Curso Mentor. Radicais ( ) Definição. Expoente Fracionário. Extração da Raiz Quadrada. Por definição temos que:

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1 Curso Metor Defiição Por defiição temos que: Radicais a b b a, N, Observação : Se é par devemos ter que a é positivo. Observação : Por defiição temos:. 0 0 Observação : Chamamos de radicais semelhates, radicais que cotêm o mesmo ídice e o mesmo radicado (úmero detro da raiz). Por exemplo, e 7. Exemplo : Exemplo : 7 7 Expoete Fracioário Toda vez que temos um expoete que é um úmero racioal podemos trasformar este expoete em um radical cuja potêcia é o iverso do ídice da raiz: Exemplo : Exemplo : Exemplo : 7 7 Extração da Raiz Quadrada Agora que defiimos o expoete racioal como sedo uma raiz cujo ídice é o deomiador da fração, podemos pesar a extração da raiz quadrada como sedo a divisão etre o expoete obtido pela fatoração da base dividido pelo deomiador desta mesma fração. Veja os exemplos: Exemplo : Calcular a raiz quadrada de 6. Solução: Fatorado 6 ecotramos: 6 Assim como queremos a raiz quadrada temos: 6 Se esta divisão ão resultar em um úmero iteiro, o resto da divisão será o expoete da parcela que fica detro do radical: Exemplo : Calcular a raiz quadrada de. Solução: Fatorado ecotramos: Assim como queremos a raiz quadrada temos: Lembre-se que um úmero racioal é todo aquele que pode ser escrito sob a forma de fração. Radicais e Racioalização

2 Curso Metor + Repare que a divisão de por temos quociete e resto. Outra observação é que aplicamos aqui propriedades de potêcias que você já deve cohecer de atemão. Abaixo você verá algumas dessas propriedades ovamete, mas é importate que você já as teha visto, pelo meos uma vez, ates. Raiz de um Produto A raiz de um produto é dada pelo produto das raízes. Ou seja: ab a b Exemplo : Calcular a raiz cúbica de. Solução: Fatorado ecotramos: Etão: Raiz de um Quociete A raiz de um quociete é dada pelo quociete das raízes. Ou seja: Exemplo : Calcular a raiz Solução: Usado a defiição dada: Operações com Radicais Adição e Subtração A adição e a subtração só são possíveis etre radicais semelhates. Devemos colocar em evidêcia os radicais e somar a parte racioal: a b ± c b a ± c b Exemplo : Calcular a soma + 7. Solução: Usado a propriedade: + 7 ( + 7 ) 9 Produto e Quociete Para fazer o produto ou quociete etre dois radicais ele deverão ter ou o mesmo ídice o radical ou o mesmo radicado: Mesmo ídice: Produto: a b c d ac bd Divisão: a b a b c d c d Observação : Note que este resultado é uma mera cosequêcia da propriedade da potêcia de um produto (ou divisão) qualquer. Exemplo : Calcular o produto 7. Solução: Usado a propriedade: Radicais e Racioalização

3 Curso Metor Exemplo : Calcular o quociete Solução: Usado a propriedade: Mesmo radicado: Produto: p p p a b c b ac b +. 7 a b a p p Divisão: b p c b c Observação : Note que este resultado é uma mera cosequêcia da propriedade da de um produto (ou divisão) de potêcia de mesma base. Exemplo : Calcular o produto 7. Solução: Usado a propriedade: Exemplo : Calcular o quociete Solução: Usado a propriedade: ( 9) 9 9 Potêcia Para calcular a potêcia de um radical basta repetir a base e multiplicar os expoetes. Exemplo : Calcular o valor de 0 8. Solução: Basta aplicar a propriedade: b ( a ) b a Observação : Note que calcular a raiz de uma raiz é o mesmo que calcular a potêcia de uma raiz, pela própria defiição, dada aqui, de expoete fracioário. Racioalização O processo de racioalização cosiste de um recurso matemático para elimiar do deomiador de uma fração um radical qualquer. Isto é feito por motivo de padroização matemática e simplicidade de cálculos. Veja a situação abaixo: racioalizado fica Como, veja que calcular,67... (valor racioalizado) é muito mais imediato que ecotrar o resultado de, Não existe fórmula para racioalizar, mas certos casos são comus e são melhores etedidos através de exemplos. Vamos etão a eles: Exemplo : Racioalizar o deomiador de. Radicais e Racioalização

4 Curso Metor Solução: Vamos multiplicar a fração por, etão: 9 Exemplo : Racioalizar o deomiador de. Solução: Vamos multiplicar a fração por : 8 Exemplo : Racioalizar o deomiador de Solução: Vamos multiplicar a fração por + : +. ( + ) ( + ) Exemplo : Racioalizar o deomiador de Solução: Lembrado que Vamos multiplicar a fração por a b a b a + ab + b a + b a + b a ab + b Exemplo : Racioalizar o deomiador de :. Solução: Sempre que houver raízes de ídice par, o ideal é começar usado a propriedade da difereça de dois quadrados: + Vamos multiplicar a fração por : Usado a difereça de cubos, vamos multiplicar por : Radicais e Racioalização

5 Curso Metor Radical Duplo ( + ) ( ) Radicais e Racioalização Seja o seguite radical duplo: ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) A + B Queremos trasformá-lo em um radical simples da forma: x + y Ou seja: Elevado ao quadrado de ambos os lados: 9 A + B x + y A + B x + y A + B x + xy + y Assim, para que a igualdade se verifique devemos ter: A x + y A x + y B xy B xy Sedo x e y raízes de uma equação do ª grau, temos a soma e o produto em fução de A e B, respectivamete. Etão podemos escrever a seguite equação do segudo grau em fução de z: z Az + 0 Solucioado esta equação ecotramos: B B + ( A) ± ( A) z z z Como x e y são as raízes: Fazedo C A B teremos: A A B A A B + x y A A B A A B A + C A C A ± B ± Exemplo : Trasformar o radical duplo 6 em um radical simples.

6 Curso Metor Solução: Primeiro precisamos colocar o radical duplo a forma A Calculado C: Usado a expressão dada: Exercícios de Fixação C 6 0 C 6 C B. ) Assiale a alterativa em que temos um par de radicais semelhates: a) 9 e b) e c) 9 e d) 7 e 9 7 e) 7 e 6 ) O valor de 0,... é: a) 0,... b) 0,... c) 0,0... d) 0, ,... 0,7 ) A difereça 7 6 é igual a: a) b) 6 c) d) 6 e) ) O valor de é: a) 6 b) 6 c) 6 d) e) Impossível ) O resultado da operação 7 é: a) 0 b) c) 6 d) 6) Racioalizado-se a expressão a) m a + b) a m a, obtemos: m a c) m + d) m e) a m + a 7) O valor da expressão, é: a) b) c) d) + Radicais e Racioalização 6

7 Curso Metor ) C ) D ) C ) D ) A 6) E 7) A Gabarito Radicais e Racioalização 7