CEEJA MAX DADÁ GALLIZZI

Transcrição

1 CEEJA MAX DADÁ GALLIZZI MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO APOSTILA 12

2 Parabéns!!! Você já é um vencedor! Voltar a estudar é uma vitória que poucos podem dizer que conseguiram. É para você, caro aluno, que desenvolvemos esse material. Foi pensando em seu sucesso e em auxiliá-lo nas redescobertas da arte matemática que elaboramos o conteúdo e os exercícios contidos nesta coleção de apostilas. Ela foi escrita em linguagem simples e com a preocupação de transmitir os assuntos importantes de matemática da forma mais clara possível. Todos nós usamos matemática diariamente, mesmo sem perceber. Em uma compra, ao pagar e ao receber o troco, estamos fazendo matemática. Até para utilizarmos corretamente uma máquina de calcular, precisamos saber matemática. Para isto, em cada aula, você encontrará ferramentas matemáticas que passarão a fazer parte da sua vida para enriquecê-la e facilitála. A matemática não é um conjunto de regras que devam ser decoradas. O importante é compreender o que está por trás de cada regra; é compreender os conceitos. Assim você poderá utilizar os seus conhecimentos em situações novas, resolvendo os problemas que surgirem na sua casa, no seu trabalho, na sua vida. Uma parte fundamental dessa apostila são os Exercícios. Não se aprende matemática apenas lendo um texto. É preciso praticar. É preciso gastar lápis e papel resolvendo exercícios. Só assim ganhamos segurança no que aprendemos e ficamos preparados para a aula seguinte. Portanto, tente fazer os exercícios de cada aula. Talvez você não consiga resolver todos, mas o importante é tentar fazer. Também aprendemos muito com nossos próprios erros. Resolva todos os exercícios em seu caderno (não responder na apostila, pois a mesma será utilizada por outros alunos no decorrer do curso). Procure-nos assim que surgirem as primeiras dificuldades, nós estaremos sempre prontos para ajudálo. No fim do curso você terá adquirido uma série de conhecimentos de matemática que serão suas ferramentas para compreender melhor o mundo que nos cerca, tornando-o um cidadão mais seguro e respeitado. Mas, acima de tudo, você vai descobrir que pensar é divertido. Raciocinar é estimulante. Resolver desafios, questionar, encontrar soluções nos dá prazer, desenvolve a nossa mente e torna mais ágil o nosso raciocínio. Adquirindo o hábito de pensar de forma organizada, você terá aprendido a mais importante das lições e nós teremos cumprido o nosso objetivo. Página 2

3 Progressão Geométrica Introdução Nesta aula, vamos abordar outra importante seqüência: a progressão geométrica. É possível que você já tenha ouvido alguém preocupado com o número de habitantes do nosso planeta dizer a seguinte frase: A produção de alimentos cresce em progressão aritmética enquanto a população mundial cresce em progressão geométrica. O que essa frase significa? A primeira parte da frase diz que o aumento da produção de alimentos é constante, ou seja, a cada ano aumenta do mesmo valor. A segunda parte da frase fala de uma seqüência cujo crescimento é cada vez mais rápido. Progressão geométrica (ou simplesmente PG) é uma seqüência de números não nulos em que cada um deles, multiplicado por um número fixo, fornece o próximo elemento da seqüência. Esse número fixo chama-se razão, e os elementos da seqüência são os termos da progressão geométrica. Por exemplo, vamos obter os termos de uma progressão geométrica de razão 2, partindo do número 3. 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, 768,... x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 Observe como o crescimento é rápido. Os termos da progressão geométrica são representados, como em qualquer seqüência, por, e a razão será representada pela letra q. Assim, no exemplo anterior, temos etc. e q = 2. Se cada termo da PG multiplicado pela razão dá o termo seguinte, então podemos afirmar que: A razão da PG é igual a qualquer termo dividido pelo anterior. No nosso estudo, vamos considerar apenas progressões geométricas de termos positivos. São as que têm interesse prático e ocorrem em diversos fenômenos naturais. Página 3

