Hewlett-Packard SISTEMAS LINEARES. Aulas 01 a 04. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz

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1 Hewlett-Packard Aulas 0 a 04 SISTEMAS LINEARES Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz

2 Sumário EQUAÇÕES LINEARES... Exemplo... Exemplo... EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS... SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO LINEAR... Exemplo... EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS... SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES... SOLUÇÃO DE UM SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES... EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS..... Verifique se a terna ordenada ( ; ; ) é uma solução do sistema linear x + y + z = 6 x y + z = x + y z = 0 Exemplo... Exemplo... CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA... REPRESENTAÇÃO MATRICIAL... EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS... ESCALONAMENTO... SISTEMA ESCALONADO... Diz-se que um sistema está escalonado se o número de coeficientes igual a zero antes do primeiro coeficiente não nulo aumenta a cada equação.... EXERCÍCIO FUNDAMENTAL... ESCALONAMENTO... EXERCÍCIO FUNDAMENTAL... 4 CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA... 4 EXERCÍCIO FUNDAMENTAL... 4 PROBLEMAS... 5 PROBLEMAS... 5 REGRA DE CRAMER... 5 EXERCÍCIO FUNDAMENTAL... 5 DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR... 6 EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS... 6 QUESTÕES EXTRAS... 7

3 AULA 0 EQUAÇÕES LINEARES Denomina-se equação linear nas incógnitas x, x,, x n toda equação do tipo a x + a x + + a n x n = b, em que a, a,, a n são denominados coeficientes reais e b R é denominado termo independente. Exemplo As equações a seguir são exemplos de equações lineares x 5x + 7x = x + x + x + x4 = x + y z + 4w = p + q r = 0 Obs.: Quando o termo independente de equação é nulo, a mesma é dita equação homogênea. Exemplo As equações a seguir não são exemplos de equações lineares x 5x x = x + x = x + z = y Obs.: Usualmente denotamos as variáveis com as letras x, y, z, w,. EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS.. Verifique em cada caso a seguir se a equação apresentada é linear. a) x 5y + z = b) x y + z = c) x+ y= d) m 5n= 0 EQUAÇÃO HOMOGÊNEA SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO LINEAR Uma sequência de números reais (α, α,, α n ) é uma solução da equação linear a x + a x + + a n x n = b, se, e somente se, a α + a α + + a n α n = b,. Exemplo A terna ordenada (,, ) é solução da equação x + y z = 8, pois + ( ) = 8. EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS.. Dada a equação linear x y= 5 verifique se os pares ordenados a seguir são soluções a) (, ) b) ( 4, ) c) (, ).. Determine m R de forma que o par ordenando ( m, m) + seja solução da equação x y= Determine uma solução geral da equação x + y = em função de um parâmetro real α R..5. Se um estudante tem em seu cofre muitas moedas de 0 e de 5 centavos, de quantas maneiras distintas pode pagar seu lanche que custou R$,65 com essas moedas. TAREFA Unid., Cap. 40: PSA e. AULA 0 SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES Um conjunto de duas ou mais equações lineares é denominado sistema de equações lineares. a x + a x + a x + + an xn = b a x + a x + a x + + an xn = b S = a x + a x + a x + + an xn = b a x + a x + a x + + a x = b m m m mn n m e) + z w= 0 x y Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página

