PROGRESSÃO ARITMÉTICA

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1 Matemática Matemática Avançada 3 o ano João mar/12 Nome: PROGRESSÃO ARITMÉTICA Definição Sejam a e r dois números reais. Chama-se Progressão Aritmética (PA) a sequência tal que:!! = a!!!! =!! + r, n Є N*, onde a! é o primeiro termo e r é a razão dessa PA. Classificação Seja (a! ) uma PA com primeiro termo!! e razão r. Temos que: - (a! ) é estritamente crescente r > 0. - (a! ) é estritamente decrescente r < 0. - (a! ) é constante r = 0. Fórmulas de uma PA Seja (a! ) uma PA com primeiro termo a! e razão r. Temos que: Definição Termo geral Fórmula a! = a! + (n 1). r Soma dos n primeiros termos S! =!!!!!.! Três termos consecutivos a! =!!!!!!!!!! Termos equidistantes dos extremos a! + a!!! = a! + a!!

2 Representações especiais Podemos utilizar as seguintes representações de PA, que facilitam a resolução de exercícios: - 3 termos consecutivos: (x r, x, x + r), onde a razão é r. - 4 termos consecutivos: (x 3r, x r, x + r, x + 3r), onde a razão é 2r. PROGRESSÃO GEOMÉTRICA Definição Sejam a e q dois números reais. Chama-se Progressão Geométrica (PG) a sequência tal que:!! = a!!!! =!!.q, n Є N*, Onde a! é o primeiro termo e q é a razão dessa PG. Classificação Seja (a! ) uma PG com primeiro termo!! e razão q. Temos que: - (a! ) é estritamente crescente!! > 0 e q > 1 ou!! < 0 e 0 < q < 1 - (a! ) é estritamente decrescente!! > 0 e 0 <q < 1 ou!! < 0 e q > 1 - (a! ) é constante a! 0 e q = 1 - (a! ) é singular a! = 0 ou q = 0 2

3 - (a! ) é alternante a! 0 e q < 0 Fórmulas de uma PG Seja (a! ) uma PG com primeiro termo a! e razão q. Temos que: Definição Fórmula Termo geral a! = a!. q!!! Soma dos n primeiros termos q > 1 S! =!!.(!!!! )!!! Três termos consecutivos a!! = a!!!. a!!! Termos equidistantes dos extremos a!.a!!!!! = a!.a! Produto dos n primeiros termos P! = (a!. a! )! Soma dos infinitos termos q < 1 S =!!!!! Representações especiais Podemos utilizar as seguintes representações de PG, que facilitam a resolução de exercícios: - 3 termos consecutivos: (!, x, x.q), onde a razão é q.! - 4 termos consecutivos: (!,!, x.q, x.q³), onde a razão é q².!³! 3

4 Exercícios 1. O 3 o termo de uma PA é 11 e a razão é 4. De quanto é a soma dos 20 primeiros termos? 2. Três números estão em PA. A soma desses números é 15 e o seu produto, 105. Qual a diferença entre o maior e o menor? 3. Em uma PA de nove termos, a soma do 1 o termo com o 9 o é 20. Então, de quanto é a soma dos nove termos da PA? 4. A soma dos n primeiros termos de uma PA é n 2 + 2n. Quanto vale o 10 o termo dessa PA? 5. a) (UFRN) Qual é o número de múltiplos de 7 entre 50 e 150? b) (Fuvest) Quais os três termos de uma PA em que a soma é!! e a diferença entre o quadrado do maior termo e o quadrado do menor termo é!"!? 6. (PUC-RS) Qual é a soma dos n primeiros termos da PA [1/n, (1+n)/n 2, (2+n)/n 2 ]? 7. (FUVEST) Em uma PA, a soma dos n primeiros termos é dada por S n = bn 2 + n. Sendo b um número real e sabendo que a 3 = 7, determine: a) o valor de b e a razão da PA; b) a soma dos 20 primeiros termos da PA. 8. (FGV-SP) De quanto é a soma dos 50 primeiros termos de uma PA na qual o 6 o termo mais o 45 o é igual a 160? 9. Se em uma PA o 2 o termo é igual a 14 e a diferença entre o 5 o e o 3 o é igual a 18, em qual posição encontra-se o número 239? 4

