (UNIUBE) O resto r(x) d divisão de p(x) = x 00 por q(x) = x - é igul ) x b) x c) -x - d) x 999-6) (IBMEC) Sej P(x) um poliômio de coeficietes reis com P( i) = + i. Logo, P( + i) é igul : ) i b) + i c) + i d) i 7) (Fuvest) Ddo o poliômio p(x) = x.(x ) (x - 4), o gráfico d fução y = p(x ) é melor represetdo por: 9) (ITA) A divisão de um poliômio f(x) por (x - )(x - ) tem resto x +. Se os restos ds divisões de f(x) por x - e x - são, respectivmete, os úmeros e b, etão + b vle: ) b) 5 c) d) 0 0) (Fuvest) Sej p(x) um poliômio divisível por x. Dividido p(x) por x obtemos quociete q(x) e resto r=0. O resto d divisão de q(x) por x é: ) 5 b) c) 0 d) 5 ) (FUVEST) O poliômio p(x) = x + x + bx, em que e b são úmeros reis, tem restos e 4 qudo dividido por x e x -, respectivmete. Assim, o vlor de é ) - 6 b) - 7 c) - 8 d) ) (UNIFESP) Se x x x = x + b x verddeir pr todo x rel, x, x, etão o vlor de.b é ) 4. b). c). d). 6. é 8) (Fuvest) P(x) é um poliômio de gru e tl que P() = e P() =. Sejm D(x) = (x ) (x ) e Q(x) o quociete d divisão de P(x) por D(x). ) Determie o resto d divisão de P(x) por D(x). b) Sbedo que o termo idepedete de P(x) é igul 8, determie o termo idepedete de Q(x). ) (VUNESP) Sej x um úmero rel positivo. O volume de um prlelepípedo reto-retâgulo é ddo, em fução de x, pelo poliômio x + 7x + 4x + 8. Se um rest do prlelepípedo mede x+, áre d fce perpediculr ess rest pode ser express por: ) x 6x + 8. b) x + 4x + 8. c) x + 7x + 8. d) x 7x + 8. x + 6x + 8.

3 4) (UFC) Os úmeros reis, b, c e d são tis que, pr todo x rel, tem-se x + bx + cx + d = (x + x )(x 4) (x + )(x 5x + ). Desse modo, o vlor de b + d é: ) b) 0 c) 4 d) 6 0 5) (Vuesp) Se, b, c são úmeros reis tis que x + b(x + ) + c(x + ) = (x + ) pr todo x rel, etão o vlor de - b + c é ) -5. b) -. c). d). 7. 6) (Mck) Cosiderdo o resto r(x) e o quociete Q(x) d divisão cim, se r(4) = 0, Q() vle x 4 + 5x -x+4 x -4 r(x) Q(x) ) b) - c) -5 d) -4 8) (Vuesp) Cosidere o poliômio p(x) = x + bx + cx + d, ode b, c e d são costtes reis. A derivd de p(x) é, por defiição, o poliômio p (x) = x + bx + c. Se p () = 0, p (-) = 4 e o resto d divisão de p(x) por x - é, etão o poliômio p(x) é: ) x - x + x +. b) x - x - x +. c) x - x - x -. d) x - x - x + 4. x - x - x +. 9) (UFV) Éder e Vdo, luos de 7ª série, bricm de modificr poliômios com um Regr de Três Pssos (RP). No º psso, pgm o termo idepedete; o ª psso, multiplicm cd moômio pelo seu gru; e, o º psso, subtrem o gru de cd moômio. Pel plicção d RP o poliômio p(x ) = (x +)(x - ) obtém-se o poliômio: ) 4x -5 b) x + c) 4x + 5 d) 4x + x - 5 0) (Mck) Cosidere o poliômio P(x), do segudo gru, tl que P(x) - P(x + ) = x, qulquer que sej x rel. Sbedo que P(0) = 0, ssile, detre s ltertivs, o melor esboço gráfico de y = P(x). ) 7) (UFPB) Cosiderdo s proposições sobre poliômios, ssile com V (s) verddeir(s) e com F, (s) fls(s). ( )Sejm f (x) e g (x) poliômios ão-ulos tis que f ()=g ()=0. Se r (x) é o resto d divisão de f (x) por g (x), etão r ()=0. f ( x ) x x ( )O poliômio tem um riz iteir. ( )Se f (x) e g (x) são poliômios de gru, etão o gru do produto f (x) g (x) é 9. A seqüêci corret é: ) VFF b) FVF c) FFV d) VVF VFV f) FVV b) c) d)