4 SOLUÇÃO DE UM SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES Uma sequência de números reais (α, α,, α n ) é uma solução de um sistema linear se, e somente se, ela é uma solução de todas as equações desse sistema. EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS.. Verifique se a terna ordenada ( ; ; ) é uma x + y + z = 6 solução do sistema linear x y + z = 9. x + y z = 0 Exemplo x y = O sistema de equações { x y = 5 não admite solução real, visto que é impossível que a subtração de dois números reais seja igual a e 5 ao mesmo tempo. Exemplo x y = 0 O sistema de equações { x y = 0 admite infinitas soluções, como por exemplo (0; 0) e (; ). Obs.: Quando os termos independentes b, b,, b n forem iguais a zero, o sistema linear denomina-se sistema linear homogêneo. Todo sistema homogêneo admite a solução trivial (0; 0; ; 0). Obs.4: Não necessariamente um sistema admite solução única. Ele pode não ter solução ou ter infinitas soluções. CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA Podemos classificar um sistema, quanto as suas soluções, dentre as seguintes categorias. Sistema Possível e Determinado (SPD): uma única solução. Sistema Possível e Indeterminado (SPI): terá infinitas soluções. Sistema Impossível (SI): não tem solução, ou seja, seu conjunto solução será vazio. REPRESENTAÇÃO MATRICIAL A cada sistema linear podemos associar três matrizes que resumem o sistema: a matriz dos coeficientes, a matriz das incógnitas e a matriz dos termos independentes. No sistema S a seguir temos associado a ele a matriz dos coeficientes A, das incógnitas X e dos termos independentes B. a x + a x + a x + + an xn = b a x + a x + a x + + an xn = b S = a x + a x + a x + + an xn = b a x + a x + a x + + a x = b m m m mn n m a a a a a a a a A a a a a n n = n a a a a m m m mn, X x b x b e B= b x n b m = x Observe que assim o sistema S pode ser escrito como uma operação entre essas matrizes, ou seja, A X = B. a a a an x b a a a a n x b a a a a n x = b a a a a x b m m m mn n m Exemplo x y + 5z = Considere o sistema linear x + y z =, y z= podemos escrevê-lo da forma a seguir. 5 x y = 0 z MATRIZ DOS COEFICIENTES MATRIZ DAS INCÓGNITAS MATRIZ DOS TERMOS INDEPENDENTES Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página

5 EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS.. Reescreva os sistemas lineares a seguir utilizando suas matrizes associadas. x + y z = 5 a) 7x + 5y + z = 6 x + y z = 0 x + y z = b) x + z= y z= x z= c) 7x+ y= y z= TAREFA Unid., Cap. 40: PSA e 4. AULA 0 ESCALONAMENTO SISTEMA ESCALONADO Diz-se que um sistema está escalonado se o número de coeficientes igual a zero antes do primeiro coeficiente não nulo aumenta a cada equação. Exemplo Os sistemas lineares a seguir são exemplos de sistemas lineares escalonados x y + 5z = y z=, z = x y + 5z + w = 0 y z w = z+ w= 5 x y + z + w = z w= EXERCÍCIO FUNDAMENTAL x y + 5z =.. Resolva, em R, o sistema y z=. z = ESCALONAMENTO Escalonar um sistema é fazer combinações lineares com suas equações até obter um sistema equivalente na forma escalonada. PASSO A PASSO. Utilizando a primeira equação faça combinações lineares com as equações seguintes de modo a zerar o coeficiente da primeira incógnita de todas elas.. Do novo sistema utilizando a segunda equação faça combinação linear com as demais equações de modo a zerar o coeficiente da segunda incógnita de todas elas.. Repita o processo para cada equação até obter um sistema escalonado. Exemplo Vamos escalonar o sistema linear a seguir x y + z = (I) x y + z = (II) x + y + z = 5 (III) º: Com a ª equação vamos zerar os coeficientes de x nas equações seguintes. Para isso faça o seguinte: x + 6y 4z = (I) + (II) x y + z = + 5y z= x 9y + 6z = (I) + (III) x + y + z = 5+ 8y+ 8z= 8 y+ z= x y + z = (I) 5y z= (II) y + z= (III) º: Com a ª equação vamos zerar os coeficientes de y na equação seguinte. Para isso faça o seguinte: 5y z= (II) + 5 (III) 5y+ 5z= 5 + z = z = 6 Obtendo assim o sistema na forma escalonada. Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página

6 x y + z = 5y z= z = Uma vez na forma escalonada fica fácil determinar a solução do sistema, basta substituir as soluções obtidas nas equações da última para a primeira. Assim, no exemplo acima podemos determinar a seguinte solução. z = 5y = y = z = e y= x + = x = S = (,, ) EXERCÍCIO FUNDAMENTAL.. Escalone e resolva os sistemas lineares a seguir x y + z = a) x 5y + z = 4 x + y z = x y + z = b) x + y + z = x + y z = CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA Podemos classificar o sistema entre SPD, SPI e SI no meio de escalonamento: Sistema Possível e Determinado pode ser identificado quando for obtido uma solução única ao fim do processo. Sistema Possível e Indeterminado pode ser identificado quando uma vez escrito na forma escalonada o número de equações for menor que o número de incógnitas. Sistema Impossível pode ser identificado quando no processo de escalonamento do sistema acontecer algum absurdo (do tipo 0 = ). Resolução de um sistema possível indeterminado Considere o sistema Obs.: As incógnitas que não iniciam nenhumas das equações de um sistema linear escalonado são chamadas de variáveis independentes e são a elas que atribuímos valores para resolver um sistema possível indeterminado. EXERCÍCIO FUNDAMENTAL.. Escalone, classifique e resolva os sistemas lineares a seguir. a) b) c) x + y z = x + y z = x + y + z = 4 x + y z = x + y z = x + 7y 5z = x + y + z = x + y z = x + 8y z = 5 x + y z = 5, observe que ele y z= está na sua forma escalonada e que o número de equações é menor que o número de incógnitas, assim esse sistema é possível e indeterminado (SPI). Observe que para cada valor de z que escolhermos encontraremos um único valor de x e y que resolve o sistema. Assim vamos escolher um valor arbitrário para z, por exemplo, tomemos z =, com α R. Assim, o sistema ficará da seguinte forma: x+ y= 5 + y = + Se substituirmos o valor de y na primeira equação teremos o seguinte x+ + = 5+ x= 4 Temos assim os valores de x, y e z em função de um valor escolhido. Podemos então escrever a solução geral desse sistema na forma. S = {(4 α, + α, α); α R} TAREFA Unid., Cap. 40: PSA 5 a 0. Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 4

