APOSTILA DE MATEMÁTICA PM/PA 2016

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1 APOSTILA DE MATEMÁTICA PM/PA 2016 Olá, tudo bem? Sou o Prof. Arthur Lima, e resumi nas próximas páginas os pontos do edital de MATEMÁTICA da POLÍCIA MILITAR DO PARÁ, cujas provas serão aplicadas pela banca FADESP em 31/Julho/2016. Além deste breve resumo, veja em seguida a resolução das questões da prova da PM/PA 2007, que foi realizada também pela mesma banca (a prova de 2012 foi da UEPA). Conheça meu curso completo de MATEMÁTICA (vídeos e aulas escritas) para a PM/PA 2016 aqui: Números inteiros: operações e propriedades. Números racionais, representação fracionária e decimal: operações e propriedades. Mínimo múltiplo comum. Porcentagem. Números naturais: aqueles de contagem natural {0, 1, 2, 3,...} Números inteiros: naturais e seus opostos {... -2, -1, 0, 1, 2,...} Números racionais: podem ser escritos na forma A, onde A e B são inteiros. Três tipos: B - são racionais: frações, números com casas decimais finitas (ex.: 0,8751), dízimas periódicas (ex.: 0, ou simplesmente 0,3 ); - este conjunto inclui todos os inteiros, que por sua vez inclui todos os naturais. Mínimo múltiplo comum (MMC): o MMC entre dois números é o menor número que é múltiplo de ambos os números. Ex.: o MMC entre 10 e 15 é o número 30. Por outro lado, veja que o número 30 é divisível por 10 e também por para obter o MMC, basta fatorar os números, usando todos os divisores necessários até tornar os dois números iguais a 1. Ex.: Prof. Arthur Lima 1

2 10 15 Fatores (mantido, pois não é divisível por 2) (mantido, pois não é divisível por 3) (chegamos ao valor 1 para ambos os números, portanto temos o MMC) MMC = 2 x 3 x 5 = 30 Porcentagem: quantia de interesse Porcentagem = 100% OU SEJA, quantia de interesse = porcentagem total total número percentual fração número decimal 20% 20/100 0,20 Aumentar um valor em x% é igual a multiplicá-lo por (1 + x%). Reduzir um valor em x% é igual a multiplicá-lo por (1 x%). De equivale à multiplicação: portanto, 20% de 300 é igual a 20% x 300. Razão e proporção. Regra de três simples. - Grandezas diretamente proporcionais: crescem e decrescem juntas. Resolva montando uma regra de três e fazendo a multiplicação cruzada ; - Grandezas inversamente proporcionais: uma aumenta quando a outra diminui. Antes da multiplicação cruzada, inverta os valores de uma grandeza. - Passos para resolver uma regra de três composta: 1) identificar, usando setas, as grandezas que são diretamente proporcionais e as que são inversamente proporcionais em relação a grandeza que queremos descobrir (aquela que possui o X). 2) inverter as colunas que forem inversamente proporcionais à grandeza que queremos. 3) igualar a razão onde está a grandeza X com o produto das outras razões. Prof. Arthur Lima 2

3 Equação do 1º grau. Sistema de equações do 1º grau. Relação entre grandezas: tabelas e gráficos. Média aritmética simples. - Produtos notáveis mais importantes: ( a b) a 2 a b b ( a b) a 2 a b b ( a b) ( a b) a b Equação de 1º grau: a.x + b = 0 (sua raiz é x = -b/a) - Método da substituição em sistema de equações de 1º grau: com duas equações e duas variáveis, isole uma variável na primeira equação e substitua na segunda. - média aritmética simples: consiste na soma de todos os valores, dividida pela quantidade total de valores. Soma dos valores Média = Quantidade total ou seja, Soma dos valores Média Quantidade total - propriedades relativas à média de um conjunto de dados: - somando-se ou subtraindo-se um valor constante em todos os valores, a média desse novo conjunto será somada ou subtraída do mesmo valor. - multiplicando-se ou dividindo-se todos os dados por um valor constante, a média desse novo conjunto será multiplicada ou dividida pelo mesmo valor. - o valor da média é calculado utilizando todos os valores da amostra. Portanto, qualquer alteração nesses valores poderá alterar a média. Assim, costumamos dizer que a média é afetada pelos valores extremos da distribuição. Prof. Arthur Lima 3

