Def. 1: Seja a quádrupla (V, K, +, ) onde V é um conjunto, K = IR ou K = IC,
|
|
- Zilda Regueira Borges
- 9 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 ESPAÇO VETORIAL Def. 1: Seja a quádrupla (V, K, +, ) onde V é um conjunto, K = IR ou K = IC, + é a operação (função) soma + : V V V, que a cada par (u, v) V V, associa um único elemento de V, denotado por u + v, e é a operação multiplicação por escalar : K V V, que a cada par (α, v) K V associa um único elemento de V, denotado por α v, denominado multiplo escalar de v por α. Dizemos que a quádrupla (V, K, +, ) é um espaço vetorial, sobre K, se estão satisfeitas as seguintes propriedades: A1. (u + v) + w = u + (v + w), para todo u, v, w em V. A2. u + v = v + u, para todo u, v em V. A3. Existe um elemento O V tal que u + O = u, para todo u em V. A4. Para cada u V, existe um elemento v V tal que u + v = O. ME1. α (u + v) = α u + α v, para todo α K e todo u, v em V. ME2. (α + β) u = α u + β u, para todo α, β em K e todo u em V. ME3. (αβ) u = α (β u), para todo α, β em K e todo u em V. ME4. 1 u = u, para todo u em V. Observações: i. os elementos de V nas condições da def. 1 são chamados de vetores. ii. O elemento O, em A3, é chamado de vetor nulo de V e prova-se que ele é o único com tal propriedade (isto é, se existir um Õ em V tal que u + Õ = u, para todo u em V, então O = Õ. iii. O elemento v em A4 é chamado de oposto de u e, por isso, será denotado por u. Além disso, prova-se que ele é o único que satisfaz tal propriedade (isto é, se para cada u, existir um ṽ tal que u + ṽ = O, então v = ṽ. 1
2 Propriedades Operacionais em espaçõs vetoriais: Seja (V, K, +, ) um espaço vetorial sobre K. Então. EV1. Se u + v = u + w, com u, v em V, então v = w. EV2. 0 u = O, para todo u em V. EV3. α O = O, para todo α em K. EV4. Sejam α em K e u em V. Se α u = O, então α = 0 ou u = O. EV5. para cada u em V, o oposto u = ( 1) u. Construindo Espaços Vetoriais I. Subespaços Def. 2: Seja (V, K, +, ) um espaço vetorial. Dizemos que um subconjunto S V é um subespaço de V (sobre K), se estiverem satisfeitas as seguintes condições: S1. O S; S2. Para todo s 1 e s 2 em S, a soma s 1 + s 2, em V, está em S (ou seja S é fechado pela soma); S3. Para todo α K e todo s S, a multiplicação escalar, em V, α s está em S (ou seja, S é fechado para a multiplicação escalar). Observação: A propriedade S2 significa que é possivel definir a operação soma em S e a S3 que a multiplicação por escalar está definida em S. O que resulta na proposição abaixo. Proposição 1: Seja (V, K, +, ) um espaço vetorial sobre K. Se S V é um subespaço de V, então (S, K, +, ) é um espaço vetorial sobre K. 2
3 II. Subespaços gerados e geradores Def 3. Sejam (V, K, +, ) um espaço vetorial e um subconjunto A = {v 1, v 2,, v r }, com r 1, de V. Consideremos o subconjunto de V, ger(a) =ger(v 1, v 2,, v r ) := { r α j v j : α j K, j = 1, 2,, r }. (isto é, ger(a) é o conjunto de todas as j=1 combinações lineares, com escalares, em K, dos vetores de A. Def 4. Sejam (V, K, +, ) um espaço vetorial e um subconjunto A um subconjunto infinito de V. Consideremos o subconjunto de V, denotado por ger(a), dado por gera := {v V : v é combin. linear de elementos de algum subconjunto finito de A}. Proposição 2. Sejam (V, K, +, ) um espaço vetorial e A um subconjunto qualquer de V. O subconjunto ger(a) de V é um subespaço vetorial de V. O subespaço ger(a) é denominado subespaço de V, gerado pelo (conjunto) A. Observação: Se A =, colocamos ger( ) := {O}. Lembrar que ger(o) = { O }. Propriedades de geradores: Sejam (V, K, +, ) um espaço vetorial e A e B subconjuntos de V. Ge1. A ger(a). Ge2. Se A B, então ger(a) ger(b). Ge3. Se v V, com v ger(a), então ger(a {v}) = ger(a). Ge4. ger(a) = ger(b) se, e somente se, A ger(b) e B ger(a). Observação: a. Muitas vezes usaremos Ge3 na seguinte forma: Ge3. Se A = {v 1, v 2,, v r, v}, onde v é uma combinação linear dos vetores v j, j = 1, 2,, r, então ger(a {v}) = ger(v 1, v 2,, v r ) = ger(a). b. Um mesmo subespaço pode admitir sistemas de geradores distintos. Def 5. Seja S um subespaço de espaço vetorial (V, K, +, ). Dizemos que S é um (sub)espaço finitamente gerado (f.g.), sobre K, se e somente se existem v 1, v 2,, v r em S tais que S = ger(v 1, v 2,, v r ). 3