4 Classificação da PG Observe três exemplos que mostram a classificação das progressões geométricas: É uma progressão crescente. É uma progressão decrescente. É uma progressão estacionária. Pelo que vimos acima, concluímos que, se a razão for maior que 1, a progressão geométrica é crescente e, se a razão for um número entre 0 e 1, a progressão é decrescente. Fórmula do termo geral de uma PG Vamos agora obter uma fórmula para determinar qualquer termo de uma PG a partir do primeiro termo e da razão. Observe então uma progressão geométrica qualquer: A partir da definição de PG, temos que. O terceiro termo é. O quarto termo é. e assim por diante. Para obter então o termo de ordem, devemos multiplicar o primeiro termo pela razão vezes, ou seja,: Página 4

5 EXEMPLO 1: Determinar o 12º termo da PG 7, 14, 28,... Como a razão da PG é igual a qualquer termo dividido pelo anterior, temos que: Para calcular o 12º termo dessa progressão, substituímos n por 12 na fórmula do termo geral. Temos então: Substituindo os valores do primeiro termo e da razão, encontramos: EXEMPLO 2: Existem bactérias que se reproduzem de forma extremamente rápida. Um exemplo é a bactéria que causa a sífilis (chamada treponema pallidum): cada uma delas se transforma em 8 iguais no período de 1 hora. Se uma bactéria desse tipo começa a se reproduzir, quantas elas serão 5 horas depois, supondo que nenhuma delas tenha morrido? Solução: A população de bactérias forma uma progressão geométrica: Vemos então que, 5 horas depois, devemos calcular o 6º termo da progressão geométrica com e. Aplicando novamente a fórmula do termo geral, com, temos: Substituindo os valores do primeiro termo e da razão, encontramos: Esse resultado dá o incrível número bactérias, ou seja, mais de bactérias num curto intervalo de tempo! Página 5

6 A PG na calculadora A maioria das calculadoras simples é capaz de mostrar no visor os termos de uma progressão geométrica de forma bastante prática. Basta digitar a razão, o sinal de multiplicação, o primeiro termo e a tecla sucessivas vezes. Os termos da PG vão aparecendo no visor: etc. Por exemplo, para obter diversos termos da PG de razão 3 com primeiro termo 2, digite, nesta ordem: Você verá então os seguintes números aparecerem no visor: EXEMPLO 3: João investiu R$ 500,00 em ações de uma empresa. Por infelicidade, esse dinheiro sofreu desvalorização de 5% todos os meses. Quanto João ainda tinha no fim de 1 ano? Quem perde 5% fica com 95% do que tinha antes. Se ele tinha R$ 500,00, um mês depois passou a ter ,95 = 475, ou seja, ele passou a ter apenas 95% do que tinha antes. O raciocínio continua igual. Se ele agora tem R$ 475,00, no mês seguinte ele passará a ter ,95 = 451,25, ou seja, apenas 95% do que tinha. Você observou então que: Para desvalorizar uma quantia em 5%, devemos multiplicá-la por 0,95. O dinheiro de João forma então uma progressão geométrica decrescente: Para encontrar esse valor, use a máquina de calcular. Digite primeiro a razão (0,95), o sinal de multiplicação, o primeiro termo (500) e, em seguida, 12 vezes a tecla. No visor aparecerá o número 270,18. Isso quer dizer que os R$ 500,00 de João foram sendo desvalorizados em 5% a cada mês e, no fim de um ano, ficaram reduzidos a R$ 270,18. Página 6

7 Progressão de três termos Suponha inicialmente que os números a, b, c, formem uma progressão geométrica. Como a razão é igual a e também igual a temos: Dizemos então, nesse caso, que b é média geométrica entre a e c. EXEMPLO: Determine o valor de x na progressão Exercícios Questão 01: Escreva os 8 primeiros termos da progressão geométrica cujo primeiro termo é 5 e cuja razão é 2. Questão 02: Calcule o valor de x em cada uma das progressões geométricas abaixo: a) 4, 12, x b) 2, x, 50 c) x, 6, 9 Página 7