4 Sistema métrico: medidas de tempo, comprimento, superfície e capacidade. Noções de geometria: forma, perímetro, área, volume, teorema de Pitágoras. Veja as principais unidades do sistema métrico em amarelo nas tabelas abaixo, seus múltiplos e submúltiplos, e como efetuar as conversões: Unidades de comprimento (distância) Milímetro Centímetro Decímetro Metro Decâmetro Hectômetro Quilômetro (mm) (cm) (dm) (m) (dam) (hm) (km) 1000mm 100cm 10dm 1m 0,1dam 0,01hm 0,001km Multiplicar por 10 Dividir por 10 Unidades de superfície (área) Milímetro Centímetro Decímetro Metro Decâmetro Hectômetro Quilômetro quadrado quadrado quadrado quadrado quadrado quadrado quadrado (mm 2 ) (cm 2 ) (dm 2 ) (m 2 ) (dam 2 ) (hm 2 ) (km 2 ) mm cm 2 100dm 2 1m 2 0,01dam 2 0,0001hm 2 0,000001km 2 Multiplicar por 100 Dividir por 100 Unidades de capacidade (volume) Milímetro cúbico (mm 3 ) Centímetro cúbico (cm 3 ) Decímetro cúbico (dm 3 ) Metro cúbico (m 3 ) Decâmetro cúbico (dam 3 ) Hectômetro cúbico (hm 3 ) Quilômetro cúbico (km 3 ) mm cm dm 3 1m 3 0,001dam 3 0,000001hm 3 0, km 3 Multiplicar por 1000 Dividir por 1000 ** lembre que 1 litro = 1dm 3, e que 1000 litros = 1m 3 - Perímetro: soma dos comprimentos dos lados de uma figura plana; - Áreas das principais figuras planas: Figura Área Figura Área Quadrado Retângulo A = b x h A L Área = base x altura Área = lado ao quadrado 2 Prof. Arthur Lima 4

5 Trapézio A b B h 2 Losango D d A 2 Área = (base menor + base maior) x altura / 2 Área = (diagonal menor x diagonal maior) / 2 Paralelogramo b h A = b x h Área = base x altura Triângulo*** b h A 2 Área = (base x altura) / 2 b Círculo A r 2 Área = pi x raio ao quadrado *** Teorema de Pitágoras (triângulos retângulos): hipotenusa 2 = (cateto1) 2 + (cateto2) 2 Conheça meu curso completo de MATEMÁTICA (vídeos e aulas escritas) para a PM/PA 2016 aqui: - Volumes das principais figuras espaciais: Figura Área Figura Área Cubo Paralelepípedo V = Ab x h H L C Volume = área da base x altura V = C x L x H Volume = comprimento A x largura x altura A A V A 3 Volume = aresta ao cubo Cilindro H V = Ab x h Volume = área da base x altura 2 V R H Cone H G Ab H V 3 Volume = área da R Volume = pi x raio ao quadrado x altura R base x altura / 3 Prof. Arthur Lima 5

6 Pirâmide Prisma Ab H V 3 Volume = área da base x altura / 3 H V = Ab x h Volume = área da base x altura L Esfera V = 4 R 3 /3 Volume = 4 x pi x raio ao cubo / 3 E aí, vamos resolver juntos as questões da prova da POLÍCIA MILITAR DO PARÁ de 2007? Esta foi a última prova aplicada pela FADESP, que é a mesma banca do concurso de 2016! 1. FADESP Soldado PM/PA 2007) Dos 100 soldados que participavam de um curso de formação de cabos, 40 gostavam de praticar voleibol, 68 gostavam de praticar futebol e 14 não gostavam de praticar esses esportes. A quantidade de soldados que gostavam de praticar tanto voleibol quanto futebol é igual a (A) 18. (B) 22. (C) 30. Prof. Arthur Lima 6

