Produto Cartesiano de dois conjuntos, Relações e Funções

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Eliza Santos Barata
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1 o Semestre de 9/ Miscelânea Produto Cartesiano de dois conjuntos, elações e Funções Sejam e dois conjuntos e sejam a e b O conjunto a,a,b chama-se par ordenado e designa-se por (a,b) Os elementos a e b são as componentes do par ordenado (a, b) propriedade fundamental dos pares ordenados é a equivalência (a,b ) = (a,b ) a = a e b = b Definição O produto cartesiano de e, é o conjunto formado por todos os pares ordenados (a,b), onde a e b, e designa-se por = (a,b) : a, b Exemplo Sejam =, e = /,\, Então = (,/),(,\),(, ),(,/),(,\),(, ) Exemplo Sejam = Z = Então Z Z = (m,n) : m Z, n Z Podemos representar o produto cartesiano Z Z usando eixos coordenados como na Figura Z Z Figura : Produto Cartesiano Z Z Definição Uma relação entre e é um subconjunto do produto cartesiano, = (a,b) : P(a,b), onde P é uma propriedade que determina quais são os elementos de Neste contexto chamaremos conjunto de partida ao conjunto e conjunto de chegada ao conjunto Elaborado pelo Prof José gapito

2 o Semestre de 9/ Exemplo Sejam e dois conjuntos quaisquer e sejam P a propriedade a e b e P a propriedade a / ou b / Então as relações e entre e definidas pelas propriedades P e P respectivamente são = (a,b) : P (a,b) = = (a,b) : P (a,b) = s relações e são chamadas triviais (a,b) : a e b (a,b) : a / ou b / =, = Exemplo Sejam = = Z e seja P a propriedade a N relação = (a,b) : P (a,b) = (a,b) : a N = N Z, é representada pelos pontos em vermelho na Figura Z Z Figura : elação = N Z Uma outra representação prática de uma relação entre e (sobretudo quando e são conjuntos finitos) obtem-se usando diagramas de Venn a b a b a b a a b Figura : epresentação de uma relação usando Diagramas de Venn Definição Dada uma relação entre e, chamamos domínio de (que designamos por Dom ) ao conjunto das primeiras componentes dos pares ordenados que pertencem a, Dom = a : (a,b) Elaborado pelo Prof José gapito

3 o Semestre de 9/ Similarmente, chamamos imagem ou rango de (que designamos por Im ou an ) ao conjunto das segundas componentes dos pares ordenados que pertencem a, Im = an = b : (a,b) Na Figura temos que Dom = a,a,a e an = b,b,b Definição Dada uma relação entre e, chamamos gráfica de, que denotaremos por Gr, ao conjunto de pares ordenados que pertencem a, Gr = (a,b) : (a,b) Observe-se que, conforme a Definição, Gr = Definição Umafunção F entree é uma relação especialondeparacadaelementodo seu domínio Dom F associa-se um único elemento do conjunto de chegada Esta propriedade caracterizante de qualquer função escreve-se da seguinte forma: (a,b ),(a,b ) F : a = a = b = b () Exemplo Sejam = a,a,a,a,a e = b,b,b,b relação representada na Figura não é função porque para a Dom existem b,b diferentes tais que (a,b ),(a,b ) Por outra parte, a relação representada na Figura sim é função porque a cada elemento do Dom corresponde-lhe um único elemento em a b a b a b a b a b a b a a a b a b Figura : não é função Figura : é função Devido a () escrevemos b = F(a) em lugar de (a,b) F e diremos que b é imagem do argumento a pela função F ssim, podemos escrever também Dom F = a : b = F(a), para um único b, Im F = b : b = F(a), para algum a e Gr F = (a,b) : b = F(a) Quando Dom F =, o conjunto de chegada chama-se tambén contradomínio Elaborado pelo Prof José gapito

4 o Semestre de 9/ tenção: Note-se que, conforme a Definição, o contradomínio e a imagem de uma função podem não serem iguais, pois mesmo que Dom F = nem sempre temos que Im F seja igual a (ver Figura 6) F a b a b a b a a b Figura 6: Dom F = e Im F Notação: Daqui em diante usaremos letras minúsculas f,g,h, ou indexadas f,f, para designar funções e escreveremos por exemplo f: X Y para significar a função f entre X e Y O tipo de funções que estudaremos são aquelas em que tanto o conjunto de partida como o conjunto de chegada são iguais ao conjunto dos números reais Diremos então que f: é uma função real de variável real e referiremos ainda a fórmula y = f(x) como a lei que permite associar a cada elemento x do domínio da função um único elemento do conjunto de chegada Costuma-se usar também a notação x y = f(x) Quando X = Y =, a gráfica de uma função pode ser representada por meio de uma curva no plano Teste da recta vertical (para determinar quando uma relação é função) Seja uma relação entre e Se qualquer recta vertical que intersecte a gráfica de corta-a só num ponto, então é uma função (nisto consiste a propriedade ()) Ver Figuras 7 e Figura 7: elação x +y = Figura 8: Função y = ln(x ) Exemplo 6 Sejam f : e f : duas funções tais que f (x) = f (x) = x Digamos que a priori sabemos que Dom f = N (portanto f é uma sucessão), enquanto Dom f é Elaborado pelo Prof José gapito