5 10. (PEB) Se os termos da sequência a n = 7n 1, onde n pertence aos números naturais, representam ângulos em graus, quanto vale a soma 25 n= 1 cos(7n 1)? 11. Um balão, para atingir a altitude de voo (6.600 m), executa o seguinte procedimento: na primeira hora sobe m e nas demais horas, 50 m a menos que na hora anterior. a) Em quanto tempo o balão atingirá a altitude de voo? b) Se ele continuar subindo 50 m a menos a cada hora que passa, após quanto tempo, a partir do momento que sai do solo, ele retornará à altitude de voo? 12. Usando conceitos de PG, obtenha a fração geratriz da dízima periódica 0, (UFCE) Seja G = 3 π. 9 π. 27 π.... Qual o valor de G? 14. (Cesgranrio) Os três primeiros termos de uma PG são a 1 = 2, a 2 = 3 2 e a 3 = 6 2.Qual é o 4 o termo? 15. (UFSE) Seja uma PG ilimitada de razão!! e cujo 2o termo é 4. Quanto vale a soma dos infinitos termos dessa progressão? 16. Numa PG de termos positivos, o 1 o termo é igual à razão e o 2 o termo é 3. Qual é o 8 o termo da PG? 17. (CEFET PR) Qual é a solução da equação 2x + 2 x + 4 x + 8 x +... = 6 em R? 5

6 18. Os valores 4 e 32 são, respectivamente, o 2 o e o 8 o termos de uma PA. Esses mesmos valores são, também, respectivamente, o 1 o e o 4 o termos de uma PG. Determine: a) as razões da PA e da PG; b) o 20 o termo da PA; c) o 6 o termo da PG; d) a soma dos 15 primeiros termos da PA. 19. (PEB) A medida de um lado de um triângulo equilátero é 4 cm. Unindo-se os pontos médios de seus lados, obtém-se um novo triângulo equilátero. Repete-se esse processo sucessiva e infinitamente. De quanto é a soma dos perímetros de todos esses triângulos? 20. (Vunesp) Suponhamos que uma represa de área igual a 128 km 2 tenha sido infestada por uma vegetação aquática. Um estudo concluiu que a área inicial da vegetação era de 8 km 2 e a taxa de aumento da área cumulativamente infestada, de 50% ao ano. Nessas condições: a) Qual seria a área infestada n anos depois do estudo, caso não se tomasse nenhuma providência? b) Com as mesmas hipóteses, em quantos anos a vegetação tomaria conta de toda a represa? Dados: log 10 2 = 0,3 e log 10 3 = 0,48 6

7 Respostas 1. S 20 = S 9 = a 10 = a)14 b) PA ( 7/5, 3/5, 13/5) 6. S n = (3n 1)/2n 7. a) 6/5 b) S 20 = S 50 = Posição a)8h b) 33h 12. 5/9 13. G = π 14. a 4 = S n = 256/7 16. a 8 = x = a) r = 6 e q = 2 b) a 20 = 104 c) a 6 = 128 d) S 15 = cm 20. a) 8. 1,5 n km 2 b) 20/3 anos 7

8 Exercícios complementares!! 1. (FGV ADM) Seja a sequência 3, 3, 3, 3, 3,..., cujos termos são radicais de radicando 3 e o índice de cada termo é o dobro do índice do termo anterior. Calcule o produto:! a) dos 10 primeiros termos dessa sequência; b) dos infinitos termos dessa sequência. 2. (FGV ADM) Chamamos de falsa espiral de dois centros aquela construída da seguinte forma: os dois centros são os pontos A e B. Traçam-se semicircunferências no sentido anti-horário, a primeira com o centro em A e raio AB, a segunda com centro em B e raio BC, a terceira com centro em A e raio AD, repetindo esse procedimento em que os centros se alternam entre A e B, como mostrado na figura abaixo. Determine a distância entre A e B se, ao completar duzentas semicircunferências, o comprimento total dessa falsa espiral for π metros. 3. (FGV ADM) Considere a série: !! +!!... a) Qual o valor do 20º termo da série? b) Determine o valor da soma dos infinitos termos dessa série. 8