8 Questão 03: Uma pequena empresa está em desenvolvimento, e seu faturamento aumenta 20% todos os meses. Se em janeiro ela faturou R$ 7.400,00, quanto ela deverá faturar em outubro do mesmo ano? Sugestão: Se o faturamento em certo mês é x, então no mês seguinte será 20% maior, ou seja, Esse cálculo mostra que, para conhecer o faturamento do mês seguinte, basta multiplicar o faturamento atual por 1,2. Portanto, os faturamentos formam uma progressão geométrica de razão 1,2. Use a máquina de calcular para determinar o faturamento de outubro. Questão 04: Uma indústria começou a funcionar em 1980 e aumentou sua produção em 10% a cada ano. Em que ano a produção será, pela primeira vez, maior que o dobro da inicial? Sugestão: Se a produção em certo ano é x, no ano seguinte será 10% maior, ou seja, Então, para calcular a produção do ano seguinte, basta multiplicar a produção atual por 1,1. Considere um valor qualquer para a produção inicial, por exemplo, 100. Construa uma PG de razão 1,1 e, com auxílio da máquina de calcular, verifique quando essa produção passará de 200. Página 8

9 Questão 05: O protozoário chamado plasmodium vivax é um dos causadores da malária. Ele se reproduz muito rápido. No espaço de um dia, cada um deles se transforma em 4 iguais. Se um deles penetra no organismo de uma pessoa, quantos eles serão (aproximadamente) 10 dias depois? Questão 06: A partir de 1970 a incidência de certa doença passou a diminuir de 40% a cada ano. Em que ano o número de doentes foi de cerca de 1% do número registrado em 1970? Sugestão: Construa a progressão geométrica abaixo: ANO Nº de DOENTES E, com auxílio da máquina de calcular, verifique em que ano aparece um número próximo de 1. Página 9

10 Somando os termos das Progressões Geométricas Quando estudamos as progressões aritméticas, encontramos uma fórmula bastante prática para calcular a soma de qualquer quantidade de termos. Vamos fazer a mesma coisa nesta aula com as progressões geométricas. Imagine, por exemplo, a soma: As parcelas formam uma progressão geométrica de razão 3, começando em 8. Será possível obter o resultado sem precisar somar todas as parcelas? A resposta é sim, como veremos a seguir. Vamos representar por S a soma dos termos de uma progressão geométrica de razão q. Para facilitar a compreensão, vamos considerar uma PG com, por exemplo, sete termos. Você perceberá que a dedução da fórmula da soma é exatamente a mesma, qualquer que seja o número de termos. Seja então: S = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 (1) Agora, vamos multiplicar todos os termos dessa igualdade pela razão da PG: Observe que cada termo da PG multiplicado pela razão resulta no próximo, ou seja,, e assim por diante. Em seguida, vamos subtrair as igualdades (2) e (1). Veja: (2) Repare que os outros termos foram cancelados. Como é igual a, temos: Colocando em evidência S do lado esquerdo e do lado direito encontramos: Essa fórmula calcula a soma de sete termos de uma PG cujo primeiro termo é e cuja razão é. Temos então que, no caso geral, a soma dos termos de uma progressão é dada por: Página 10

11 EXEMPLO 1: Calcular, com auxílio da fórmula, a soma que apareceu na introdução da aula Solução: A soma que você vê na introdução desta aula tem 9 parcelas. Essas parcelas formam uma progressão geométrica com Então, fazendo na fórmula as substituições, encontramos: Aí está o resultado da soma proposta. Usando a máquina de calcular Para utilizar a fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrica, precisamos calcular o número que nela aparece. Quando a razão não é um número inteiro ou quando é grande, essa conta é trabalhosa. Devemos usar a calculadora da seguinte forma: Assim, no exemplo anterior, para calcular, digitamos: Página 11

12 EXEMPLO 2: Uma indústria iniciou suas atividades produzindo objetos por ano e, a cada ano, a produção aumentou em 10% em relação ao ano anterior. Qual foi o total de objetos produzidos em 10 anos de atividade? Solução: Repare que se, em um ano qualquer, a produção foi de x objetos, então, no ano seguinte, será de: Assim, se a produção em um ano é igual à do ano anterior multiplicada por 1,1, temos que as produções anuais formam uma progressão geométrica de razão 1,1. Para calcular o número total de objetos produzidos em 10 anos, usamos nossa fórmula com etc O número é calculado com auxílio da máquina de calcular, como mostramos anteriormente. Lembramos, ainda, que devemos fazer uma aproximação do resultado que vemos no visor, porque o número de casas decimais já é grande demais. Temos então: Essa indústria produziu, em 10 anos de atividade, aproximadamente objetos. Repare que, no cálculo de, nossa aproximação foi para menos. Então, o número real de objetos produzidos foi, certamente, um pouco superior ao calculado. Portanto, o número é uma estimativa, que sabemos estar próxima da realidade. Página 12

