Exercícios de Matemática Polinômios

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1 Exercícios de Matemática Poliômios ) (ITA-977) Se P(x) é um poliômio do 5º grau que satisfaz as codições = P() = P() = P(3) = P(4) = P(5) e P(6) = 0, etão temos: a) P(0) = 4 b) P(0) = 3 c) P(0) = 9 d) P(0) = e) N.D.A. ) (UFC-00) Seja P(x) um poliômio de grau, com coeficietes reais. Sabedo que P(3 + i ) = - 4i, ode i = -, calcule P(3 - i ). 3) (ITA-005) No desevolvimeto de (ax - bx + c + ) 5 obtém-se um poliômio p(x) cujos coeficietes somam 3. Se 0 e - são raízes de p(x), etão a soma a + b + c é igual a a) - b) - 4 c) d) e) 3 4) (Uicamp-994) Determie o quociete e o resto da divisão de x 00 + x + por x -. 5) (UNICAMP-009) Seja f(x) = a x + a - x a x + a 0 um poliômio de grau tal que a 0 e a j IR para qualquer j etre 0 e. Seja g(x) = a x - + ( - )a - x a x + a o poliômio de grau - em que os coeficietes a,a,...,a são os mesmos empregados a defiição de f(x). h x a) Supodo que =, mostre que g = f ( x h) f ( x) h,para todo x, h IR, h 0. b) Supodo que = 3 e que a 3 =, determie a expressão do poliômio f(x), sabedo que f() = g() = f(-) = 0. 6) (UFSCar-009) Em relação a P(x), um poliômio de terceiro grau, sabe-se que P(-) =, P(0) =, P() = e P() = 7. a) Determie a equação reduzida da reta que passa pelo poto em que o gráfico da fução poliomial P(x) cruza o eixo y, sabedo que essa reta tem coeficiete agular umericamete igual à soma dos coeficietes de P(x). b) Determie P(x). 7) (Fuvest-99) Cosidere um poliômio ão ulo p(x) tal que (p(x)) 3 = x.p(x) = x.p(x ) para todo x real. a) qual é o grau de p(x)? b) Determie p(x). 8) (Fuvest-993) Sabedo-se que p(x) é um poliômio, a é a.cosx uma costate real e p(x) = x 3-3x + x + idetidade em x, determie: a) O valor da costate a. Justifique b) as raízes da equação p(x) = 0. x é um 9) (Fuvest-985) Um poliômio P(x) = x 3 + ax + bx + c satisfaz as seguites codições: P() = 0; P(-x) + P(x) = 0, qualquer que seja x real. Qual o valor de P()? a) b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 0) (Fuvest-985) Dado o poliômio complexo p(z) = z + (+i) expresse, a forma a + bi, com a e b reais: p a) i b) as raízes do poliômio ) (Fuvest-98) O poliômio P é tal que P(x) + x.p(-x) = x + 3 para todo x real. a) Determie P(0), P() e P(). b) Demostre que o grau de P é. ) (Uifesp-003) A divisão de um poliômio p(x) por um poliômio k(x) tem q(x) = x 3 + 3x + 5 como quociete e r(x) = x + x + 7 como resto. Sabedo-se que o resto da divisão de k(x) por x é, o resto da divisão de p(x) por x é a) 0. b). c) 7. d) 5. e) 70. 3) (UFC-003) O coeficiete de x 3 o poliômio p(x) = (x - ) (x + 3) 5 é: a) 30 b) 50 Projeto Futuro Militar