9 4. (FGV ADM) Um atleta corre metros numa direção, dá meia-volta e retorna metade do percurso; novamente, dá meia-volta e corre metade do último trecho; torna a se virar e corre metade do trecho anterior, continuando assim indefinidamente. a) Quanto terá percorrido aproximadamente esse atleta, desde o início, quando completar o percurso da oitava meia-volta? b) Se continuar a correr dessa maneira, indefinidamente, a que distância do ponto de partida inicial o atleta chegará? 5. (FGV ADM) Um fumante define a seguinte estratégia para deixar de fumar: do total que atualmente fuma diariamente, reduzirá 3 cigarros no primeiro dia, aumentará um cigarro no segundo dia, diminuirá 3 no terceiro dia, aumentará 1 no quarto dia, repetindo essa rotina até que a quantidade de cigarros fumados diariamente seja reduzida a zero. Considerando que hoje ele fume 41 cigarros: a) contando com o dia de hoje, por quantos dias ele ainda fumará até o primeiro dia em que zere seu consumo? b) quantos cigarros, incluindo os consumidos no dia de hoje, ele ainda irá fumar até o primeiro dia em que zere seu consumo? 6. (UNESP) Uma pessoa resolve caminhar todos os finais de tarde. No 1º dia de caminhada, ela percorre uma distância de x metros. No 2º dia, ela caminha o dobro do que caminhou no 1º dia; no 3º dia, caminha o triplo do que caminhou no 1º dia, e assim por diante. Considerando o período do 1º ao 25º dia, ininterruptos, ela caminhou um total de metros. a) Encontre a distância x percorrida no 1º dia. b) Verifique quanto ela terá percorrido no 30º dia. 9

10 7. (UNESP) Considere a figura abaixo, na qual estão sobrepostos os quadrados OX 1 Z 1 Y 1, OX 2 Z 2 Y 2, OX 3 Z 3 Y 3, OX 4 Z 4 Y 4,..., OX n Z n Y n,..., n 1, formados por pequenos segmentos medindo 1 cm cada um. Sejam A n e P n a área e o perímetro, respectivamente, do enésimo quadrado: a) mostre que a sequência (P 1, P 2,..., P n,...) é uma progressão aritmética, determinando seu termo geral, em função de n, e sua razão. b) Considere a sequência (B 1, B 2,..., B n,...), definida por B n =!!!!. Calcule B 1, B 2 e B 3. Calcule, também, a soma dos 40 primeiros termos dessa sequência, isto é, B 1 + B B (UNESP) Devido ao aquecimento das águas, a ocorrência de furacões das categorias 4 e 5 os mais intensos da escala Saffir-Simpson dobrou nos últimos 35 anos. Seja x o número de furacões dessas categorias, ocorridos no período de Vamos supor que a quantidade de furacões a cada 35 anos continue dobrando em relação aos 35 anos anteriores, isto é, que de 2006 a 2040 ocorram 2x furacões, de 2041 a 2075 ocorram 4x furacões, e assim por diante. Baseado nessa suposição, determine, em função de x, o número total de furacões que terão ocorrido no período de 1971 a

11 9. (UNESP) Em uma determinada região de floresta na qual, a princípio, não havia nenhum desmatamento, registrou-se, no período de um ano, uma área desmatada de 3 km 2, e a partir daí, durante um determinado período, a quantidade de área desmatada a cada ano cresceu em progressão geométrica de razão 2. Assim, no segundo ano, a área total desmatada era de = 9 km 2. Se a área total desmatada nessa região atingiu 381 km 2 nos n anos em que ocorreram desmatamentos, determine o valor de n. 10. (Unifesp) Em uma sequência de 8 números, a 1, a 2,..., a 7, a 8, os 5 primeiros termos formam uma progressão aritmética (PA) de primeiro termo 1; os 3 últimos formam uma progressão geométrica (PG) de primeiro termo 2. Sabendo que a 5 = a 6 e a 4 = a 7 : a) Determine as razões da PA e da PG. b) Escreva os 8 termos dessa sequência. 11. (Unifesp) Um objeto parte do ponto A, no instante t = 0, em direção ao ponto B, percorrendo, a cada minuto, a metade da distância que o separa do ponto B, conforme a figura. Considere como sendo de 800 metros a distância entre A e B. Desse modo, ao final do primeiro minuto (1º período), ele deverá se encontrar no ponto A 1 ; ao final do segundo minuto (2º período), no ponto A 2 ; ao final do terceiro minuto (3º período), no ponto A 3, e assim sucessivamente. Suponhamos que a velocidade se reduza linearmente em cada período considerado. a) Calcule a distância percorrida pelo objeto ao final dos 10 primeiros minutos. Constate que, nesse instante, sua distância ao ponto B é inferior a 1 metro. 11

12 b) Construa o gráfico da função definida por f(t) = distância percorrida pelo objeto em t minutos, a partir do instante t = (UNICAMP) Considere uma progressão geométrica de termos não nulos, na qual cada termo, a partir do terceiro, é igual à soma dos dois termos imediatamente anteriores. a) Calcule os dois valores possíveis para a razão q dessa progressão. b) Supondo que o primeiro termo seja e q > 0, calcule a soma dos três primeiros termos dessa progressão. 13. (UNICAMP) Considere a sucessão de figuras apresentada a seguir. Observe que cada figura é formada por um conjunto de palitos de fósforos. a) Suponha que essas figuras representam os três primeiros termos de uma sucessão de figuras que seguem a mesma lei de formação. Suponha também que F 1, F 2 e F 3 indiquem, respectivamente, o número de palitos usados para produzir as figuras 1, 2 e 3, e que o número de fósforos utilizados para formar a figura n seja F n. Calcule F 10 e escreva a expressão geral de F n. b) Determine o número de fósforos necessários para que seja possível exibir concomitantemente todas as primeiras 50 figuras. 12