4 III. Sobre Dependência/ Independência linear de vetores Def 6. Sejam (V, K, +, ) um espaço vetorial e A = {v 1, v 2,, v r }, com r 1, um subconj. de V. a. Dizemos que A é um conjunto de vetores linearmente independente (LI), sobre K, se, e somente se, a equação vetorial α 1 v 1 + α 2 v α r v r = O, com α j K, j = 1, 2,, r, tem uma única solução, a trivial (isto é,, α j = 0, para todo j = 1, 2,, r) b. Dizemos que A é um conjunto linearmente dependente (LD), sobre K, se, e somente se, A não é LI; ou seja, existem escalares α 1, α 2,, α r, em K, nem todos nulos, tais que α 1 v 1 + α 2 v α r v r = O. Observação: O conjunto A = é, por convenção, LI. Def 7. Sejam (V, K, +, ) um espaço vetorial e A um suconjunto infinito de V. a. Dizemos que A é um conjunto de vetores linearmente independente (LI), sobre K, se, e somente se, cada subconjunto finito de A é LI (no sentido da Def 6). b. Dizemos que o conjunto A é um conjunto linearmente dependente (LD), sobre K, se A não é LI; ou seja, se, e somente se, existe um suconjunto finito de A que seja LD. Propriedades de LI e LD X geradores: Sejam (V, K, +, ) um espaço vetorial e A e B subconjuntos de V. D1. Se O A, então A é LD. D2. Se A = {v}, v O, então A é LI. D3. Se A B e A é LD, então B é LD. D4. Se A B e B é LI, então A é LI. D5. Se A é LI e v V for tal que o subconjunto A {v} seja LD, então v ger(a). D6. Se A (não unitário) é LD, então existe v A, tal que v ger(a {v}) (isto é, v é uma combinação linear de uns outros elementos de A) D7. Se A é LI e v V for tal que v / ger(a), então A {v} é um subconjunto LI. D8. Se A = {v 1, v 2,, v r } (r 1) é LI e α j, β j, j = 1, 2,, r, são escalares em K tais que r α j v j = r β j v j, então α j = β j, para cada j = 1, 2,, r. j=1 j=1 Observação: A noção de sistema de geradores e de dependência linear dependem do corpo de escalares. 4
5 IV. Geradores X LI, Bases Def 8. Seja (V, K, +, ) um espaço vetorial. Um subconjunto de B de V é uma base de V (sobre K) se, e somente, valem as condições: Ba1. B gera V, sobre K. ( isto é, V ger(b) ) Ba2. B é um subconjunto LI (sobre K). Def 9. Seja (V, K, +, ) um espaço vetorial. Dizemos que V é um espaço vetorial de dimensão finita se V admite uma base finita. E diremos que V é um espaço vetorial de dimensão infinita se V admite uma base infinita. Existência de base D: Teorema: Todo espaço vetorial admite uma base. Proposição: Seja (V, K, +, ) um espaço vetorial. Suponhamos que V admita um sistema de geradores com n vetores (n 0). Então, um subconjunto (finito) qualquer de V com m elementos tal que m > n é LD. Corolário: Seja (V, K, +, ) é um espaço vetorial. Se V contém um subconjunto finito e LI com n elementos, então V não pode ser gerado por um conjunto finito com menos de n vetores. Corolário: Se (V, K, +, ) é um espaço vetorial finitamente gerado, então qualquer subconjunto LI de V é finito. Proposição: Seja (V, K, +, ) um espaço vetorial. Suponhamos que V admite uma sistema de geradores finito A. Então V admite uma base (finita) B A. Teorema: Seja (V, K, +, ) um espaço que admite uma base finita B. Então qualquer outra base de V é finita e tem o mesmo número de elementos de B. Def 10. Seja (V, K, +, ) é um espaço vetorial que admite uma base finita. Podemos definir dim K V := o número de vetores de uma base qualquer de V. Mais sobre bases e bases de subespaços Teorema: (completamento de base) Seja (V, K+, ) um espaço vetorial de dimensão finita n. Qualquer subconjunto LI de V pode ser completado a uma base de V. 5
6 Proposição: Seja (V, K, +, ) um espaço vetorial de dimensão finita n. Qualquer subconjunto LI de V com n vetores é uma base (sobre K) de V. Proposição: Sejam (V, K, +, ) um espaço vetorial de dimensão finita e W um subespaço de V. a. Se dim K W = dim K V, então W = V. b. O subespaço W é de dimensão finita e dim K W dim K V. 6
