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Afonso Casado Santana
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1 SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS Sequência numérica é uma sequência ou sucessão que tem como contradomínio (conjunto de chegada) o conjunto dos números reais. As sequências numéricas podem ser finitas, quando é possível contar os seus elementos, ou infinitas, quanto não é possível contar os seus elementos. Visualize, nos dois casos, as representações matemáticas. Sequência finita: (a 1, a 2, a 3,..., a n ) Sequência infinita: (a 1, a 2, a 3,..., a n,...) Leitura dos termos acima: a 1 a índice 1 (primeiro termo) a 2 a índice 2 (segundo termo) a 3 a índice 3 (terceiro termo) a n a índice n (enésimo termo) Veja exemplos de sequências finitas e infinitas: Sequência finita: (5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19) Sequência infinita (3, 5, 7, 11, 13, 17,...) Exemplos: O conjunto ordenado (0, 2, 4, 6, 8, 10,...) é a sequência infinita de números pares. O conjunto ordenado (7, 9, 11, 13,15) é a sequência finita de números impares 7 e 15. O conjunto ordenado (2, 10, 12, 16, 17, 18, 19, 200) é uma sequência finita de números que começa com a letra D. Matematicamente, quando temos uma sequência numérica qualquer, representamos o seu 1º termo por a 1 assim sucessivamente, sendo o n-ésimo termo a n. Exemplo: (2, 4, 6, 8, 10) temos: a 1 = 2; a 2 = 4; a 3 = 6; a 4 = 8; a 5 = 10 Pagina: 1

2 A sequência acima é uma sequência finita, sua representação geral é (a 1, a 2, a 3,..., a n ). Para as sequências que são infinitas a representação geral é (a 1, a 2, a 3, a n,... ). Para determinarmos uma sequência numérica precisamos de uma lei de formação. Exemplo: A sequência definida pela lei de formação a n = 2n² - 1, n N*, onde n = 1, 2, 3, 4, 5,... e a n é o termo que ocupa a n-ésima posição na sequência. Por esse motivo, a n é chamado de termo geral da sequência. Utilizando a lei de formação a n = 2n² - 1, atribuindo valores para n, encontramos alguns termos da sequência. n = 1 a 1 = 2. 1² - 1 a 1 = 1 n = 2 a 2 = 2. 2² - 1 a 2 = 7 n = 3 a 3 = 2. 3² - 1 a 3 = 17 n = 4 a 4 = 2. 4² - 1 a 4 = 31 Assim, a sequência formada é (1, 7, 17, 31,...) PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A.) Progressão aritmética é um tipo de sequência numérica que a partir do segundo elemento cada termo (elemento) é a soma do seu antecessor por uma constante. A sequência (5,7,9,11,13,15,17) é uma Progressão aritmética, pois os seus elementos são formados pela soma do seu antecessor com a constante 2. a 1 = 5 a 2 = = 7 a 3 = = 9 a 4 = = 11 a 5 = = 13 a 6 = = 15 a 7 = = 17 Pagina: 2

3 Essa constante é chamada de razão e representada por r. Dependendo do valor de r a progressão aritmética pode ser crescente, constante ou decrescente. P.A crescente: r > 0, então os elementos estarão em ordem crescente. P.A constate: r = 0, então os elementos serão todos iguais. P.A decrescente: r < 0, então os elementos estarão em ordem decrescente. sabemos que: Termo Geral de uma P.A Considere uma P.A finita qualquer (a 1, a 2, a 3, a 4,..., a n ) de razão igual a r, a 2 a 1 = r a 2 = a 1 + r a 3 a 2 = r a 3 a 1 r = r a 3 = a 1 + 2r a 4 a 3 = r a 4 a 1 2r = r a 4 = a 1 + 3r a n = a 1 + (n 1). r Portanto o termo geral de uma P.A é calculado utilizando a seguinte fórmula: Exemplo 1: Calcule o 16º termo de uma P.A, sabendo que a1 = -10 e r = 3. a n = a 1 + (n 1). r a 16 = (16 1). 3 a 16 = a 16 = a 16 = 35 O 16º termo de uma P.A é 35. Soma dos termos de uma P.A finita Se tivermos uma P.A finita qualquer, para somarmos os seus termos (elementos) chegaremos à seguinte fórmula para somarmos os n elementos de uma P.A finita. Pagina: 3

4 Exemplo 2: Determine uma P.A sabendo que a soma de seus 8 primeiros termos é 324 e que a 8 = 79. Retirando os dados: n = 8 S n = 324 a 8 = 79 elementos. Precisamos encontrar o valor de r (razão) para encontrar o valor dos outros Assim, a PA é finita, com 8 termos: (2, 13, 24, 35, 46, 57, 68, 79). PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (P.G.) Chamamos de Progressão Geométrica (P.G.) a uma seqüência de números reais, formada por termos, que a partir do 2º, é igual ao produto do anterior por uma constante q dada, chamada de razão da P.G. Dada uma sequência (a 1, a 2, a 3, a 4,, a n, ), então se ela for uma P.G, teremos: com n 2 e n IN, onde: Pagina: 4

5 a 1 1º termo Prof. Patricia Caldana a 2 = a 1. q a 3 = a 2. q² a 4 = a 3. q³. a n = a n-1. q Classificação das progressões geométricas 1. Crescente: 2. Decrescente: 3. Alternante ou Oscilante: quando q < Constante: quando q = 1 5. Estacionária ou Singular: quando q = 0 Fórmula do termo geral de uma P.G. Considerando a PG (a1, a2, a3,..., a n 1, an) e utilizando a definição de PG an = a n 1. q com n > 1 podemos encontrar a fórmula do termo geral da PG, desde que a1 0 e q 0. a 2 = a1. q a 3 = a2. q a 4 = a3. q... Pagina: 5

6 an = a n 1. q Prof. Patricia Caldana Portanto, o termo geral da PG é calculado com a utilização da fórmula: Exemplo 1: Em uma progressão geométrica, temos que o 1º termo equivale a 4 e a razão igual a 3. Determine o 8º termo dessa PG. O 8º termo da PG descrita é o número Soma dos termos de uma PG A soma dos termos de uma PG é calculada através da seguinte expressão matemática: com q 1 Obs.: Se a P.G. for constante, isto é, q = 1 a soma Sn será: Exemplo 2: Dada a PG (3, 9, 27, 81,...), determine o 20º termo. E, em seguida, determine a soma dos 20 primeiros elementos dessa PG. a 20 = a 20 = a 20 = Pagina: 6

7 EXERCÍCIOS PA E PG 1. Encontre o termo geral da progressão aritmética (PA) A = (3, 7,...) 2. A soma dos 20 termos de uma PA é 500. Se o primeiro termo dessa PA é 5, qual é a razão r dessa PA? 3. A soma dos 15 primeiros termos de uma progressão aritmética é 150. O 8 termo dessa PA é: a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) Determine a soma dos 10 primeiros termos da PG (1, 3, 9, 27). 5. A razão da P.G. (a, a + 3, 5a 3, 8a) é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) nra Pagina: 7

8 6. Determine o 15 termo da PG (256,128,64,32...) Prof. Patricia Caldana 7. Determine o 10 termo da PG (3,6,12...) 8. Calcule a soma dos onze primeiros termos da PG (2,4,8...) Pagina: 8

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