13 EXEMPLO 3: Em certa região do país, a pesca predatória fez com que a produção de pescados caísse em 20% a cada ano. Se, em 1991, foram pescados nessa região 2,5 toneladas de peixe, qual foi a produção total de 1991 até 1995? Solução: Se a produção em certo ano foi de x toneladas, então, no ano seguinte, será 20% menor, ou seja, será: Logo, se a produção em cada ano é igual à do ano anterior multiplicada por 0,8, temos a seguinte progressão: Para somar esses resultados, podemos usar a nossa fórmula: Concluímos então que, nesses 5 anos, foram pescados, aproximadamente, 8,4 toneladas de peixe. Página 13

14 Exercícios Questão 07: Calcule a soma S = , com 10 parcelas. Questão 08: Calcule a soma S = , com 8 parcelas. Questão 09: João ganhou em janeiro R$ 70,00 e, a partir daí, passou a ganhar um aumento de 10% todos os meses. Qual foi o total que ele ganhou em todo esse ano? Sugestão: Considere a PG formada pelos salários de João: Use a fórmula da soma para obter o resultado. Questão 10: Uma loja de eletrodomésticos vende uma televisão de duas maneiras: a) À vista por R$ 540,00; b) Pelo plano maluco, no qual você paga prestações durante toda sua vida, sendo a primeira de R$ 256,00 e cada uma das outras igual à metade da anterior. Qual delas você deve preferir? Página 14

15 Gabarito Questão 01: PG (5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, 640) Questão 02: a) x = 36 b) x = 10 c) x = 4 Questão 03: R$38.182,37 Questão 04: Questão 05: Questão 06: Questão 07: S = Questão 08: S = Questão 09: R$ 199,71 Questão 10: Plano B, pois pagarei aproximadamente R$ 512,00 ( ,... ) Página 15

16 Bibliografia Os textos e os exercícios foram retirados e/ou pesquisados nos seguintes livros: Telecurso 2000 Matemática: Volumes 1,2 e 3 Ensino Médio. - São Paulo: Editora Globo, Matemática: Aula por Aula: Volume Único: Ensino Médio / Benigno Barreto Filho, Cláudio Xavier Barreto. - São Paulo: FTD, Matemática: Contexto & Aplicações: Volumes 1, 2 e 3: Ensino Médio. - São Paulo: Ática,1999. Matemática Fundamental, 2º grau: Volume Único / José Ruy Giovanni, José Roberto Bonjorno, José Ruy Giovanni Jr. São Paulo: FTD, Coleção Base: Matemática: Volume Único / Manoel Paiva. São Paulo: Moderna, Curso Prático de Matemática: Volumes 1, 2 e 3 Ensino Médio / Paulo Bucchi. São Paulo: Moderna, Matemática: Temas e Metas: Volumes 1,2 e 3 / Antônio dos Santos Machado. São Paulo: Atual, Praticando Matemática: 6º ao 9º ano /Álvaro Andrini, Maria José Vasconcellos. São Paulo: Editora do Brasil, A Conquista da Matemática Nova: 6º ao 9º ano / José Ruy Giovanni, Benedito Castrucci, José Ruy Giovanni Jr. São Paulo: FTD, Página 16

17 Este conjunto de apostilas foi elaborado pelos professores da Área de Matemática do CEEJA Max Dadá Gallizzi, com base nos livros didáticos descritos na Bibliografia, ora transcrevendo exercícios e teorias, ora criando com base nos conteúdos observados. Professores Ednilton Feliciano Francis Mara C. Sirolli Paulo Teles de Araújo Jr Satie Sandra Soares Taira 2010 Página 17