1. O conjunto dos polinômios de grau m, com 2 m 5, acrescido do polinômio nulo, é um subespaço do espaço P 5.
UFPB/PRAI/CCT/DME - CAMPUS II DISCIPLINA: Álgebra Linear ALUNO (A): 2 a LISTA DE EXERCÍCIOS 1 a PARTE: QUESTÕES TIPO VERDADEIRO OU FALSO COM JUSTI- FICATIVA. 1. O conjunto dos polinômios de grau m com
Leia maisUniversidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática 3 a Lista - MAT 137 - Introdução à Álgebra Linear 2013/I
1 Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática 3 a Lista - MAT 137 - Introdução à Álgebra Linear 013/I 1 Sejam u = ( 4 3) v = ( 5) e w = (a b) Encontre a e b tais
Leia maisDisciplina: Introdução à Álgebra Linear
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Norte Campus: Mossoró Curso: Licenciatura Plena em Matemática Disciplina: Introdução à Álgebra Linear Prof.: Robson Pereira de Sousa
Leia mais1 Base de um Espaço Vetorial
Disciplina: Anéis e Corpos Professor: Fernando Torres Membros do grupo: Blas Melendez Caraballo (ra143857), Leonardo Soriani Alves (ra115465), Osmar Rogério Reis Severiano (ra134333) Ramon Códamo Braga
Leia maisProf. Márcio Nascimento. 22 de julho de 2015
Núcleo e Imagem Prof. Márcio Nascimento marcio@matematicauva.org Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Linear
Leia maisÁlgebra Linear. Mauri C. Nascimento Departamento de Matemática UNESP/Bauru. 19 de fevereiro de 2013
Álgebra Linear Mauri C. Nascimento Departamento de Matemática UNESP/Bauru 19 de fevereiro de 2013 Sumário 1 Matrizes e Determinantes 3 1.1 Matrizes............................................ 3 1.2 Determinante
Leia maisa 1 x 1 +... + a n x n = b,
Sistemas Lineares Equações Lineares Vários problemas nas áreas científica, tecnológica e econômica são modelados por sistemas de equações lineares e requerem a solução destes no menor tempo possível Definição
Leia maisÁLGEBRA LINEAR. Base e Dimensão de um Espaço Vetorial. Prof. Susie C. Keller
ÁLGEBRA LINEAR Base e Dimensão de um Espaço Vetorial Prof. Susie C. Keller Base de um Espaço Vetorial Um conjunto B = {v 1,..., v n } V é uma base do espaço vetorial V se: I) B é LI II) B gera V Base de
Leia maisÁlgebra Linear. André Arbex Hallack Frederico Sercio Feitosa
Álgebra Linear André Arbex Hallack Frederico Sercio Feitosa Janeiro/2006 Índice 1 Sistemas Lineares 1 11 Corpos 1 12 Sistemas de Equações Lineares 3 13 Sistemas equivalentes 4 14 Operações elementares
Leia maisÁLGEBRA LINEAR. Combinação Linear, Subespaços Gerados, Dependência e Independência Linear. Prof. Susie C. Keller
ÁLGEBRA LINEAR Combinação Linear, Subespaços Gerados, Dependência e Prof. Susie C. Keller Combinação Linear Sejam os vetores v 1, v 2,..., v n do espaço vetorial V e os escalares a 1, a 2,..., a n. Qualquer
Leia mais2.2 Subespaços Vetoriais
32 CAPÍTULO 2. ESPAÇOS VETORIAIS 2.2 Subespaços Vetoriais Sejam V um espaço vetorial sobre R e W um subconjunto de V. Dizemos que W é um subespaço (vetorial) de V se as seguintes condições são satisfeitas:
Leia mais4.2 Produto Vetorial. Orientação sobre uma reta r
94 4. Produto Vetorial Dados dois vetores u e v no espaço, vamos definir um novo vetor, ortogonal a u e v, denotado por u v (ou u v, em outros textos) e denominado produto vetorial de u e v. Mas antes,
Leia maisÁlgebra Linear e Geometria Anaĺıtica. Espaços Vetoriais Reais
universidade de aveiro departamento de matemática Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica Agrupamento IV (ECT, EET, EI) Capítulo 4 Espaços Vetoriais Reais Definição de espaço vetorial real [4 01] O conjunto
Leia mais3 - Subespaços Vetoriais
3 - Subespaços Vetoriais Laura Goulart UESB 16 de Agosto de 2018 Laura Goulart (UESB) 3 - Subespaços Vetoriais 16 de Agosto de 2018 1 / 10 Denição Um subespaço vetorial é um subconjunto de um e.v.r. que
Leia maisÁLGEBRA LINEAR. Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear, Teorema da Dimensão, Isomorfismo. Prof. Susie C. Keller
ÁLGEBRA LINEAR Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear, Teorema da Dimensão, Isomorfismo Prof. Susie C. Keller Núcleo de uma Definição: Chama-se núcleo de uma transformação linear T: V W ao conjunto
Leia maisAula 25 - Espaços Vetoriais
Espaço Vetorial: Aula 25 - Espaços Vetoriais Seja V um conjunto não vazio de objetos com duas operações definidas: 1. Uma adição que associa a cada par de objetos u, v em V um único objeto u + v, denominado
Leia maisÅaxwell Mariano de Barros
ÍÒ Ú Ö Ö Ð ÓÅ Ö Ò Ó Ô ÖØ Ñ ÒØÓ Å Ø Ñ Ø ÒØÖÓ Ò Ü Ø Ì ÒÓÐÓ ÆÓØ ÙÐ ¹¼ ÐÙÐÓÎ ØÓÖ Ð ÓÑ ØÖ Ò Ð Ø Åaxwell Mariano de Barros ¾¼½½ ËÓÄÙ ¹ÅA ËÙÑ Ö Ó 1 Vetores no Espaço 2 1.1 Bases.........................................
Leia maisExercícios Adicionais
Exercícios Adicionais Observação: Estes exercícios são um complemento àqueles apresentados no livro. Eles foram elaborados com o objetivo de oferecer aos alunos exercícios de cunho mais teórico. Nós recomendamos
Leia maisNotas de Aula. Álgebra Linear I
Notas de Aula Álgebra Linear I Rodney Josué Biezuner 1 Departamento de Matemática Instituto de Ciências Exatas (ICEx) Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG) Notas de aula da disciplina Álgebra Linear
Leia maisNotas de Aula Álgebra Linear II IFA Prof. Paulo Goldfeld Versão
Notas de Aula Álgebra Linear II IFA 2007.1 Prof. Paulo Goldfeld Versão 2007.03.29 1 2 Contents 2 Espaços Vetoriais 5 2.1 Espaços e Subespaços....................... 5 2.2 Independência Linear.......................