2 c) 00 d) 0 e) 80 4) (Vuesp-999) Cosidere o poliômio p(x) = x 3 - mx + m x - m 3, em que m R. Sabedo-se que i é raiz de p (x), determie: a) os valores que m pode assumir; b) detre os valores de m ecotrados em (a), o valor de m tal que o resto da divisão de p(x) por (x ) seja 5. 5) (UNIUBE-00) O resto r(x) da divisão de p(x) = x 00 por q(x) = x - é igual a a) x 3 b) x c) -x - d) x 999-6) (IBMEC-00) Seja P(x) um poliômio de coeficietes reais com P( i) = + 3i. Logo, P( + i) é igual a: a) i b) + i c) + 3i d) 3i e) 3 7) (Fuvest-00) Dado o poliômio p(x) = x.(x ) (x - 4), o gráfico da fução y = p(x ) é melhor represetado por: 8) (Fuvest-998) P(x) é um poliômio de grau e tal que P() = e P() =. Sejam D(x) = (x ) (x ) e Q(x) o quociete da divisão de P(x) por D(x). a) Determie o resto da divisão de P(x) por D(x). b) Sabedo que o termo idepedete de P(x) é igual a 8, determie o termo idepedete de Q(x). 9) (ITA-00) A divisão de um poliômio f(x) por (x - )(x - ) tem resto x +. Se os restos das divisões de f(x) por x - e x - são, respectivamete, os úmeros a e b, etão a + b vale: a) 3 b) 5 c) d) e) 0 0) (Fuvest-996) Seja p(x) um poliômio divisível por x 3. Dividido p(x) por x obtemos quociete q(x) e resto r=0. O resto da divisão de q(x) por x 3 é: a) 5 b) 3 c) 0 d) 3 e) 5 ) (FUVEST-009) O poliômio p(x) = x 3 + ax + bx, em que a e b são úmeros reais, tem restos e 4 quado dividido por x e x -, respectivamete. Assim, o valor de a é a) - 6 b) - 7 c) - 8 d) - 9 e) - 0 ) (UNIFESP-007) Se x x 3x = a b + x x verdadeira para todo x real, x, x, etão o valor de a.b é a) 4. b) 3. c). d). e) 6. é 3) (VUNESP-008) Seja x um úmero real positivo. O volume de um paralelepípedo reto-retâgulo é dado, em fução de x, pelo poliômio x 3 + 7x + 4x + 8. Se uma Projeto Futuro Militar

3 aresta do paralelepípedo mede x+, a área da face perpedicular a essa aresta pode ser expressa por: a) x 6x + 8. b) x + 4x + 8. c) x + 7x + 8. d) x 7x + 8. e) x + 6x ) (UFC-007) Os úmeros reais a, b, c e d são tais que, para todo x real, tem-se ax 3 + bx + cx + d = (x + x )(x 4) (x + )(x 5x + 3). Desse modo, o valor de b + d é: a) b) 0 c) 4 d) 6 e) 0 5) (Vuesp-006) Se a, b, c são úmeros reais tais que ax + b(x + ) + c(x + ) = (x + 3) para todo x real, etão o valor de a - b + c é a) -5. b) -. c). d) 3. e) 7. b) FVF c) FFV d) VVF e) VFV f) FVV 8) (Vuesp-006) Cosidere o poliômio p(x) = x 3 + bx + cx + d, ode b, c e d são costates reais. A derivada de p(x) é, por defiição, o poliômio p (x) = 3x + bx + c. Se p () = 0, p (-) = 4 e o resto da divisão de p(x) por x - é, etão o poliômio p(x) é: a) x 3 - x + x +. b) x 3 - x - x + 3. c) x 3 - x - x - 3. d) x 3 - x - x + 4. e) x 3 - x - x +. 