Universidade do Estado do Rio Grande do Norte

Tamanho: px

Começar a partir da página:

Download "Universidade do Estado do Rio Grande do Norte"

Lúcia Medina Figueiredo
7 Há anos
Visualizações:

1 Universidade do Estado do Rio Grande do Norte Faculdade de Ciências Exatas e Naturais Departamento de Matemática e Estatística Disciplina: Princípios da Contagem Semestre: Prof.:Laudelino Gomes Ferreira Nome legível: Mossoró, 9 de fevereiro de 206 Obs.: Primeira Lista (a) As soluções de alguns exercícios serão postadas no seguinte blog: Para cada esforço disciplinar há múltiplas recompensas. (Jim Rohn) Preparo inadequado produz resultados inadequados. (Bob Briner) (b) Não esqueça que a primeira atividade será aplicada no dia 5/03/206. Sequências Problema Calcule os cinco primeiros termos da sequência dada pela fórmula do termo geral em cada exercício. (a) a n = 6n+4; n. (b) a n = 2 n ; n. Problema 2 Calcule a soma dos cinco primeiros termos da sequência definida por a n = n ( ) n+ ; n. Problema 3 Escreva os cinco primeiros termos de cada sequência. (a) (b) { a = 3 a n+ = a n +5; n { a = 4 a n+ = 2a n ; n Problema 4 Calcule o produto dos três primeiros elementos da sequência definida por a = 2 e a n+ = a n +;n. 2 Página

2 Problema 5 Considere as sequências a n e b n definidas por a n = n2 2n+,n e { b = 0 b p+ = b p ; p Determine os quatro primeiros termos da sequência c n tal que c n = a n +b n,n. Problema 6 Consideremos a sequência a n dada por a n = 2n + 3 e seja b n dada por b n = 5a n +3a n+. Dê o termo geral de b n em função de n. Problema 7 Uma sequência infinita de termo geral dado por a n = n(n+) () (a) Escreva os quatro primeiros termos da sequência. (b) Determine as constantes a e b tais que, para todo n N n(n+) = a n + b (n+). (c) Dê a fórmula da soma dos n primeiros termos dessa sequência, em função de n. Problema 8 (CESCEA-Adaptada) A sequência (y n ) n é tal que y n y n = 2n, para todo n 2. Sabendo-se que y =, determine y 2. Progressões Aritméticas Problema 9 Determine a de modo que (a 2,(a+) 2,(a+5) 2 ) seja uma P.A. Problema 0 Obtenha 3 números em P.A., sabendo que sua soma é 8 e a soma de seus inversos é Problema Obtenha x, x R, de modo que a sequência seja P.A. (2log 2 x, 2+3log 2 x, 8log 2 x) Problema 2 Quatro números constituem uma progressão aritmética. A sua soma vale 24 e a soma de seus quadrados vale 64. Determine o maior deles. Problema 3 Determine cinco números em progressão aritmética conhecendo sua soma 40 e a soma dos inversos dos extremos 3. Problema 4 Determine quatro números em progressão aritmética conhecendo sua soma 26 e a soma dos seus quadrados 24. Problema 5 Os três termos de uma sequência são proporcionais aos números 2, 5 e 7. Subtraindo 4 do termo do meio, os números passam a formar uma PA. Determine a sequência original. Página 2