Leia maisAula 5 - Matemática (Gestão e Marketing)
ISCTE, Escola de Gestão Aula 5 - Matemática (Gestão e Marketing) Diana Aldea Mendes 29 de Outubro de 2008 Espaços Vectoriais Definição (vector): Chama-se vector edesigna-sepor v um objecto matemático caracterizado
Leia maisNOÇÕES DE ÁLGEBRA LINEAR
ESPAÇO VETORIAL REAL NOÇÕES DE ÁLGEBRA LINEAR ESPAÇOS VETORIAIS Seja um conjunto V φ no qual estão definidas duas operações: adição e multiplicação por escalar, tais que u, v V, u+v V e α R, u V, αu V
Leia maisLista 1 para a P2. Operações com subespaços
Lista 1 para a P2 Observação 1: Estes exercícios são um complemento àqueles apresentados no livro. Eles foram elaborados com o objetivo de oferecer aos alunos exercícios de cunho mais teórico. Nós sugerimos
Leia mais1 Propriedades das Funções Contínuas 2
Propriedades das Funções Contínuas Prof. Doherty Andrade 2005 Sumário 1 Propriedades das Funções Contínuas 2 2 Continuidade 2 3 Propriedades 3 4 Continuidade Uniforme 9 5 Exercício 10 1 1 PROPRIEDADES
Leia maisUma e.d.o. de segunda ordem é da forma
Equações Diferenciais de Ordem Superior Uma e.d.o. de segunda ordem é da forma ou então d 2 y ( dt = f t, y, dy ) 2 dt y = f(t, y, y ). (1) Dizemos que a equação (1) é linear quando a função f for linear
Leia maisQ1. Seja V um espaço vetorial e considere as seguintes afirmações: um conjunto de geradores de um subespaço S 2 de V, então A 1 A 2
Q1. Seja V um espaço vetorial e considere as seguintes afirmações: (I) se A 1 é um conjunto de geradores de um subespaço S 1 de V e A 2 é um conjunto de geradores de um subespaço S 2 de V, então A 1 A
Leia maisVetores no R 2 : = OP e escreve-se: v = (x, y), identificando-se as coordenadas de P com as componentes de v.
Vetores no R 2 : O conjunto R 2 = R x R = {(x, y) / x, y Є R} é interpretado geometricamente como sendo o plano cartesiano xoy. Qualquer vetor AB considerado neste plano tem sempre um representante OP
Leia maisCAPÍTULO 6 TRANSFORMAÇÃO LINEAR
INODUÇÃO AO ESUDO DA ÁLGEBA LINEA CAPÍULO 6 ANSFOMAÇÃO LINEA Introdução Muitos problemas de Matemática Aplicada envolvem o estudo de transformações, ou seja, a maneira como certos dados de entrada são
Leia maisÁLGEBRA LINEAR. Subespaços Vetoriais. Prof. Susie C. Keller
ÁLGEBRA LINEAR Subespaços Vetoriais Prof. Susie C. Keller Às vezes, é necessário detectar, dentro de um espaço vetorial V, subconjuntos S que sejam espaços vetoriais menores. Tais conjuntos S são chamados
Leia maisExercícios sobre Espaços Vetoriais II
Exercícios sobre Espaços Vetoriais II Prof.: Alonso Sepúlveda Castellanos Sala 1F 104 1. Seja V um espaço vetorial não trivial sobre um corpo infinito. Mostre que V contém infinitos elementos. 2. Sejam
Leia maisO ESPAÇO NULO DE A: RESOLVENDO AX = 0 3.2
3.2 O Espaço Nulo de A: Resolvendo Ax = 0 11 O ESPAÇO NULO DE A: RESOLVENDO AX = 0 3.2 Esta seção trata do espaço de soluções para Ax = 0. A matriz A pode ser quadrada ou retangular. Uma solução imediata
Leia maisPARTE 2 FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL
PARTE FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL.1 Funções Vetoriais de Uma Variável Real Vamos agora tratar de um caso particular de funções vetoriais F : Dom(f R n R m, que são as funções vetoriais de uma
Leia maisExpansão linear e geradores
Espaços Vectoriais - ALGA - 004/05 4 Expansão linear e geradores Se u ; u ; :::; u n são vectores de um espaço vectorial V; como foi visto atrás, alguns vectores de V são combinação linear de u ; u ; :::;
Leia mais2 a. Lista de Exercícios
Última atualização 16/09/007 FACULDADE Engenharia: Disciplina: Álgebra Linear Professor(a): Data / / Aluno(a): Turma a Lista de Exercícios A álgebra de vetores e a álgebra de matrizes são similares em
Leia maisCorpos. Um domínio de integridade finito é um corpo. Demonstração. Seja D um domínio de integridade com elemento identidade
Corpos Definição Um corpo é um anel comutativo com elemento identidade em que todo o elemento não nulo é invertível. Muitas vezes é conveniente pensar em ab 1 como sendo a b, quando a e b são elementos
Leia maisCapítulo 5: Transformações Lineares
5 Livro: Introdução à Álgebra Linear Autores: Abramo Hefez Cecília de Souza Fernandez Capítulo 5: Transformações Lineares Sumário 1 O que são as Transformações Lineares?...... 124 2 Núcleo e Imagem....................