9) (UFV-005) Éder e Vado, aluos de 7ª série, bricam de modificar poliômios com uma Regra de Três Passos (R3P). No º passo, apagam o termo idepedete; o ª passo, multiplicam cada moômio pelo seu grau; e, o 3º passo, subtraem o grau de cada moômio. Pela aplicação da R3P ao poliômio p(x ) = (x +)(x -3 ) obtém-se o poliômio: a) 4x -5 b) x + 3 c) 4x + 5 d) 4x + 3 e) x - 5 6) (Mack-006) Cosiderado o resto r(x) e o quociete Q(x) da divisão acima, se r(4) = 0, Q() vale ax 4 + 5x -ax+4 x -4 r(x) Q(x) a) b) -3 c) -5 d) -4 e) 30) (Mack-004) Cosidere o poliômio P(x), do segudo grau, tal que P(x) - P(x + ) = x, qualquer que seja x real. Sabedo que P(0) = 0, assiale, detre as alterativas, o melhor esboço gráfico de y = P(x). a) b) 7) (UFPB-006) Cosiderado as proposições sobre poliômios, assiale com V a(s) verdadeira(s) e com F, a(s) falsa(s). ( )Sejam f (x) e g (x) poliômios ão-ulos tais que f ()=g ()=0. Se r (x) é o resto da divisão de f (x) por g (x), etão r ()=0. 3 f ( x ) x 3x ( )O poliômio tem uma raiz iteira. ( )Se f (x) e g (x) são poliômios de grau 3, etão o grau do produto f (x) g (x) é 9. A seqüêcia correta é: a) VFF c) d) 3 Projeto Futuro Militar

4 e) 36) (UFPA-998) Cosidere o poliômio P(x) = x 3 + x + mx +, com m, R. Sabedo-se que P(x) + é divisível por x + e P(x) é divisível por x, determie os valores de m e. 37) (Vuesp-995) Se m é raiz do poliômio real p(x) = x 6 (m+)x 5 + 3, determie o resto da divisão de p(x) por x. 3) (Fuvest-99) Sejam R e R os restos das divisões de um poliômio P(x) por x- e por x+, respectivamete. Nessas codições, se R(x) é o resto da divisão de P(x) por x - etão R(0) é igual a: a) R - R R R b) RR c) R + R d) R.R R R e) 3) (Fuvest-984) Dividido-se um poliômio p(x) por (x- ), obtém-se um resto que, dividido por (x-), dá resto 3. Ache p(). 33) (Fuvest-98) O grau dos poliômios f, g e h é 3. O úmero atural pode ser o grau do poliômio ão ulo f(g+h) se e somete se: a) = 6 b) = 9 c) 0 6 d) 3 9 e) ) (Mack-005) Um poliômio p(x) tem resto A, quado dividido por (x - A), e resto B, quado dividido por (x - B), sedo A e B úmeros reais. Se o poliômio p(x) é divisível por (x - A).(x - B), etão: a) A = B = 0 b) A = B = c) A = e B = - d) A = 0 e B = e) A = e B = 0 35) (PUCCamp-998) Se os graus dos poliômios f, g, h são, respectivamete, 4, 3 e, etão o grau do poliômio: a) g é 9 b) f.g é 7 c) f + h é 6 d) g h é e) 3. f é 38) (Uitau-995) Sabe-se que, e 3 são raízes de um poliômio do terceiro grau P(x) e que P(0) =. logo, P(0) vale: a) 48. b) 4. c) -84. d) 04. e) ) (UEL-996) O poliômio p tem grau 4+ e o poliômio q tem grau 3, sedo iteiro e positivo. O grau do poliômio p.q é sempre: a) igual ao máximo divisor comum etre 4+ e 3. b) igual a 7+. c) iferior a 7+. d) igual a ++. e) iferior a ) (Mack-997) O poliômio P(x) = 3x 3 +ax +bx+c é divisível por x 3x+ e por x x+. Etão a soma dos úmeros reais a, b e c é: a) b) - c) 3 d) -3 e) zero 4) (Mack-997) O resto da divisão de um poliômio de P(x) por (x k) é R. Se o resto da divisão de P(x) + R/3 por (x k) é 4, etão R vale: a) 4 b) 6 c) 8 d) 0 e) 4) (Mack-996) O resto da divisão de um poliômio P(x) por x é 4; deste modo, o resto da divisão de (x x).p(x) por x é: a) - b) - 4 Projeto Futuro Militar