3 Problema 6 Os lados de um triângulo retângulo formam uma progressão aritmética crescente. Mostre que a razão da progressão é igual ao raio do círculo inscrito no triângulo e que os lados são diretamente proporcionais aos números 3, 4 e 5. Problema 7 (FUVEST) Em uma Progressão Aritmética de termos positivos, os três primeiros termos são: a, a, a. Qual o quarto termo desta P.A.. Problema 8 O termo geral de uma progressão aritmética é calculado pela fórmula: a n = a +(n )n. (a) Sabendo que o primeiro termo de uma PA é 5 e a razão é, calcule o 3 ọ termo; (b) Dados a 5 = 00 e r = 0 calcule o primeiro termo; (c) Sendo a 7 = 2 e a 9 = 27 calcule o valor da razão; (d) (UFRGS) Em uma Progressão Aritmética, em que o primeiro termo é 23 e a razão é 6, qual a posição ocupada pelo elemento 3; (e) (UCS) Qual o valor de x para que a sequência (2x,x+,3x) seja uma PA; (f) Qual o milésimo número ímpar positivo?; (g) Qual o número de termos da PA: (00,98,96,...,22)?; (h) Se numa PA o quinto termo é 30 e o vigésimo termo é 60, qual a razão? Problema 9 Obtenha o primeiro termo da P.A. de razão 4 e a 23 = 86. Problema 20 Determine a P.A. em que se verificam as relações: a 2 +a 2 = 302 e a 23 +a 46 = 446. Problema 2 O primeiro termo a de uma progressão aritmética de razão 3 satisfaz 0 a < 0. Se um dos termos da progressão é 35, determine o valor de a Problema 22 O sétimo termo de uma progressão aritmética é 38 e o décimo é 50. Calcule o vigésimo termo. Problema 23 Quantos números existem entre 0 e 500 que são divisíveis por 5 ou por 7? Problema 24 (ENEM/20) O número mensal de passagens de uma determinada empresa aérea aumentou no ano passado nas seguintes condições: em janeiro foram vendidas passagens; em fevereiro, 34500; em março, Esse padrão de crescimento se mantém para os meses subsequentes. Quantas passagens foram vendidas por essa empresa em julho do ano passado? Problema 25 Quantos são os termos comuns às progressões (2,5,8,...,332) e (7,2,7,...,57)? Problema 26 (PROFMAT/20) Os números 5, 356 e 590 são termos de uma progressão aritmética de números inteiros positivos, de razão máxima. Qual o termo seguinte ao termo 590? Página 3

4 Problema 27 Ao inserir n meios aritméticos entre e n 2, determine a razão da P.A.:,...,n 2. Problema 28 Determine a razão da progressão aritmética que se obtém inserindo três termos entre os números 2 e 8. Problema 29 (UTFPR) Se k é o número de meios aritméticos que devemos inserir entre os números 5 e 35, a fim de que a nova progressão aritmética tenha razão menor que 3 03, então: (a) k = 500 (b) k < 0000 (c) k = 0000 (d) k > 9999 (e) 500 < k < 9999 Problema 30 O símbolo S n indica a soma dos n primeiros termos da P.A. (,5,9,...). Determine o maior valor de n tal que S n < 78 Problema 3 Um jardineiro tem que regar 60 roseiras plantadas ao longo de uma vereda retilínea e distando m uma da outra. Ele enche seu regador numa fonte situada na mesma vereda, a 5m da primeira roseira, e a cada viagem rega 3 roseiras. Começando e terminando na fonte, qual é o percurso total que ele terá que caminhar até regar todas as roseiras? Problema 32 (UNISINOS-RS) Em um determinado jogo, o prêmio pago ao acertador é 0 vezes o valor da aposta. José resolve, então, jogar e aposta R$ 2,00 na primeira vez, e nas rodadas seguintes aposta sempre o dobro da aposta anterior. José acerta somente na oitava vez e não joga mais. Considerando-se o montante que José investiu até a oitava jogada e o que ganhou, qual o seu lucro? Problema 33 (UNIRIO-RJ) Numa caminhada, os participantes A e B desenvolveram os seguintes ritmos: Sabendo-se que A e B iniciaram a caminhada juntos e de um mesmo ponto, e que as sequências estabelecidas foram mantidas, por ambos, até o final do passeio, qual a distância, em metros, entre o participante A e o B, no exato momento em que B parou de caminhar? Problema 34 Calcule S = Problema 35 (UFV-MG) Numa caixa há 000 bolinhas de gude, retiram-se 5 bolinhas na primeira vez, 20 na segunda, 25 na terceira e assim, sucessivamente, na mesma razão. Quantas bolinhas sobrarão na caixa após a décima quinta retirada? Problema 36 Calcule a soma dos múltiplos de compreendidos entre e 000. Página 4