Leia maisCAPÍTULO 4. A Produção de Significados para a Noção de Base: Um Estudo de Caso
CAPÍTULO 4 A Produção de Significados para a Noção de Base: Um Estudo de Caso 77 4. Um Estudo Preliminar Na primeira fase de elaboração das atividades do estudo de caso, tentamos reunir alguns elementos
Leia maisNotas de Aula. Álgebra Linear
Notas de Aula Álgebra Linear Rodney Josué Biezuner 1 Departamento de Matemática Instituto de Ciências Exatas (ICEx) Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG) Notas de aula da disciplina Álgebra Linear
Leia maisMÉTODOS DISCRETOS EM TELEMÁTICA
1 MÉTODOS DISCRETOS EM TELEMÁTICA MATEMÁTICA DISCRETA Profa. Marcia Mahon Grupo de Pesquisas em Comunicações - CODEC Departamento de Eletrônica e Sistemas - UFPE Outubro 2003 2 CONTEÚDO 1 - Introdução
Leia maisUnidade II - Sistemas de Equações Lineares
Unidade II - Sistemas de Equações Lineares 1- Situando a Temática Discutiremos agora um dos mais importantes temas da matemática: Sistemas de Equações Lineares Trata-se de um tema que tem aplicações dentro
Leia mais(a) 1 (b) 0 (c) 2 (d) 3. (a) 6 (b) 8 (c) 1. (d) H = {p P 2 p(1) = p(2)} (c) H = {p P 2 p(1) + p(2) = 0} 8. Seja H o subespaço definido por
UFRJ Instituto de Matemática Disciplina: Algebra Linear II - MAE 125 Professor: Bruno, Cesar, Flavio, Luiz Carlos, Mario, Milton, Monique e Paulo Data: 25 de setembro de 2013 Primeira Prova 1. Podemos
Leia maisficha 3 espaços lineares
Exercícios de Álgebra Linear ficha 3 espaços lineares Exercícios coligidos por Jorge Almeida e Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico 2 o semestre 2011/12 3 Notação Sendo
Leia maisTópicos de Álgebra Linear Verão 2019 Lista 1: Espaços Vetoriais
Universidade Federal do Paraná Centro Politécnico ET-DMAT Prof. Maria Eugênia Martin Tópicos de Álgebra Linear Verão 2019 Lista 1: Espaços Vetoriais Exercício 1. Determine se os seguintes conjuntos são
Leia maisBreve referência à Teoria de Anéis. Álgebra (Curso de CC) Ano lectivo 2005/2006 191 / 204
Breve referência à Teoria de Anéis Álgebra (Curso de CC) Ano lectivo 2005/2006 191 / 204 Anéis Há muitos conjuntos, como é o caso dos inteiros, dos inteiros módulo n ou dos números reais, que consideramos
Leia maisR é o conjunto dos reais; f : A B, significa que f é definida no conjunto A (domínio - domain) e assume valores em B (contradomínio range).
f : A B, significa que f é definida no conjunto A (domínio - domain) e assume valores em B (contradomínio range). R é o conjunto dos reais; R n é o conjunto dos vetores n-dimensionais reais; Os vetores
Leia maisExercícios 1. Determinar x de modo que a matriz
setor 08 080509 080509-SP Aula 35 MATRIZ INVERSA Uma matriz quadrada A de ordem n diz-se invertível, ou não singular, se, e somente se, existir uma matriz que indicamos por A, tal que: A A = A A = I n
Leia maisQUESTÕES COMENTADAS E RESOLVIDAS
LENIMAR NUNES DE ANDRADE INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA: QUESTÕES COMENTADAS E RESOLVIDAS 1 a edição ISBN 978-85-917238-0-5 João Pessoa Edição do Autor 2014 Prefácio Este texto foi elaborado para a disciplina Introdução
Leia mais38 CAPÍTULO 2. ESPAÇOS VETORIAIS EXERCÍCIOS
38 CAPÍTULO 2. ESPAÇOS VETORIAIS É fácil verificar que Portanto, V = W 1 + W 2. 1 2 (A + At W 1 e 1 2 (A At W 2. EXERCÍCIOS 1. Mostre todas as afirmações deixadas nesta seção. 2. Seja V = R 3.Verifique
Leia maisFACULDADE DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA. Cursos de Engenharia. Prof. Álvaro Fernandes Serafim
FACULDADE DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA Cursos de Engenharia Prof. Álvaro Fernandes Serafim Última atualização: //7. Esta apostila de Álgebra Linear foi elaborada pela Professora Ilka Rebouças Freire. A formatação
Leia maisVetores. Definição geométrica de vetores
Vetores Várias grandezas físicas, tais como por exemplo comprimento, área, olume, tempo, massa e temperatura são completamente descritas uma ez que a magnitude (intensidade) é dada. Tais grandezas são
Leia maisÁlgebra Linear I. Resumo e Exercícios P3
Álgebra Linear I Resumo e Exercícios P3 Fórmulas e Resuminho Teórico Espaço Vetorial Qualquer conjunto V com 2 operações: Soma e Produto escalar, tal que 1. u + v + w = u + v + w u, v, w V 2. u + v = v
Leia maisESPAÇOS MUNIDOS DE PRODUTO INTERNO
ESPAÇOS MUNIDOS DE PRODUTO INTERNO Angelo Fernando Fiori 1 Bruna Larissa Cecco 2 Grazielli Vassoler 3 Resumo: O presente trabalho apresenta um estudo sobre os espaços vetoriais munidos de produto interno.