5 c) d) e) 4 43) (ITA-995) A divisão de um poliômio P(x) por x -x resulta o quociete 6x +5x+3 e resto 7x. O resto da divisão de P(x) por x+ é igual a: a) b) c) 3 d) 4 e) 5 44) (FGV-995) Sabe-se que o poliômio f = x 4 -x 3-3x +x+ é divisível por x -. Um outro divisor de f é o poliômio: a) x - 4 b) x + c) (x + ) d) (x - ) 3 e) (x - ) 45) (FEI-996) A soma de dois poliômios P(x) + Q(x) é um poliômio de grau 6, e a difereça P(x)-Q(x) é um poliômio de grau 4. É válido afirmar-se que: a) a difereça Q(x) - P(x) tem grau 6. b) P(x) e Q(x) têm o mesmo grau. c) P(x) tem grau 5. d) Q(x) tem grau 4. e) P(x) tem grau 4. 46) (FEI-994) Se a divisão do poliômio P(x) = x 3 + 5x - 4 pelo poliômio Q(x) obtém-se um quociete x e um resto R(x) que é divisível por x-, etão R(x) vale: a) (x -) b) (x -) c) 3(x -) d) 4(x -) e) 5(x -) x 5 a b x x 47) (UFC-004) Se a expressão 4x,ode a e b são costates, é verdadeira para todo úmero real x, etão o valor de a+b é: a) - b) - c) d) e) 3 48) (Mack-998) Cosiderado as divisões de poliômios dados, podemos afirmar que o resto da divisão de P(x) por x - 8 x + é: P(x) x - 4 Q(x) Q(x) x - 6 Q (x) a) x + b) x + c) x + d) 3 x - e) x + 49) (UEL-994) O poliômio x 3 x 4x + 4 é divisível por a) x e x+3 b) x e x+5 c) x e x+4 d) x 3 e x+ e) x+5 e x 3 50) (Fatec-995) Os restos da divisão de um poliômio p por (x ) e por (x+) são respectivamete, e 3. O resto da divisão de p por (x )(x+) é: a) -3 b) -x c) x- d) 3x+ e) 8x-7 5) (Cesgrario-994) O resto da divisão do poliômio P(x)=(x +) pelo poliômio D(x)=(x-) é igual a: a) b) 4 c) x- d) 4x- e) 8x-4 5) (FGV-004) a) Na figura a seguir, ABCD é um retâgulo e AMCN é um losago. Determie a medida do segmeto NB, sabedo que AB = AD = 0cm. b) Cosidere dois poliômios, f(x) e g(x), tais que o grau de f(x) é + e o grau de g(x) é -. Sejam q(x) e r(x) (r(x) 0), respectivamete, o quociete e o resto da divisão de f(x) 5 Projeto Futuro Militar

6 por g(x). O que se pode afirmar a respeito dos graus dos poliômios q(x) e r(x)? a 53) (Fatec-00) O poliômio p = x 3 + a x - 7x -, a R, é divisível por (x - ). Se o poliômio q = ax 3 + 3ax + bx + é um cubo perfeito, etão o valor de b é a) 6 b) 4 c) 3 d) e) 54) (PUC-PR-003) Dado o poliômio x 4 + x 3 - mx - x +, determiar m e para que o mesmo seja divisível por x - x -. A soma m + é igual a: a) 6 b) 7 c) 0 d) 9 e) 8 55) (CPCAR-00) O resto da divisão do poliômio 4 3 p(x) x x x x por x + é um úmero a) ímpar meor que 5 b) par meor que 6 c) primo maior que 5 d) primo meor que 7 p(x) x x 56) (UEL-00) Qual é o resto da divisão de 0 q(x) x x pelo poliômio? a) - x b) - c) x d) - x e) 0 57) (Vuesp-000) Ao dividirmos um poliômio p(x) por (x - c), obtemos quociete q(x) = 3x 3 - x + x - e resto p(c) = 3. Sabedo-se que p() =, determie a) o valor de c; b) o poliômio p(x). 