5 Problema 37 Calcule a soma dos termos da progressão (2, 9, 26,...) desde o 25 ọ termo até o 4 ọ, inclusive. Problema 38 Calcule a soma de todos os inteiros, compreendidos entre 20 e 200, que divididos por 7 dão resto 5. Problema 39 Qual deve ser o número mínimo de termos da sequência para que a soma de seus termos seja positiva? ( 33, 26, 9, 2,...) Problema 40 Calcule a soma dos números inteiros positivos inferiores a 50 e que não sejam divisíveis por 7. Problema 4 A soma dos n primeiros termos de uma PA infinita é dada por: S n = 4n 2 6n para todo n N. Determine o primeiro termo e a razão. Problema 42 Ao realizar testes de controle de qualidade, um fabricante verificou que um de seus relógios atrasa milésimo de segundo no primeiro dia, 3 milésimos de segundo no segundo dia, 5 milésimos de segundo no terceiro dia e assim sucessivamente, atrasando, a cada dia, 2 milésimos de segundos a mais do que no dia anterior. Depois de quantos dias esse relógio terá atrasado 90 segundos? Problema 43 Um pai resolve depositar todos os meses uma certa quantia na caderneta de poupança de sua filha. Pretende começar com R$ 5,00 e aumentar R$ 5,00 por mês, ou seja, depositar R$ 0,00 no segundo mês, R$ 5,00 no terceiro mês e assim por diante. Após efetuar o décimo quinto depósito, qual será a quantia total depositada? Problema 44 Seja (a,a 2,a 3,...,a 7 ) uma progressão aritmética derazão r, com r 0. Mostre que: a +a 7 = a 2 +a 6 = a 3 +a 5 = 2a 2. Problema 45 Sabendo que (a,b,c) e ( b, c, ) são P.A., mostre que d 2ad = c(a+c). Problema 46 Sendo (a n ) uma PA de termos positivos e de razão r 0, demonstre que: Sugestões: a + a 2 + a2 + a an + a n = (a) Racionalize cada uma das parcelas. Por exemplo, a + a2 a = a 2 a 2 a (b) Use a n = a (n )r para determinar a razão. Observe que a n a = ( a n + a )( a n a ). n a + a n Página 5

6 Problema 47 Prove que os termos de uma P.A. qualquer em que 0 não participa verificam a relação: = n. a a 2 a 2 a 3 a 3 a 4 a n a n a a n Problema 48 (Fuvest-SP) 500 moedas são distribuídas entre três pessoas A, B e C, sentadas em círculo, da seguinte maneira: A recebe uma moeda, B duas, C três, A quatro, B cinco, C seis, A sete, e assim por diante, até não haver mais moedas suficientes para continuar o processo. A pessoa seguintes, então, receberá as moedas restantes. (a) Quantas foram as moedas restantes e quem as recebeu?(deixe explícito como você obteve a resposta.) (b) Quantas moedas recebeu cada uma das três pessoas? Problema 49 Mostre que em toda progressão aritmética cada termo é média aritmética entre o seu antecedente e o seu consequente. Problema 50 Mostre que, em toda progressão aritmética (a n ), a sequência (b n ) definida por b n = (a n+ ) 2 (a n ) 2 é também uma progressão aritmética. Página 6

Documentos relacionados

Nome: Data: / / 3) (Unicamp 2010) Dois sites de relacionamento desejam aumentar o número de integrantes usando estratégias agressivas de propaganda.

Nome: Data: / / 3) (Unicamp 2010) Dois sites de relacionamento desejam aumentar o número de integrantes usando estratégias agressivas de propaganda. Nome: Data: / / Disciplina: Matemática 1 Série: 1 EM 1) (Unesp 2011) Após o nascimento do filho, o pai comprometeu-se a depositar mensalmente, em uma caderneta de poupança, os valores de R$ 1,00, R$ 2,00,