Unidade 4 - Matrizes elementares, resolução de sistemas. A. Hefez e C. S. Fernandez Resumo elaborado por Paulo Sousa. 10 de agosto de 2013

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1 MA33 - Introdução à Álgebra Linear Unidade 4 - Matrizes elementares, resolução de sistemas A Hefez e C S Fernandez Resumo elaborado por Paulo Sousa PROFMAT - SBM 10 de agosto de 2013

2 Nesta unidade, veremos que cada transformação elementar realizada nas linhas de uma matriz pode ser obtida utilizando-se produto de matrizes Mais especificamente, cada transformação elementar pode ser obtida realizando-se o produto de uma matriz elementar pela matriz dada Para tanto, passamos a descrever o que é uma matriz elementar e algumas de suas propriedades Uma matriz elementar de ordem n é uma matriz quadrada de ordem n obtida da matriz identidade I n a partir da aplicação de uma transformação elementar, isto é, trata-se de uma matriz da forma E = e(i n ), onde e é uma transformação elementar Por exemplo, as matrizes a seguir são matrizes elementares de ordem 2 e 3, respectivamente: PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 2/14

3 e(i 2 ) = e(i 3 ) = [ ] onde e : L 1 L 2 onde e : L 1 L 1 + L 2 Teorema: Seja e uma transformação elementar sobre matrizes de M(m, n) Considere a matriz elementar E = e(i m ) Então, e(a) = EA, para toda A M(m, n) Demonstração: Considere a seguinte notação: E i,j = e(i m ), onde e : L i L j ; E i (c) = e(i m ), onde e : L i cl i ; E i,j (c) = e(i m ), onde e : L j cl i + L j Com a notação E i = (0,, 0, 1, 0,, 0) R m, temos que E i A = A i (i-ésima linha da matriz A) Daí, PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 3/14

4 E i,j A = E 1 E j E i E n A = E 1 A E j A E i A E n A = A 1 A j A i A n = e(a) onde e : L i L j PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 4/14

5 E i (c)a = E 1 ce i E n A = E 1 A ce i A E n A = A 1 ca i A n = e(a); e : L i cl i E i,j (c)a = E 1 E j + ce i E n A = E 1 A E j A + ce i A E n A = A 1 A j + ca i A n = e(a) onde e : L j cl i + L j PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 5/14

6 Assim, aplicar uma sequência de operações elementares em uma matriz, corresponde a multiplicar a matriz a esquerda por um produto de matrizes elementares Como consequência imediata deste teorema, temos os seguintes fatos: Sejam A, B M(m, n) Então, A é equivalente a B se, e somente se, existem matrizes elementares E 1, E 2, E s de ordem m tais que E s E 2 E 1 A = B Toda matriz elementar E é invertível e sua inversa também é uma matriz elementar Além disso, E 1 = E A seguir, apresentamos o resultado central desta seção que caracteriza as matrizes invertíveis PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 6/14

7 Teorema: Para uma matriz quadrada A de ordem n, são equivalentes as seguintes afirmações: (a) A é invertível; (b) Se B é uma matriz na forma escalonada equivalente a A, então B = I n ; (c) A é uma matriz elementar ou um produto de matrizes elementares Como consequência do teorema acima, apresentando um método para inversão de matrizes por meio de transformações elementares PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 7/14

8 Método: Sejam A uma matriz invertível e e 1,, e s uma sequência de transformações elementares tais que e s ( (e 2 (e 1 (A))) ) = I, onde I é a matriz identidade Então essa mesma sequência de transformações elementares aplicada a I produz A 1 ; isto é, e s ( (e 2 (e 1 (I ))) ) = A 1 O exemplo a seguir ilustra o método apresentado [ ] 5 8 Exemplo: Calcularemos a inversa da matriz L L 1 1 8/5 1/ PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 8/14

9 L 2 L 2 L 1 1 8/5 1/ /5 1/5 1 L L 2 1 8/5 1/ /2 5/2 L 1 L L /2 5/2 Portanto, [ ] 1 [ = 1 4 1/2 5/2 ] PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 9/14

10 Resolução de sistemas Agora, poremos em funcionamento a maquinária desenvolvida com as matrizes para a resolução de sistemas de equações lineares, culminando com o Teorema do Posto Trata-se de um resultado central dessa teoria que descreve a resolubidade dos sistemas de equações lineares gerais Este teorema é também conhecido no Ensino Médio como Teorema de Rouché-Capelli Quanto a suas soluções, um sistema linear se classifica como impossível, ou possível e determinado, ou possível e indeterminado Um sistema linear é chamado impossível, quando não tem solução, possível e determinado, quando tem uma única solução e possível e indeterminado quando tem mais de uma solução Vimos em unidades anteriores que um sistema linear homogêneo com n incógnitas é sempre possível, pois admite como solução a n-upla (0,, 0), chamada solução trivial PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 10/14

11 Resolução de sistemas Um método bem eficaz para se resolver um sistema linear é o método do escalonamento Este consiste em se tomar a matriz ampliada de um sistema linear e aplicar uma sequência de transformações elementares a esta matriz, de modo a obtermos uma matriz equivalente que seja a matriz ampliada de um sistema linear fácil de se resolver Proposição: Dois sistemas lineares com matrizes ampliadas equivalentes têm o mesmo conjunto solução Aplicando o método do escalonamento à matriz ampliada de um sistema linear, para obtermos um sistema linear equivalente, ao final do processo podemos garantir a existência ou não de solução do sistema linear obtido Este fato é enunciado no teorema a seguir PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 11/14

12 Resolução de sistemas Teorema: Seja A = [A A ] M(m, n) uma matriz na forma escalonada, onde A M(m, n 1) Sejam k 1,, k p as posições das colunas de A onde ocorrem os primeiros elementos não nulos das linhas L 1,, L p, respectivamente O sistema A X = A admite solução se, e somente se, k p n Como toda matriz é equivalente por linhas a uma única (prove!) matriz na forma escalonada, definimos o posto (denotado por p) de uma matriz A como o número de linhas não nulas de sua forma escalonada Desta forma, o teorema acima pode ser reinterpretado com a noção de posto do seguinte modo: PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 12/14

13 Resolução de sistemas Um sistema de equações lineares AX = B admite solução se, e somente se, o posto da matriz aumentada [A B] do sistema tiver posto igual ao da matriz A do sistema Isto é parte do Teorema de Rouché-Capelli, resultado que apresentamos na íntegra a seguir Teorema de Rouché-Capelli (Teorema do Posto): Consideremos um sistema linear com m equações e n incógnitas AX = B Sejam p AB o posto da matriz ampliada do sistema e p A o posto da matriz dos coeficientes do sistema Então, o sistema é possível se, e somente se, p AB = p A Além disso, (i) O sistema é possível e determinado se p AB = p A = n (ii) O sistema é possível e indeterminado se p AB = p A < n PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 13/14

14 Resolução de sistemas Exemplo: Que condições devem ser impostas a a, b, e c para que o sistema abaixo nas incógnitas x, y e z tenha solução? x + 2y 3z = a 2x + 6y 11z = b x 2y + 7z = c Solução: a b escalonando c a b 0 1 5/2 b/2 a c + 2b 5a Portanto, o sistema tem solução se só se c + 2b 5a = 0 Além disso, o sistema é possível e indeterminado PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 14/14