58) (Mack-00) Se o poliômio p(x) = x 5 + 4ax 4 + 3x 3 + a 3, a IR, é divisível por x - a, etão a) 0 a é: b) c) d) e) 6 59) (PUC-RJ-00) Dado que as raízes do poliômio p(x) = x 3 + ax + bx + c são 0, e -, calcule p(). 60) (FGV-00) Se o poliômio P(x) = x 3 - kx + 6x - for divisível por (x - ), ele também será divisível por: a) x - 5x + b) x - 5x + 3 c) x + 5x + d) x + 5x + 3 e) x - 5x + 5 6) (UFC-00) O poliômio P(x) = x 3 - x + ax + b, em que a e b são úmeros reais, possui o úmero complexo i como uma de suas raízes. Etão o produto a b é igual a: a) - b) - c) 0 d) e) 6) (Fatec-996) Se f é uma fução de IR em IR defiida x 3 por f(x)= x 3, etão a expressão f(x) f() x, para x, é equivalete a: x 3 a) (x 3) x 3 b) (x 3) x c) (x 3) x d) (x 3) e) x 63) (Vuesp-00) Cosidere a fução poliomial de 3º grau, p(x) = x 3 3x +. a) Calcule p( ), p(0), p(), p() e esboce o gráfico. b) Com base o item (a), respoda, justificado sua resposta, quatas raízes reais e quatas raízes complexas (ão reais) tem p(x). 6 Projeto Futuro Militar

7 64) (UFPR-999) Cosiderado que os poliômios desta questão têm coeficietes reais, é correto afirmar: (0) Se o resto da divisão de um poliômio p(x) por x é 5 e por x+ é 3, etão 3p() = 5p( ). (0) Se p(x) e q(x) são poliômios de grau, etão o poliômio p(x) + q(x) sempre tem grau. (04) Se p(x) = (x ) 5, etão a soma das raízes da equação p(x) = 0 é igual a 0. (08) Se os úmeros complexos +i e +i são raízes da equação poliomial p(x) = 0, etão é possível que o grau da equação seja igual a. (6) Se a equação poliomial p(x) = 0 ão tem raízes reais, etão o gráfico de p(x), em um sistema de coordeadas cartesiaas ortogoais, ão itercepta o eixo das abscissas. Marque como resposta a soma dos ites corretos. 65) (Fuvest-999) Dividido-se o poliômio p(x) por x 3x +, obtêm-se quociete 3x + e resto x +. Nessas codições, o resto da divisão de p(x) por x é: a) b) c) 0 d) - e) - 66) (Fuvest-999) O gráfico: Pode represetar a fução f(x)= a) x (x ) b) x (x ) c) x 3 (x ) d) x (x ) e) x (x ) 7 Projeto Futuro Militar

8 Gabarito ) Alterativa: D Note que, se todos os restos das divisões por (x-), (x-), (x-3), (x-4) e (x-5) são, etão P(x) - é divisível por (x- )(x-)(x-3)(x-4)(x-5). Assim, P(x) - = a(x-)(x-)(x-3)(x-4)(x-5). Como P(6) = 0, temos - = a , ou seja, temos a = - 0. Daí, P(x) = - 0 (x-)(x-)(x-3)(x-4)(x-5) + e portato, fazedo x = 0, temos P(0) =. ) P(3-i) = +4i Resolução: Seja P(x) = a x + a -- x a x + a o, a 0. Temos: P(3 i)... (3 i) o... (3 i) o P(3 i) 4i 4i ) Alterativa: A (supodo-se coeficietes reais para o poliômio. Caso cotrário, ão há solução correta.) 