4 ) (Fuvest) Sejm R e R os restos ds divisões de um poliômio P(x) por x- e por x+, respectivmete. Nesss codições, se R(x) é o resto d divisão de P(x) por x - etão R(0) é igul : ) R - R R R R R b) c) R + R d) R.R R R ) (Fuvest) Dividido-se um poliômio p(x) por (x-), obtém-se um resto que, dividido por (x-), dá resto. Ace p(). ) (Fuvest) O gru dos poliômios f, g e é. O úmero turl pode ser o gru do poliômio ão ulo f(g+) se e somete se: ) = 6 b) = 9 c) 0 6 d) 9 6 4) (Mck) Um poliômio p(x) tem resto A, qudo dividido por (x - A), e resto B, qudo dividido por (x - B), sedo A e B úmeros reis. Se o poliômio p(x) é divisível por (x - A).(x - B), etão: ) A = B = 0 b) A = B = c) A = e B = - d) A = 0 e B = A = e B = 0 5) (UFPA) Cosidere o poliômio P(x) = x + x + mx +, com m, R. Sbedo-se que P(x) + é divisível por x + e P(x)- é divisível por x-, determie os vlores de m e. 6) (Vuesp) Se m é riz do poliômio rel p(x) = x 6 (m+)x 5 +, determie o resto d divisão de p(x) por x. 7) (Uitu) Sbe-se que, e são rízes de um poliômio do terceiro gru P(x) e que P(0) =. logo, P(0) vle: ) 48. b) 4. c) -84. d) ) (UEL) O poliômio p tem gru 4+ e o poliômio q tem gru -, sedo iteiro e positivo. O gru do poliômio p.q é sempre: ) igul o máximo divisor comum etre 4+ e -. b) igul 7+. c) iferior 7+. d) igul ++. iferior ++. 9) (Mck) O poliômio P(x) = x +x +bx+c é divisível por x -x+ e por x -x+. Etão som dos úmeros reis, b e c é: ) b) - c) d) - zero 40) (Mck) O resto d divisão de um poliômio P(x) por x é 4; deste modo, o resto d divisão de (x -x).p(x) por x é: ) - b) - c) d) 4 4) (ITA) A divisão de um poliômio P(x) por x -x result o quociete 6x +5x+ e resto 7x. O resto d divisão de P(x) por x+ é igul : ) b) c) d) 4 5 4) (FGV) Sbe-se que o poliômio f = x 4 -x -x +x+ é divisível por x -. Um outro divisor de f é o poliômio: ) x - 4 b) x + c) (x + ) d) (x - ) (x - ) x 5 b 4x x x 4) (UFC) Se expressão,ode e b são costtes, é verddeir pr todo úmero rel x, etão o vlor de +b é: ) - b) - c) d) 4

5 44) (Mck) Cosiderdo s divisões de poliômios ddos, podemos firmr que o resto d divisão de P(x) por x - 8 x + é: P(x) x - 4 Q(x) Q(x) x - 6 Q (x) ) x + b) x + c) x + d) x - x + ) o vlor de c; b) o poliômio p(x). 50) (Mck) Se o poliômio p(x) = x 5 + 4x 4 + x +, IR, é divisível por x -, etão ) b) c) d) 0 6 é: 45) (UEL) O poliômio x x 4x + 4 é divisível por ) x- e x+ b) x- e x+5 c) x- e x+4 d) x- e x+ x+5 e x- 46) (Cesgrrio) O resto d divisão do poliômio P(x)=(x +) pelo poliômio D(x)=(x-) é igul : ) b) 4 c) x- d) 4x- 8x-4 47) (Ftec) O poliômio p = x + x - 7x -, R, é divisível por (x - ). Se o poliômio q = x + x + bx + é um cubo perfeito, etão o vlor de b é ) 6 b) 4 c) d) 48) (PUC-PR) Ddo o poliômio x 4 + x - mx - x +, determir m e pr que o mesmo sej divisível por x - x -. A som m + é igul : ) 6 b) 7 c) 0 d) ) (Vuesp) Ao dividirmos um poliômio p(x) por (x - c), obtemos quociete q(x) = x - x + x - e resto p(c) =. Sbedo-se que p() =, determie 5