7 (D) 46. Sendo V e F os conjuntos de soldados que gostavam de voleibol e futebol, respectivamente, podemos dizer que: n(v) = 40 n(f) = 68 Como, das 100 pessoas, 14 não gostavam de nenhum desses esportes, então = 86 gostavam de pelo menos um dos esportes. Ou seja, n(v ou F) = 86 Usando a fórmula para dois conjuntos, temos: n(v ou F) = n(v) + n(f) n(v e F) 86 = n(v e F) n(v e F) = n(v e F) = 22 Resposta: B Isto é, 22 pessoas gostavam de ambos os esportes. 2. FADESP Soldado PM/PA 2007) Se numa festa a quantidade de moças está para a quantidade de rapazes na razão de 13 para 12, então a porcentagem de moças presentes é (A) 46%. (B) 48%. (C) 50%. (D) 52% Para cada 13 moças, temos 12 rapazes. Portanto, em um grupo de = 25 pessoas na festa, teremos 13 moças e 12 rapazes. Portanto, o percentual de mulheres na festa é: Percentual = mulheres / total Percentual = 13 / 25 Prof. Arthur Lima 7

8 Multiplicando numerador e denominador por 4, ficamos com: Percentual = 52 / 100 Percentual = 52% Resposta: D 3. FADESP Soldado PM/PA 2007) A prova de um concurso continha 60 questões, e os pontos eram calculados pela fórmula P = 3C 2E + 120, onde C era a quantidade de questões certas e E a de questões erradas. Um candidato que obteve 225 pontos acertou: (A) 45 questões. (B) 30 questões. (C) 20 questões. (D) 15 questões. O total de questões é igual a 60. Portanto, se acertamos C questões, o número de questões erradas é de 60 C. Ou seja, E = 60 C. Sabendo que o candidato fez 225 pontos, podemos escrever que: P = 3C 2E = 3C 2(60 C) = 3C C = 5C C = 225 / 5 C = 450 / 10 C = 45 Resposta: A Ou seja, o candidato acertou 45 questões. 4. FADESP Soldado PM/PA 2007) Sabendo-se que uma pessoa consome aproximadamente 800 metros cúbicos de água por ano e que o planeta dispõe de, no máximo, 9000 quilômetros cúbicos de água para o consumo por ano, pode-se afirmar que a capacidade máxima de habitantes que o planeta suporta, considerando-se apenas a disponibilidade de água para consumo, é aproximadamente: Prof. Arthur Lima 8

9 (A) (B) (C) (D) Cada pessoa consome 800 metros cúbicos. O planeta possui quilômetros cúbicos de água. Para transformar quilômetros cúbicos em metros cúbicos, devemos multiplicar por três vezes consecutivas (para ir de km 3 para hm 3, depois para dam 3, e então para m 3 ). Ou seja, km 3 = x x x m km 3 = m 3 Portanto, se 1 habitante consome 800m 3, vejamos quantos habitantes precisamos para consumir m 3 : 1 pessoa m 3 N pessoas m 3 Resposta: C 1 x = N x = N x = N x = N x 2 N = pessoas 5. FADESP Soldado PM/PA 2007) Para encher um recipiente com capacidade de 15 litros, a quantidade mínima de vezes que terei de utilizar uma garrafa de refrigerante com capacidade para 600 ml é (A) 20. (B) 25. (C) 30. (D) 35. Sendo N o número de vezes que vamos usar a garrafa de 600ml (ou melhor, de 0,6 litro), podemos dizer que: Prof. Arthur Lima 9