13 14. (UNICAMP) Dois sites de relacionamento desejam aumentar o número de integrantes usando estratégias agressivas de propaganda. O site A, que tem 150 participantes atualmente, espera conseguir 100 novos integrantes em um período de uma semana e dobrar o número de novos participantes a cada semana subsequente. Assim, entrarão 100 internautas novos na primeira semana, 200 na segunda, 400 na terceira, e assim por diante. Por sua vez, o site B, que já tem membros, acredita que conseguirá mais 100 associados na primeira semana e que, a cada semana subsequente, aumentará o número de internautas novos em 100 pessoas. Ou seja, 100 novos membros entrarão no site B na primeira semana, 200 entrarão na segunda, 300 na terceira etc. a) Quantos membros novos o site A espera atrair daqui a 6 semanas? Quantos associados o site A espera ter daqui a 6 semanas? b) Em quantas semanas o site B espera chegar à marca dos membros? 15. (UFSCar) Observe o padrão de formação das figuras numeradas. a) Sabendo-se que as figuras 1, 2 e 3 são formadas, respectivamente, por 5, 13 e 25 quadrados de área 1 cm², calcule a área da figura 10 da sequência indicada. b) Seja x o número da figura x e f(x) o número de quadrados de 1 cm² que compõem essa mesma figura. Em relação à função f, determine sua lei de formação e seus conjuntos domínio e imagem. 13

14 16. (FGV ECO) Observe atentamente o padrão indicado na tabela a seguir. a) Desenhe qual será a seta localizada no cruzamento da linha 975 com a coluna 1.238, justificando o raciocínio usado. b) Admitindo-se que a tabela tenha 23 linhas por 500 colunas, calcule o total de símbolos iguais a nas três últimas linhas dessa tabela. 17. (FGV ECO) Considere o seguinte arranjo de números: a) Considere a sequência numérica formada pelos números dispostos na segunda diagonal, que são: 1, 2, 4, 7, 11,... O 99º número dessa sequência é um elemento da 100ª linha da tabela. Calcule esse número. b) Seja f(n) a soma dos números da linha n. Calcule n, sabendo que f(n) =

15 18. (ITA) Classifique as afirmações abaixo em verdadeiras ou falsas sobre a expressão!"! S =!!! log! (4! 2) : I) S é a soma dos termos de uma progressão geométrica finita. II) S é a soma dos termos de uma progressão aritmética finita de razão!.! III) S = IV) S log! 2 15

16 Gabarito dos exercícios complementares!"# 1. a) 3!"#$ 2. 5 metros 3. a) -!!"!!b)! b) 9 4. a) Aprox m b) Aprox. 666,7 m 5. a) 40 dias b) 820 cigarros 6. a) 750 m b) 22500m 7. a) r = 4 e P! = 4n b) B1 = 1/4, B2 = 1/2 eb3 = ¾, B1 + B B40 = x a) r = ¼e q = 7/8 b) (1, 5/4, 3/2...) 11. a) 25575/32 m b) 12. a) q =! ±!! b) a) F! = 4.[ 1 + (n 1). 2] = 8n 4, para n 1 e F!" = 76 b) a) 3200 e 6450 b) 12 semanas 15. a) 221 cm² b) f(x) = 2x² + 2x + 1, com f:!!!! 16. a) A cada 4 linhas temos linhas com símbolos iguais e, como 975 = 4 x , podemos afirmar que a linha 975 é igual à linha 3. Assim: A cada 8 colunas o símbolo se repete e 1238 = Portanto, o símbolo do cruzamento da linha 975 com a coluna 1238 é o símbolo que se encontra na coluna 6 dessa linha, ou seja,. b) a) 4852 b) F V V F 16