Leia maisCapítulo 3. Cálculo Vetorial. 3.1 Segmentos Orientados
Capítulo 3 Cálculo Vetorial O objetivo deste capítulo é o estudo de vetores de um ponto de vista geométrico e analítico. De acordo com a necessidade, a abordagem do assunto será formal ou informal. O estudo
Leia maisMAT Resumo Teórico e Lista de
MAT 0132 - Resumo Teórico e Lista de Exercícios April 10, 2005 1 Vetores Geométricos Livres 1.1 Construção dos Vetores 1.2 Adição de Vetores 1.3 Multiplicação de um Vetor por um Número Real 2 Espaços Vetoriais
Leia maisResolução de sistemas lineares
Resolução de sistemas lineares J M Martínez A Friedlander 1 Alguns exemplos Comecemos mostrando alguns exemplos de sistemas lineares: 3x + 2y = 5 x 2y = 1 (1) 045x 1 2x 2 + 6x 3 x 4 = 10 x 2 x 5 = 0 (2)
Leia maisDiagonalização de Operadores. Teorema Autovetores associados a autovalores distintos de um operador linear T : V V são linearmente independentes.
Teorema Autovetores associados a autovalores distintos de um operador linear T : V V são linearmente independentes. Teorema Autovetores associados a autovalores distintos de um operador linear T : V V
Leia maisFUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL
Hewlett-Packard FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL Aulas 01 a 04 Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luís Ano: 2015 Sumário INTRODUÇÃO AO PLANO CARTESIANO... 2 PRODUTO CARTESIANO... 2 Número de elementos
Leia maisTópicos de Matemática Elementar
Revisão Básica de Prof. Dr. José Carlos de Souza Junior Universidade Federal de Alfenas 26 de novembro de 2014 Revisão de Definição 1 (Espaço Vetorial) Um conjunto V é um espaço vetorial sobre R, se em
Leia maisParte 2 - Espaços Vetoriais
Espaço Vetorial: Parte 2 - Espaços Vetoriais Seja V um conjunto não vazio de objetos com duas operações definidas: 1. Uma adição que associa a cada par de objetos u, v em V um único objeto u + v, denominado
Leia maisRecordamos que Q M n n (R) diz-se ortogonal se Q T Q = I.
Diagonalização ortogonal de matrizes simétricas Detalhes sobre a Secção.3 dos Apontamentos das Aulas teóricas de Álgebra Linear Cursos: LMAC, MEBiom e MEFT (semestre, 0/0, Prof. Paulo Pinto) Recordamos
Leia maisBem, produto interno serve para determinar ângulos e distâncias entre vetores e é representado por produto interno de v com w).
Produto Interno INTRODUÇÃO Galera, vamos aprender agora as definições e as aplicações de Produto Interno. Essa matéria não é difícil, mas para ter segurança nela é necessário que o aluno tenha certa bagagem
Leia maisQ1. Considere um sistema de coordenadas Σ = (O, E) em E 3, em que E é uma base ortonormal de V 3. Sejam π 1 e π 2 os planos dados pelas equações
Q1. Considere um sistema de coordenadas Σ = (O, E) em E 3, em que E é uma base ortonormal de V 3. Sejam π 1 e π 2 os planos dados pelas equações π 1 : x 2y + 3z = 1 e π 2 : x + z = 2 no sistema de coordenadas
Leia maisSó Matemática O seu portal matemático http://www.somatematica.com.br FUNÇÕES
FUNÇÕES O conceito de função é um dos mais importantes em toda a matemática. O conceito básico de função é o seguinte: toda vez que temos dois conjuntos e algum tipo de associação entre eles, que faça
Leia maisUniversidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas Departamento de Matemática
1 Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas Departamento de Matemática 3 a Lista - MAT 137 - Introdução à Álgebra Linear 2017/II 1. Sejam u = ( 4 3) v = (2 5) e w = (a b).
Leia maisUma lei que associa mais de um valor y a um valor x é uma relação, mas não uma função. O contrário é verdadeiro (isto é, toda função é uma relação).
5. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL 5.1. INTRODUÇÃO Devemos compreender função como uma lei que associa um valor x pertencente a um conjunto A a um único valor y pertencente a um conjunto B, ao que denotamos por
Leia maisUniversidade Federal Fluminense - GAN
Solimá Gomes Pimentel Universidade Federal Fluminense IM - GAN Solimá Gomes Pimentel, ****- Matemática para Economia III/Solimá Gomes Pimentel 2pt, ; 31cm Inclui Bibliografia. 1. Matemática para Economia
Leia maisÁlgebra Linear Volume 2
MATEMÁTICA Graduação Álgebra Linear Volume 2 Luiz Manoel Figueiredo Marisa Ortegoza da Cunha Módulo Volume 3 2ª edição 2 Luiz Manoel Figueiredo Marisa Ortegoza da Cunha I SBN 85-7648 - 315-7 Álgebra Linear
Leia maisEspaços Euclidianos. Espaços R n. O conjunto R n é definido como o conjunto de todas as n-uplas ordenadas de números reais:
Espaços Euclidianos Espaços R n O conjunto R n é definido como o conjunto de todas as n-uplas ordenadas de números reais: R n = {(x 1,..., x n ) : x 1,..., x n R}. R 1 é simplesmente o conjunto R dos números
Leia mais[a11 a12 a1n 4. SISTEMAS LINEARES 4.1. CONCEITO. Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações do tipo
4. SISTEMAS LINEARES 4.1. CONCEITO Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações do tipo a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 2... a n1 x 1 + a
Leia maisÁlgebra Linear Exercícios Resolvidos
Álgebra Linear Exercícios Resolvidos Agosto de 001 Sumário 1 Exercícios Resolvidos Uma Revisão 5 Mais Exercícios Resolvidos Sobre Transformações Lineares 13 3 4 SUMA RIO Capítulo 1 Exercícios Resolvidos
Leia maisMD Teoria dos Conjuntos 1
Teoria dos Conjuntos Renato Martins Assunção assuncao@dcc.ufmg.br Antonio Alfredo Ferreira Loureiro loureiro@dcc.ufmg.br MD Teoria dos Conjuntos 1 Introdução O que os seguintes objetos têm em comum? um
Leia mais(x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) = (x 1 x 2, y 1 y 2 ); e α (x, y) = (x α, y α ), α R.
INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO MAT-2457 Álgebra Linear para Engenharia I Terceira Lista de Exercícios - Professor: Equipe da Disciplina EXERCÍCIOS 1. Considere as retas
Leia maisUM TEOREMA QUE PODE SER USADO NA
UM TEOREMA QUE PODE SER USADO NA PERCOLAÇÃO Hemílio Fernandes Campos Coêlho Andrei Toom PIBIC-UFPE-CNPq A percolação é uma parte importante da teoria da probabilidade moderna que tem atraído muita atenção
Leia maisTRANSFORMAÇÕES LINEARES. Álgebra Linear e Geometria Analítica Prof. Aline Paliga
TRANSFORMAÇÕES LINEARES Álgebra Linear e Geometria Analítica Prof. Aline Paliga INTRODUÇÃO Estudaremos um tipo especial de função, onde o domínio e o contradomínio são espaços vetoriais reais. Assim, tanto
Leia maisUnidade 7 - Bases e dimensão. A. Hefez e C. S. Fernandez Resumo elaborado por Paulo Sousa. 10 de agosto de 2013
MA33 - Introdução à Álgebra Linear Unidade 7 - Bases e dimensão A. Hefez e C. S. Fernandez Resumo elaborado por Paulo Sousa PROFMAT - SBM 10 de agosto de 2013 Nesta unidade introduziremos dois conceitos
Leia maisDomínio, Contradomínio e Imagem
Domínio, Contradomínio e Imagem (domínio, contradomínio e imagem de função) Seja f : X Y uma função. Dizemos que: f (X) X Y X é o domínio; Y é o contra-domínio e {y B; y = f (x) para algum x X} é a imagem,
Leia maisSistema de equações lineares
Sistema de equações lineares Sistema de m equações lineares em n incógnitas sobre um corpo ( S) a x + a x + + a x = b a x + a x + + a x = b a x + a x + + a x = b 11 1 12 2 1n n 1 21 1 22 2 2n n 2 m1 1
Leia maisIBM1018 Física Básica II FFCLRP USP Prof. Antônio Roque Aula 6. O trabalho feito pela força para deslocar o corpo de a para b é dado por: = =
Energia Potencial Elétrica Física I revisitada 1 Seja um corpo de massa m que se move em linha reta sob ação de uma força F que atua ao longo da linha. O trabalho feito pela força para deslocar o corpo
Leia maisÁLGEBRA LINEAR ISBN 978-85-915683-0-7
. ÁLGEBRA LINEAR ISBN 978-85-915683-0-7 ROBERTO DE MARIA NUNES MENDES Professor do Departamento de Matemática e Estatística e do Programa de Pós-graduação em Engenharia Elétrica da PUCMINAS Belo Horizonte
Leia maisCAMPOS CONSERVATIVOS NO PLANO
CAMPOS CONSERVATIVOS NO PLANO Ricardo Bianconi Primeiro Semestre de 2008 Revisado em Fevereiro de 2015 Resumo Relacionamos os conceitos de campos irrotacionais, campos conservativos e forma do domínio
Leia maisConstrução dos números racionais, Números fracionários e operações com frações
Construção dos números racionais, Números fracionários e operações com frações O número racional pode ser definido a partir da aritmética fechamento da operação de divisão entre inteiros ou partir da geometria