10 Resposta: B N x 0,6 litro = 15 litros N = 15 / 0,6 N = 150 / 6 N = 50 / 2 N = 25 vezes 6. FADESP Soldado PM/PA 2007) O trabalho realizado por três máquinas durante 6 horas por dia, em 2 dias, custa R$ 1.800,00. Se uma máquina apresentar defeito e parar de funcionar, o custo da operação por 4 dias, com um funcionamento de 5 horas por dia, é igual a (A) R$ 1.850,00. (B) R$ 1.900,00. (C) R$ 1.950,00. (D) R$ 2.000,00. Podemos esquematizar as informações do enunciado assim: Máquinas Horas por dia Dias Custo C Veja que o número de máquinas caiu de 3 para 2, afinal uma parou de funcionar. Queremos descobrir o custo C na segunda situação. Precisamos agora avaliar quais grandezas são diretamente proporcionais e quais são inversamente proporcionais em relação ao Custo, que é o que queremos descobrir. Intuitivamente, observe que quanto MAIOR o número de máquinas, MAIOR o custo. Da mesma forma, quanto MAIS horas por dia, MAIOR é o custo. E quanto MAIS dias de trabalho, MAIOR é o custo. Todas as grandezas são diretamente proporcionais ao custo. Podemos montar nossa proporção, deixando a coluna da nossa variável (custo) de um lado e as demais colunas do outro lado da igualdade: C Prof. Arthur Lima 10

11 Resposta: D O custo é de reais C C C x 10 = 9C 200 x 10 = C 2000 = C Para responder às DUAS próximas questões, leia atentamente o texto abaixo. Considere pi aproximadamente igual a 3. Para realizar o Teste de Aptidão Física (TAF), as Forças Armadas utilizam uma pista cujas laterais são semelhantes a um retângulo com a largura igual à metade do comprimento, tendo, nas extremidades do comprimento, dois semicírculos. 7. FADESP Soldado PM/PA 2007) Se o comprimento da pista é igual a 420 m, então o raio dos semicírculos é igual a (A) 30 m. (B) 35 m. (C) 40 m. (D) 45 m. A pista tem a forma de um retângulo onde a largura é a metade do comprimento, ou seja, o comprimento C é o dobro da largura L, ou melhor, C = 2L: As laterais são semicírculos: Prof. Arthur Lima 11

12 Note que o comprimento total da pista é igual à soma dos dois segmentos de medida 2L, e mais os 2 semicírculos, que juntos formam um círculo. Este círculo tem diâmetro com medida L, de modo que o seu raio mede L/2. O comprimento deste círculo é: Comprimento do círculo = 2 x pi x raio Comprimento = 2 x 3 x L/2 Comprimento = 3L Assim, sabendo que o comprimento total da pista é de 420 metros, podemos escrever que: Comprimento total da pista = círculo + segmentos retos 420 = 3L + 2L + 2L 420 = 7L L = 420 / 7 L = 60 metros Resposta: A O raio de cada semicírculo é de L/2 = 60/2 = 30 metros. 8. FADESP Soldado PM/PA 2007) A área, em metros quadrados, ocupada pela pista é igual a (A) (B) (C) (D) Prof. Arthur Lima 12

13 A área total da pista é a soma da área de um círculo de raio 30 metros com a área de um retângulo de largura L = 60 metros e comprimento 2L = 120 metros. Ou seja, Área total = área do círculo + área do retângulo Área total = pi x raio 2 + largura x comprimento Área total = 3 x x 120 Área total = 3 x x 1200 Área total = Área total = 9900 m 2 Resposta: D 9. FADESP Soldado PM/PA 2007) Nos Jogos da Polícia Militar, a delegação de um batalhão obteve 37 medalhas. Sendo o número de medalhas de prata 20% superior ao das de ouro, e o número de medalhas de bronze 25% superior ao das de prata, o número de medalhas de prata obtido por essa delegação foi de (A) 17. (B) 15. (C) 12. (D) 10. Seja N o número de medalhas de ouro. As medalhas de prata são 20% a mais, ou seja, Prata = Ouro x (1+20%) Prata = N x (1 + 0,20) Prata = N x (1,20) Prata = 1,2N As medalhas de bronze são 25% a mais que as de prata: Bronze = Prata x (1 + 25%) Bronze = Prata x (1 + 0,25) Bronze = Prata x (1,25) Bronze = 1,2N x (1,25) Bronze = 1,2x1,25xN Bronze = 1,5N Prof. Arthur Lima 13