6 ) Altertiv: D Note que, se todos os restos ds divisões por (x-), (x-), (x-), (x-4) e (x-5) são, etão P(x) - é divisível por (x- )(x-)(x-)(x-4)(x-5). Assim, P(x) - = (x-)(x-)(x-)(x-4)(x-5). Como P(6) = 0, temos - = , ou sej, temos = - 0. Dí, P(x) = - 0 (x-)(x-)(x-)(x-4)(x-5) + e portto, fzedo x = 0, temos P(0) =. Gbrito b) f(x) = x -x -x + 6) ) y = x + = = g b) P(x) = x + x x + x x + ) P(-i) = +4i Resolução: Sej P(x) = x + --x x + o, 0. Temos: P( i) o o 7) Se (p(x)) = x.p(x) etão ou p(x) = 0 ou p(x) = x. Como p(x) é ão ulo, etão p(x) = x p(x) = x ou p(x) = -x. E mbos tmbém verificm codição (p(x)) = x.p(x ). ) gru = b) p(x) = x ou p(x) = -x 8) ) = 0, cosiderdo-se que os moômios precism ser d form.x com rel e iteiro, pr qulquer x. b) rízes: 0, e... ( i) o P( i) 4i 4i.... ) Altertiv: A (supodo-se coeficietes reis pr o poliômio. Cso cotrário, ão á solução corret.) 4) ) R(x) = x + b) Q(x) = x 98 + x 96 + x x + 5) ) Pr =, temos f(x) = x + x + 0 e g(x) = x +. Assim, f ( x ) f ( x) = ( x ) ( x ) 0 ( x x 0) = 0 x x x 0 x x o 9) Altertiv: E 0) ) 4i b) -+i e -i ) ) P(0) =, P() = e P() =. b) Como o gru de x + é, e o gru de x.p(-x) > gru de P(x), etão o gru de x.p(-x) é. Como o gru de x é, o gru de P(-x) é - =. Assim, o gru de P(x) é. ) Altertiv: C ) Altertiv: E (x+) 5 = x x x. +0.x. + 5.x = x x x.+70.x + 405x.+ 4. Dí o termo de gru em (x-)(x+) 5 será 70x - 90x = 80x. Portto, o coeficiete do termo de gru deste poliômio é 80. 4) ) m= ou m=- b) m= 5) Altertiv: B 6) Altertiv: D 7) Altertiv: A Se p(x) = x.(x ) (x 4) etão p (x) = p(x ) = (x ).(x- - ) ((x-) 4) = (x ).(x ).(x 4x) = x(x ).(x ).(x 4), ou sej, p (x) têm rízes em x=0, x= (riz dupl), x= e x=4..( x ) = As úics ltertivs possíveis são () e (b). Como p () =.( ).( ).( 4) = 6 etão o gráfico de p (x) é positivo pr 0<x< e ltertiv corret é () 6

7 8) ) R(x) = - x + b) 5 50) Altertiv: B 9) Altertiv: A 0) Altertiv: A ) Altertiv: A ) Altertiv: C ) Altertiv: E 4) Altertiv: D 5) Altertiv: E 6) Altertiv: C 7) Altertiv: A 8) Altertiv: B 9) Altertiv: A 0) Altertiv: B ) Altertiv: E ) p() = ) Altertiv: E 4) Altertiv: A 5) m = e = 8 6) Resto = 0 7) Altertiv: C 8) Altertiv: B 9) Altertiv: D 40) Sem ltertiv. O resto = 4) Altertiv: E 4) Altertiv: C 4) Altertiv: C 44) Altertiv: C 45) Altertiv: C 46) Altertiv: E 47) Altertiv: A 48) Altertiv: E 49) ) c = b) p(x) = x 4-8x + 5x + x + 5 7