7 AULA 04 PROBLEMAS PROBLEMAS 4.. Uma loja de doces vende brigadeiro, bombom e trufa. Sabe-se que um brigadeiro custa R$,00, um bombom R$4,00 e uma trufa R$,00. Um cliente comprou 00 doces, gastando R$80 reais. Se o total de brigadeiros comprados é igual a soma das quantidades dos outros dois doces. então o número de trufas compradas foi A) 0 B) 5 C) 0 D) 5 E)0 4.. De quantas maneiras pode-se comprar selos de reais e de 5 reais de modo que se gaste 50 reais. 4.. Uma pessoa comprou cavalos e bois. Foram pagos escudos por cavalo e 0 por boi e sabe-se que todos os bois custaram 7 escudos a mais do que todos os cavalos. Determine quantos cavalos e quantos bois foram comprados, sabendo que o número de bois está entre 0 e 45. AULA 05 REGRA DE CRAMER A regra de Cramer utiliza o cálculo de determinantes para determinar as incógnitas de um sistema linear. PASSO A PASSO. Calcule o determinante, D, da matriz dos coeficientes do sistema.. Na matriz dos coeficientes, substitua a coluna dos coeficientes de x pela coluna dos termos independentes e calcule o seu determinante, D x. Dx. O valor da incógnita x será dado por x =. D 4. Repita o processo para cada incógnita do sistema. Exemplo Vamos determinar a solução ( x, y, z ) do sistema x y + z = x y + z = x + y + z = 5 º: Vamos calcular o determinante, D, da matriz dos coeficientes. D = = = 6 º: Calcule Dx, Dy, D z D x = = = 6 5 D = = = y D z 5 = = = 48 5 º: Calcule x, y, z D x 6 x = = = D 6 D y y = = = D 6 D 48 z = z = = D 6 Portanto, S = (,, ) Obs.: Só será possível resolver um sistema utilizando a regra de Cramer se o determinante da matriz dos coeficientes for diferente de zero, e nesse caso o sistema será possível e determinado. EXERCÍCIO FUNDAMENTAL 5.. Resolva, utilizando a regra de Cramer, os sistemas lineares a seguir. a) b) x+ y= x 4y = x + y z = 9 x + 4y z = 5 5x 0y 5z = 5 Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 5

8 5.. Uma distribuidora de lanches vende suco, mistoquente e hambúrguer. Sabe-se que o preço de um suco é R$,00, um misto quente R$,00 e um hambúrguer é R$ 4,00. Uma lanchonete comprou 60 desses três produtos da distribuidora, gastando R$ 70,00. Se o total de sucos comprados é igual à diferença entre a quantidade de hambúrgueres e mistos-quentes comprados, nessa ordem, então o número de mistos-quentes comprados foi igual a A) 5. B) 0. C)0. D)0. E)50. AULA 06 DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR Discutir um sistema em função de um parâmetro real k é dizer para quais valores de k o sistema será possível e determinado (SPD), possível e indeterminado (SPI) e impossível (SI). PASSO A PASSO. Calcule o determinante, D, da matriz dos coeficientes do sistema.. Quando D 0 temos que o sistema será possível e determinado.. Quando D = 0 temos que o sistema será possível e indeterminado ou impossível. 4. Escalone o sistema após substituir o valor do parâmetro que zera o determinante para decidir se o sistema será SPI ou SI. Exemplo Vamos discutir o sistema a seguir em função do parâmetro real k x y= x ky = º: Vamos calcular o determinante, D, da matriz dos coeficientes. D= = k+ 6 k º: Verifique para quais valores de k temos D = 0. D = 0 k + 6 = 0 k = 6 Ou seja, k 6 SPD k = 6 SPI ou SI º: Para o caso k = 6 decida se o sistema é SPI ou SI, utilizando o escalonamento. x y= x 6y= x y= 0= ( ) I + II Logo o sistema é impossível para k = 6. k = 6 SPD Assim, k 6 SI EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 6.. Discuta, em função do parâmetro real k, os sistemas lineares a seguir. a) b) x+ y= x + ky = x + y z = x + 4y z = x + y kz = x + y + z = 4 c) x + ky z = x + y + ( k) z = 6.. Discuta, em função dos parâmetros reais m e n, o sistema linear a seguir. x+ y= x + my = n 6.. Determine o valor do parâmetro real k de modo que o sistema linear homogêneo a seguir admita apenas a solução trivial. x + y z = 0 x y + z = 0 x + y kz = 0 TAREFA 4 Unid., Cap. 4: PSA a 6, 0 e. Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 6