14 O total de medalhas é 37, ou seja, 37 = ouro + prata + bronze 37 = N + 1,2N + 1,5N 37 = 3,7N N = 37 / 3,7 N = 10 medalhas de ouro Resposta: C O número de medalhas de prata é 1,2N = 1,2x10 = FADESP Soldado PM/PA 2007) Ao se aumentar em 2 m um dos lados de uma sala de forma quadrangular, e o outro lado em 3 m, a sala tornou-se retangular, com 56 m 2 de área. Então, a medida, em metros, do lado do quadrado era igual a (A) 5. (B) 6. (C) 7. (D) 8. Suponha que o lado do quadrado original media L. Ao aumentar um lado em 2m e o outro em 3m, ficamos com um retângulo com largura L+2 e comprimento L+3. Sabendo que a área deste retângulo é de 56m 2, podemos dizer que: Área do retângulo = largura x comprimento 56 = (L+2) x (L+3) Nesta expressão acima podemos testar as opções de resposta. Testando L = 5 (alternativa A), temos o seguinte: (L+2) x (L+3) = (5+2) x (5+3) = 7 x 8 = 56 Portanto, veja que chegamos em 56m 2, o que demonstra que o lado do quadrado original era mesmo L = 5 metros. Prof. Arthur Lima 14

15 Resposta: A 11. FADESP Soldado PM/PA 2007) Dois amigos dividiram uma conta de R$135,00. O mais velho apresentou certa quantia e o mais novo completou com dois terços da quantia apresentada pelo mais velho. O valor que o mais novo apresentou foi igual a (A) R$ 84,00. (B) R$ 74,00. (C) R$ 64,00. (D) R$ 54,00. Seja V a quantia paga pelo mais velho. O mais novo pagou 2/3 disto, ou seja, 2V/3. O total pago foi de 135 reais, ou seja, V + 2V/3 = 135 3V/3 + 2V/3 = 135 5V/3 = 135 V = 135 x 3/5 V = 27 x 3 V = 81 reais Resposta: D Portanto, o mais novo pagou: 2V/3 = 2x81/3 = 2x27 = 54 reais 12. FADESP Soldado PM/PA 2007) Uma pessoa, após receber seu salário, gasta um quinto com transporte e, do que sobra, gasta um terço com alimentação, restando-lhe ainda R$ 480,00. Seu salário é (A) R$ 810,00. (B) R$ 840,00. (C) R$ 870,00. (D) R$ 900,00. Prof. Arthur Lima 15

16 MATEMÁTICA P/ POLÍCIA MILITAR DO PARÁ Seja S o salário da pessoa. Subtraindo 1/5 deste salário (transporte), sobram 4/5 do salário, isto é, 4S/5. Deste restante, são gastos 1/3 com alimentação, sobrando 2/3 disto, que corresponde a 480 reais. Ou seja, 2/3 de (4S/5) = 480 2/3 x (4S/5) = 480 4S/5 = 480 x 3/2 4S/5 = 240 x 3 4S/5 = 720 S = 720 x 5/4 S = 180 x 5 S = 900 reais Resposta: D Conheça meu curso completo de MATEMÁTICA (vídeos e aulas escritas) para a PM/PA 2016 aqui: TENHA UMA EXCELENTE PROVA! Saudações, Prof. Arthur Lima Acompanhe vídeos gratuitos no meu canal do Youtube: Curta meu Facebook e acompanhe várias outras dicas: Prof. Arthur Lima 16