Matemática 1. Conceitos Básicos 2007/2008

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Diogo Eger Azenha
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1 Matemática /2008

2 Objectivos Resolver rapidamente equações dos 1 o e 2 o graus Traduzir alguns problemas em equações Interiorizar os conceitos de equação possível e equação impossível Alguns conceitos básicos e gerais sobre funções Utilizar funções na resolução de problemas

3 Equações e Inequações dos 1 o e 2 o graus Equações e Inequações dos 1 o e 2 o graus Uma equação é uma igualdade algébrica entre duas expressões em que (pelo menos) uma delas tem uma incógnita. Equações dos 1 o e 2 o graus 1 o grau Forma geral: ax + b = 0 Solução: x = b a 2 o grau Forma geral: ax 2 + bx + c = 0 Solução: x = b ± b 2 4ac 2a

4 Equações e Inequações dos 1 o e 2 o graus Exemplos de equações dos 1 o e 2 o graus 2x + 3 = 0, que tem solução x = 3 2 5x = 1, que tem solução x = 1 5 x 1 = 0, que tem solução x = 1 x 2 2x + 1 = 0, que tem soluções x = 1 e x = 1, (raíz dupla) x 2 + 3x + 2 = 0, que tem soluções x = 1 e x = 2 x 2 2 = 0, que tem soluções x = 2 e x = 2 x = 0, que... não tem soluções.

5 Equações e Inequações dos 1 o e 2 o graus Exemplo 1 - Custos e receitas Uma máquina industrial tem um custo fixo de funcionamento de 100 u.m.. Uma unidade produzida nessa máquina tem um custo de 1.5 u.m.. Cada produto é vendido, pela fábrica, a 1.8 u.m. e há outros custos fixos associados de 20 u.m. Questão: quantas unidades terão de ser produzidas e vendidas para que haja lucro na sua produção? Custos de produção: 1.5x Receitas: 1.8x Qual o significado de: 1.5x = 1.8x?

6 Equações e Inequações dos 1 o e 2 o graus Exemplo 1 - Custos e receitas A equação 1.5x = 1.8x é equivalente a 0.3x 120 = 0, que tem solução x = 400. E o que significa 0.3x 120 = 60? R: o n o de unidades que é necessário produzir para obter um lucro de 60u.m.

7 Equações e Inequações dos 1 o e 2 o graus Exemplo 2 - Juros simples Um depósito bancário rende, actualmente, uma taxa ĺıquida de 0.202% por mês. Admitamos que, nestas condições, é feito um depósito de 750 euros. Qual a quantia de juros acumulados ao fim de 1 mês? Basta fazer o seguinte cálculo: % = 1.52 euros Se considerarmos o regime de juros simples, podemos afirmar que o capital acumulado ao fim de n meses é n. Quantos meses serão necessários para termos 770 euros na conta? n = 770 ; n =??

8 Equações e Inequações dos 1 o e 2 o graus Equações do 2 o grau Como já vimos, estas equações são da forma ax 2 + bx + c = 0. Uma equação deste tipo pode não ter solução, ter apenas uma solução ou ter duas soluções. Vejamos os casos possíveis: se b 2 4ac > 0, há 2 soluções: x = b ± b 2 4ac 2a se b 2 4ac = 0, há 1 solução: x = b, (raíz dupla) 2a se b 2 4ac = 0, a equação não tem solução.

9 Equações e Inequações dos 1 o e 2 o graus Equações do 2 o grau - Exemplos Suponhamos que um determinado produto é vendido a p euros a unidade. A capacidade de produção é de 100 unidades por dia e o custo unitário de produção é dado, em função do n o de produtos fabricados (representado por q) por: q. Qual a receita diária, dada em função do n o de produtos fabricados? Receita: R = pq R = (96 0.3q)q = 96q 0.3q 2 A equação R = 96q 0.3q 2 = 0 tem soluções s 1 = 0 e s 2 = 320. R(25) = , R(50) = 4050, R(100) = 6600.

10 Equações e Inequações dos 1 o e 2 o graus Inequações dos 1 o e 2 o graus Uma inequação é uma desigualdade algébrica entre duas expressões em que (pelo menos) uma delas tem uma incógnita. Exemplos: x > 1 3x 2 < 1 4 x 2 < 1 x 2 + 3x 1 > 3

11 Uma função é uma forma de associar a cada elemento de um determinado conjunto A (o domínio da função ou conjunto dos objectos), um novo elemento de um determinado conjunto B (o contradomínio da função ou conjunto das imagens). Nesta disciplina, A e B são partes dos números reais (representado por IR). Exemplos: N, [0; 20], [ 3; 1] [0; 2], etc... Para representar uma função usaremos a seguinte notação: f : A B x y = f (x)

12 Exemplos de funções f : IR IR, f (x) = 2x; f : IR IR, f (x) = 2x ; f : IR IR, f (x) = x 2 1; f : IR IR, f (x) = x 2 3x + 2; Estas são todas funções reais de variável real ou f.r.v.r.

13 Injectividade e Sobrejectividade Uma função f : A B diz-se injectiva se dois objectos diferentes têm imagens diferentes. Isto é: a, b A; a b = f (a) f (b). sobrejectiva se todos os elementos do contradomínio são imagem de algum elemento do domínio. Isto é: se b B então existe a A tal que f (a) = b. Uma função injectiva e sobrejectiva diz-se bijectiva.

14 Funções crescentes e decrescentes Uma função f : A B diz-se crescente numa parte A IR do seu domínio se a, b A; a b = f (a) f (b). decrescente numa parte A IR do seu domínio se a, b A; a b = f (a) f (b). Uma função crescente ou decrescente diz-se monótona.

15 Funções limitadas Uma função f : A B diz-se limitada numa parte A IR do seu domínio se existe um número M > 0 tal que, para todo o elemento a A se tem a condição f (a) < M.

16 Operações com funções Suponhamos que f : D f IR e g : D g IR. Vejamos que significado dar às expressões f + g f g f g, g(x) 0 Todas dão origem a novas funções, definidas por: f + g : D f D g IR, (f + g)(x) = f (x) + g(x) f g : D f D g IR, (f g)(x) = f (x) g(x) f g : D f D g IR, f f (x) (x) = g g(x)

17 Composição de duas funções Dadas duas funções f, g define-se um nova função f g da seguinte forma: 1. D f g = f (D f ) D g 2. f g(x) = f (g(x))

18 Exemplo de composição de funções Exemplo: f : IR IR, f (x) = x 2 + 2x 3; g : IR IR, g(x) = x 1; f (D f ) = [ 4; + [ e D g = IR; logo D f g = [ 4; + [ IR = [ 4; + [ e (f g)(x) = f (g(x)) = f (x 1) = (x 1) 2 + 2(x 1) 3 = = x 2 4.

19 Fim

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