5 o Semestre de 9/ determinado a posteriori Para determinar Dom f perguntamo-nos pelos x para os quais a expressão x faz sentido Vê-se imediatamente que para todo x excepto x = a expressão x é um número real (ou seja, faz sentido) Logo, segue-se que Dom f = s gráficas de f e f são dadas na Figura 9 e Figura respectivamente Figura 9: Dom f = N Figura : Dom f = Geométricamente, o domínio de uma função pode ser identificado pela projecção ortogonal do gráfico da função sobre o eixo das abcissas (eixo horizontal) Similarmente, a imagem de uma função pode ser identificada pela projecção ortogonal do gráfico da função sobre o eixo das ordenadas (eixo vertical) ssim, no exemplo anterior, Im f = n : n N e Im f = Definição 6 Seja f: uma função qualquer Dizemos que c Dom f é um zero de f se f(c) = Gráficamente, os zeros de f correspondem as intersecções (c,) da gráfica Gr f de f com o eixo das abcissas Exemplo 7 Os zeros da função f(x) = x x são, e, e estão em correspondência com os pontos (,), (,) e (,) (ver Figura ), enquanto a função f(x) = x representada na Figura não tem zeros (, ) (, ) (, ) Figura : f(x) = x x Elaborado pelo Prof José gapito

6 o Semestre de 9/ Classificação de funções Seja f: uma função real de variável real Definição 7 (Função Injectiva) Dizemos que f é injectiva se cada elemento da Im f é imagem de um único elemento do Dom f Em símbolos, x,x Dom f : x x = f(x ) f(x ) f(x ) = f(x ) = x = x () Teste da recta horizontal (para reconhecer quando f é injectiva) Se qualquer recta horizontal que intersecte a gráfica de f corta-a só num ponto, então f é injectiva (ver Figuras e) (ln, ) ( ) ( ),, Figura : f(x) = e x é injectiva Figura : f(x) = x não é injectiva Definição 8 (Função Sobrejectiva) Dizemos que f é sobrejectiva se Im f = Em símbolos, y x Dom f : y = f(x) () Definição 9 (Função ijectiva) Dizemos que f é bijectiva se é injectiva e sobrejectiva ssim, temos por exemplo que a função f(x) = ln(x ) na Figura 8 é injectiva e sobrejectiva (portanto é bijectiva), a função f(x) = x na Figura é injectiva mas não é sobrejectiva (pois Im f = ), a função f(x) = x x na Figura não é injectiva mas é sobrejectiva, a função f(x) = e x na Figura é injectiva mas não é sobrejectiva (uma vez que Im f =],+ [), e finalmente, a função f(x) = x na Figura não é injectiva nem sobrejectiva (Im f = [,+ [) Exercício Seja f: a função definida por x f(x) = x+ Determine o domínio, a imagem e os zeros da função Esboçe a gráfica de f e diga se f é injectiva e/ou sobrejectiva Elaborado pelo Prof José gapito 6

7 o Semestre de 9/ esolução: Sabemos que Dom f = x : x x+ faz sentido x expressão x+ faz sentido (ie x x+ é um número real) quando x x+ (uma vez que não existe raiz quadrada de números negativos) o resolver a inequação x x+ (x )(x+) (x+) encontramos que o conjunto solução é ], ] [,+ [ Ver Figura - (, ) (, ) - x < x + < x + < x < x + < x + > x < x + > x + > x > x + > x + > + + Figura : Conjunto solução da ineq x x+ Logo, Dom f =], ] [,+ [ e y = x x Figura : Gráfica de f(x) = x x+ ; portanto, Im f = [,+ [ e em consequência, f não é sobrejectiva Para encontrar os zeros de f resolvemos a equação f(x) =, isto é x x+ = x x+ = x = x = x = ± Podemos também tabular alguns pontos e esboçãr a gráfica de f como na Figura Da gráfica de f conclui-se que f não é injectiva Note-se ainda que a recta x = é uma assimptota vertical de f Elaborado pelo Prof José gapito 7

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