Leia maisFUNÇÃO COMO CONJUNTO R 1. (*)= ou, seja, * possui duas imagens. b) não é uma função de A em B, pois não satisfaz a segunda condição da
FUNÇÃO COMO CONJUNTO Definição 4.4 Seja f uma relação de A em B, dizemos que f é uma função de A em B se as duas condições a seguir forem satisfeitas: i) D(f) = A, ou seja, o domínio de f é o conjunto
Leia maisLimites e continuidade
Capítulo 3 Limites e continuidade 3.1 Limite no ponto Considere a função f() = 1 1, D f =[0, 1[ ]1, + ). Observe que esta função não é definida em =1. Contudo, fazendo suficientemente próimo de 1 (mas
Leia maisPrimeira Lista de Álgebra Linear
Serviço Público Federal Ministério da Educação Universidade Federal Rural do Semi-Árido UFERSA Departamento de Ciências Ambientais DCA Prof. D. Sc. Antonio Ronaldo Gomes Garcia a a Mossoró-RN 18 de agosto
Leia mais2 Extensão do Produto Vetorial Sobre uma Álgebra Exterior
2 Extensão do Produto Vetorial Sobre uma Álgebra Exterior Seja R 3 o espaço euclidiano tridimensional, chamamos de álgebra exterior de R 3 a álgebra Λ(R 3 ) gerada pela base canônica {e 1, e 2, e 3 } satisfazendo
Leia maisEspaços Vectoriais. Espaços Vectoriais
Espaços Vectoriais Espaço vectorial sobre um corpo V - conjunto não vazio de objectos, chamados vectores F - conjunto de escalares, com estrutura de corpo Em V definimos duas operações: - adição de elementos
Leia maisÁlgebra Linear I Solução da 5ª Lista de Exercícios
FUNDAÇÃO EDUCACIONAL SERRA DOS ÓRGÃOS CENTRO UNIVERSITÁRIO SERRA DOS ÓRGÃOS Centro de Ciências e Tecnologia Curso de Graduação em Engenharia de Produção Curso de Graduação em Engenharia Ambiental e Sanitária
Leia mais(os números, que constituirão os corpos numéricos) (os vetores, que constituirão os espaços vetoriais)
Os objetos que serão considerados aqui são de duas natureza: Escalar: Vetorial: (os números, que constituirão os corpos numéricos) (os vetores, que constituirão os espaços vetoriais). Corpos Numéricos
Leia maisÁlgebra Linear. Professor Alessandro Monteiro. 1º Sábado - Matrizes - 11/03/2017
º Sábado - Matrizes - //7. Plano e Programa de Ensino. Matrizes. Exemplos. Ordem de Uma Matriz. Exemplos. Representação 7. Matriz Genérica m x n 8. Matriz Linha 9. Exemplos. Matriz Coluna. Exemplos. Diagonal
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática
UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática 2 a Lista - MAT 137 - Introdução à Álgebra Linear II/2005 1 Resolva os seguintes sistemas lineares utilizando o Método
Leia maisRELAÇÕES BINÁRIAS Produto Cartesiano A X B
RELAÇÕES BINÁRIAS PARES ORDENADOS Um PAR ORDENADO, denotado por (x,y), é um par de elementos onde x é o Primeiro elemento e y é o Segundo elemento do par A ordem é relevante em um par ordenado Logo, os
Leia maisNotas de aula número 1: Otimização *
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL UFRGS DEPARTAMENTO DE ECONOMIA CURSO DE CIÊNCIAS ECONÔMICAS DISCIPLINA: TEORIA MICROECONÔMICA II Primeiro Semestre/2001 Professor: Sabino da Silva Porto Júnior
Leia maisOTIMIZAÇÃO VETORIAL. Formulação do Problema
OTIMIZAÇÃO VETORIAL Formulação do Problema Otimização Multiobjetivo (também chamada otimização multicritério ou otimização vetorial) pode ser definida como o problema de encontrar: um vetor de variáveis
Leia maisMarília Brasil Xavier REITORA. Prof. Rubens Vilhena Fonseca COORDENADOR GERAL DOS CURSOS DE MATEMÁTICA
Marília Brasil Xavier REITORA Prof. Rubens Vilhena Fonseca COORDENADOR GERAL DOS CURSOS DE MATEMÁTICA MATERIAL DIDÁTICO EDITORAÇÃO ELETRONICA Odivaldo Teixeira Lopes ARTE FINAL DA CAPA Odivaldo Teixeira
Leia maisII Lista de Álgebra Linear /02 Espaços Vetoriais Prof. Iva Zuchi Siple
. Verique se R com as operações denidas por: II Lista de Álgebra Linear - / Espaços Vetoriais Prof. Iva Zuchi Siple i. (x y) + (s t) (s y + t) onde u (x y) e v (s t) pertencem a R ii. α(x y) (αx y) onde
Leia maisProva de Admissão para o Mestrado em Matemática IME-USP - 23.11.2007
Prova de Admissão para o Mestrado em Matemática IME-USP - 23.11.2007 A Nome: RG: Assinatura: Instruções A duração da prova é de duas horas. Assinale as alternativas corretas na folha de respostas que está
Leia maisPrimeira Lista de Exercícios
1 Espaços vetoriais Primeira Lista de Exercícios {( ) } a b Exercício 1.1. Considere M 2 := : a, b, c, d R, : M c d 2 M 2 M 2 dada por e : R M 2 M 2 dada por ( ) ( ) ( ) a1 b 1 a2 b 2 a1 + a := 2 b 1 +
Leia maisESPAÇOS VETORIAIS. Álgebra Linear e Geometria Analítica Prof. Aline Paliga
ESPAÇOS VETORIAIS Álgebra Linear e Geometria Analítica Prof. Aline Paliga INTRODUÇÃO Sabe-se que o conjunto 2 ( x, y) / x, y é interpretado geometricamente como o plano cartesiano. O par ordenado (x,y)
Leia mais