9 EXTRA QUESTÕES EXTRAS. Em um restaurante, há 6 mesas e 6 fregueses, todos sentados. Algumas mesas estão ocupadas por cinco fregueses e as demais, por dois fregueses. Sendo x o número de mesas ocupadas por cinco fregueses e y o número de mesas ocupadas por dois fregueses determine x y.. Classifique e determine o conjunto-solução, emr R, do sistema e y. x y= 4 x, nas incógnitas x y = 6. João entrou em uma lanchonete e pediu três hambúrgueres, um suco de laranja e duas cocadas, gastando R$,50. Na mesa ao lado, algumas pessoas pediram oito hambúrgueres, três sucos de laranja e cinco cocadas, gastando R$ 57,00. Sabendo que o preço de um hambúrguer, mais o de um suco de laranja, mais o de uma cocada totaliza R$ 0,00, determine o preço, em reais, de um hambúrguer. 4. Determine o valor real de m para que o sistema x y + z = 0 x + y z = 0 x + my 4z = 0 seja SPI. 5. Em um processo seletivo contendo 40 questões objetivas, para cada resposta correta ganha-se 4 pontos e, para cada resposta errada, perde-se pontos. Se um candidato respondeu todas as questões e obteve 00 pontos, quantas questões ele acertou? 6. Classifique e determine o conjunto-solução do x + y z = 5 sistema { y z = 6. x + y 4z = 0 7. Julgue os itens Na confecção de ursos, coelhos e elefantes de pelúcia, uma indústria utiliza três tipos de materiais: tecido, espuma e plástico. A quantidade de material usado na fabricação de cada um desses brinquedos está indicada na tabela acima, onde p R +. Nessa indústria, um funcionário, para produzir x ursos, y coelhos e z elefantes de pelúcia em um dia de trabalho, utiliza kg de plástico; 4,4 kg de tecido e 5, kg de espuma.. Se p = 00, então o referido funcionário produziu mais ursos do que elefantes em um dia de trabalho.. Para qualquer valor de p R + o número de ursos, elefantes e coelhos produzidos pelo referido funcionário será único e possível de determinar. GABARITO EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS.. a) linear b) linear c) linear d) não linear e) não linear.. a) é solução b) é solução c) não é solução.. m = 5.4. S = {( α; α); α R.5. 4 maneiras distintas.. É solução x 5.. a) ( 7 5 ) ( y) = ( 6) z 0 x b) ( 0 ) ( y) = ( ) 0 z 0 x c) ( 7 0 ) ( y) = ( ) 0 z.. S = {( 7 8 ; 5 4 ; )}.. a) S = {(4; ; )} b) S = { ; 0; }.. a) SPD S = {(0; ; )}b) SPI S = {( α; α; α)} c) SI S = 4.. C 4.. S = {(7; 5); (4; 0); (; 5)} 4.. Bois: 6 cavalos: 5.. a) S = {( 7; 5)} b) S = {(; ; 0)} Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 7

10 5.. C 6.. a) { k = 9 SI k 9 SPD k = 6 SPI b) { k 6 SPD k = SPI c) { k SPD m SPD 6.. { m = e n = SPI m = e n SI 6. k 0 QUESTÕES EXTRAS. 60. SPI S = (4 + α; α)} ; α R. R$ 4 4. m = SPI S = {( + α; 6 + α; α)}α R 7. EC Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 8