4) a) R(x) = x + b) Q(x) = x 98 + x 96 + x x + 5) a) Para =, temos f(x) = a x + a x + a 0 e g(x) = a x + a. f ( x h) f ( x) h Assim, = ( x h) ( x h) x x a 0 ( 0) h = x xh h x h 0 x x h a 0 h.( ax h ) = h o o b) f(x) = x 3 -x -x + 6) a) y = x + b) P(x) = 3 x 3 + x 3 x + h x =a +a h x = g 7) Se (p(x)) 3 = x.p(x) etão ou p(x) = 0 ou p(x) = x. Como p(x) é ão ulo, etão p(x) = x p(x) = x ou p(x) = -x. E ambos também verificam a codição (p(x)) 3 = x.p(x ). a) grau = b) p(x) = x ou p(x) = -x 8) a) a = 0, cosiderado-se que os moômios precisam ser da forma.x com real e iteiro, para qualquer x. b) raízes: 0, e 9) Alterativa: E 0) a) 4i b) -+i e -i ) a) P(0) = 3, P() = e P() =. b) Como o grau de x + 3 é, e o grau de x.p(-x) > grau de P(x), etão o grau de x.p(-x) é. Como o grau de x é, o grau de P(-x) é - =. Assim, o grau de P(x) é. ) Alterativa: C 3) Alterativa: E (x+3) 5 = x x x x x = x x x x + 405x Daí o termo de grau 3 em (x-)(x+3) 5 será 70x 3-90x 3 = 80x 3. Portato, o coeficiete do termo de grau 3 deste poliômio é 80. 4) a) m= ou m=- b) m= 5) Alterativa: B 6) Alterativa: D 7) Alterativa: A Se p(x) = x.(x ) (x 4) etão p (x) = p(x ) = (x ).(x- - ) ((x-) 4) = (x ).(x 3).(x 4x) = x(x 8 Projeto Futuro Militar

9 ).(x 3).(x 4), ou seja, p (x) têm raízes em x=0, x= (raiz dupla), x=3 e x=4. As úicas alterativas possíveis são (a) e (b). Como p () =.( ).( 3).( 4) = 6 etão o gráfico de p (x) é positivo para 0<x< e a alterativa correta é a (a) 8) a) R(x) = - x + 3 b) 5 9) Alterativa: A 0) Alterativa: A ) Alterativa: A ) Alterativa: C 3) Alterativa: E 4) Alterativa: D 5) Alterativa: E 6) Alterativa: C 7) Alterativa: A 8) Alterativa: B 9) Alterativa: A 30) Alterativa: B 3) Alterativa: E 3) p() = 3 33) Alterativa: E 34) Alterativa: A 35) Alterativa: B 36) m = 3 e = 8 37) Resto = 30 38) Alterativa: C 39) Alterativa: B 40) Alterativa: D 4) Alterativa: C 4) Sem alterativa. O resto = 43) Alterativa: E 44) Alterativa: C 45) Alterativa: B 46) Alterativa: D 47) Alterativa: C 48) Alterativa: C 49) Alterativa: C 50) Alterativa: E 5) Alterativa: E 5 4 cm 5) a) BN = b) gr(q) = 3 e 0 gr(r) < - 53) Alterativa: A 54) Alterativa: E 55) Alterativa: C 56) Alterativa: B 57) a) c = b) p(x) = 3x 4-8x 3 + 5x + 3x ) Alterativa: B 59) p() = 6 60) Alterativa: A 6) Alterativa: A 6) Alterativa: A 63) a) p(x) = x 3 3x + p( ) = p( ) = p(0) = p(0) = p() = 3 + p() = p() = p() = 3 9 Projeto Futuro Militar

10 b) Como p(x) é do 3 o grau, ele tem 3 raízes complexas. Pelo gráfico de p(x) percebemos que todas as 3 são reais (3 cortes o eixo x), portato ehuma é imagiária. 64) V F V F V = +4+6 = 65) Alterativa: B 66) Alterativa: D 0 Projeto Futuro Militar