17 O que pegou em 2011/ (UEL) Para uma apresentação de dança, foram convidadas 312 bailarinas. Em uma de suas coreografias, elas se posicionaram em círculos. No primeiro círculo, havia 15 bailarinas. Para cada um dos círculos seguintes, havia K bailarinas a mais do que no círculo anterior. cosx sen x Se K = + 1, quantos círculos havia nessa coreografia? sen x cosx Apresente os cálculos realizados na resolução da questão. 2. (Fuvest) Considere uma progressão aritmética cujos três primeiros termos são dados por 2 a = 1+ x, a = 6x, a = 2x + 4 em que x é um número real a) Determine os possíveis valores de x. b) Calcule a soma dos 100 primeiros termos da progressão aritmética correspondente ao menor valor de x encontrado no item a. 3. (FGV) a) Determine o quarto termo da sequência (a 1, a 2, a 3, K, a n, K ) dada por: an = 2an 1+ 1 e a1 = 1, com n> 1. b) O jogo A torre de Hanói tem sido jogado desde o século dezenove. É formado por três hastes de plástico, metal ou madeira, diversos anéis de tamanhos diferentes e consiste em transferir e reconstruir a torre em torno de uma das duas hastes vazias, mas seguindo as regras: 1ª Somente um anel pode ser movido de cada vez. 2ª Nenhum anel pode ficar sobre um anel menor. Para uma torre com dois anéis, o menor número de movimentos necessários para transferi-la é 3. Use o desenho abaixo e mostre como transferir uma torre de 3 anéis no menor número possível de movimentos. 17

18 c) O menor número de movimentos an para transferir uma torre de n anéis, n> 1,, satisfaz a relação: an + 1= 2(an 1+ 1). Qual é o menor número de movimentos necessários para transferir uma torre com 6 anéis? 4. (Unifesp)Progressão aritmética é uma sequência de números tal que a diferença entre cada um desses termos (a partir do segundo) e o seu antecessor é constante. Essa diferença constante é chamada razão da progressão aritmética e usualmente é indicada por r. a) Considere uma PA genérica finita (a 1, a 2, a 3,..., a n ) de razão r, na qual n é par. Determine a fórmula da soma dos termos de índice par dessa PA, em função de a 1, n e r. b) Qual a quantidade mínima de termos para que a soma dos termos da PA ( 224, 220, 216,...) seja positiva? 5. (Unesp) Divide-se, inicialmente, um quadrado de lado com medida unitária em 9 quadrados iguais, traçando-se dois pares de retas paralelas aos lados. Em seguida, remove-se o quadrado central. Repete-se este processo de divisão, para os quadrados restantes, n vezes. Observe o processo para as duas primeiras divisões: 18

19 Quantos quadrados restarão após as n divisões sucessivas do quadrado inicial e qual a soma das áreas dos quadrados removidos, quando n cresce indefinidamente? 6. (Unesp) Considere um triângulo isósceles de lados medindo L, L 2 e L centímetros. Seja h a medida da altura relativa ao lado de medida L. Se L, h e a área desse 2 triângulo formam, nessa ordem, uma progressão geométrica, determine a medida do lado L do triângulo. 7. (Unicamp) No mês corrente, uma empresa registrou uma receita de R$ 600 mil e uma despesa de R$ 800 mil. A empresa estuda, agora, alternativas para voltar a ter lucro. a) Primeiramente, assuma que a receita não variará nos próximos meses e que as despesas serão reduzidas, mensalmente, em exatos R$ 45 mil. Escreva a expressão do termo geral da progressão aritmética que fornece o valor da despesa em função de n, o número de meses transcorridos, considerando como mês inicial o corrente. Calcule em quantos meses a despesa será menor que a receita. b) Suponha, agora, que a receita aumentará 10% a cada mês, ou seja, que a receita obedecerá a uma progressão geométrica (PG) de razão!!. Nesse caso, escreva a expressão do termo geral dessa PG em função de n, o número de meses transcorridos, considerando como mês inicial o corrente. Determine qual será a receita acumulada em 10 meses. Se necessário, use 1,1 2 = 1,21; 1,13 1,33 e 1,1 5 1,61. 19!"

20 Gabarito círculos. 2. a) Os possíveis valores de x são b) ou a) 15 b) c) a) Seja S a soma pedida. S = a + a + a + + a n = (a + r) + (a + 3r) + (a + 5r) + + [a + (n 1)r] [a1+ r + a 1+ (n 1)r] n = 2 2 (2a1 + r + nr r)n = 4 = b) n= 114. (2a1 + nr)n Após n divisões sucessivas do quadrado inicial, restarão n 8 quadrados. A soma vale L = a) Se d n é a despesa da empresa no mês n, considerando como mês inicial o corrente, então: dn = (n 1) = n, com n 1. O valor de n para que a despesa seja menor do que a receita é n > 5,4 20

21 b) Seja r n a receita da empresa no mês n, considerando como mês inicial o corrente. Assim, n 1 11 rn = R$ ,00 21