PLANO DE AULA IDENTIFICAÇÃO

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1 PLANO DE AULA IDENTIFICAÇÃO Escola: IFC Campus Avançado Sombrio Município: Sombrio Disciplina: Matemática Série: 2 ano Nível: Ensino médio Professor: Giovani Marcelo Schmidt Tempo estimado: Cinco aulas (45min cada aula, três aulas de conteúdo um trabalho e uma de avaliação). TEMA: Progressão geométrica (P.G.) Subtema: Sequências geométricas, interpolação de meios geométricos, soma de P.G. JUSTIFICATIVA A progressão geométrica é muito utilizada principalmente no regime de capitalização composta, onde o montante varia de acordo com uma progressão geométrica, onde o montante aumenta segundo uma variação exponencial em relação aos juros, a P.G. possui varias aplicações em outras áreas do conhecimento como na química com o crescimento de colônias de bactérias, na física entre outros, o que torna seu estudo necessário. OBJETIVOS a) Realizar cálculos envolvendo progressão geométrica b) Perceber e resolver problemas que envolvam progressão geométrica

2 CONTEÚDOS ENVOLVIDOS Conteúdos pré-requisitos para o desenvolvimento da aula. Equações do primeiro grau e progressão aritmética. 6.1 Recursos: Lousa, pincel e televisão. 6.2 Técnicas: Aula expositiva e dialogada, usando resoluções de problemas. PROCEDIMENTOS Operacionalizações da aula Progressão Geométrica Conceito Problemas que envolvem grandezas que crescem ou decrescem através do produto por uma constante podem ser resolvidos com o auxílio de Progressão geométrica P. G., ou seja, P. G. é toda sequência numérica em que cada termo a partir do segundo é igual ao produto do anterior por uma constante q. Classificação da PG Dependendo dos termos que compor uma PG ela será classificada em: PG crescente são aquelas que os valores dos termos vão crescendo. a 1 > 0 e q > 1, por exemplo: (1,2,4,8,16,32,64,...) a 1 < 0 e 0 < q < 1, por exemplo (-1, -1/2, -1/4,...) PG decrescente são aquelas que os termos vão diminuindo. a 1 > 0 e 0 < q < 1, por exemplo: (64, 32, 16,8,...) a 1 < 0 e q > 1, por exemplo: (-2,-4,-8,...)

3 = 1. Ministério da Educação PG constante são aquelas que os termos são iguais, ou seja, a razão é igual a q Por exemplo: (5,5,5,5,, 5) PG oscilante é uma PG que os seus termos intercalam em negativos e positivos, ou seja, que a1 0 e q < 0. PG quase nula é uma PG que apenas o 1º elemento é diferente de zero. Por exemplo: (2,0,0,0,0,0, ) EXEMPLO: Uma doença partiu do contagio de 50 pessoas. Ao fim da primeira semana constatou-se que haviam 100 pessoas contaminadas, ao fim da segunda semana o número de contaminados alcançou 200 pessoas. Quantas pessoas estarão contaminadas ao final da sexta semana? Para resolver um problema devemos elencar os dados e nomear os termos: a1=50 a2=100 a3= 200 Bom para termos uma sequência, qual a condição para que ela seja uma PG? A partir do segundo é igual ao produto do anterior por uma constante q a partir do segundo é igual ao produto do anterior por uma constante q para encontrar a razão q podemos seguir fazer o seguinte procedimento dividindo o termo atual pelo anterior. a2/a1=2, ou seja, q=2 Agora faremos as relações das componentes e partindo dessa relação podemos deduzir a fórmula geral da P.G.

4 Para assim acharmos o a7 que é o número de contaminados no fim da 6 semana. Onde: a1 = 50 a2 = 100 a3 = 200 q = 100/50 = 2 a7 =? an = a1. q (n-1) a7 = (7-1) a7 = a7 = a7 = 3200 Interpolação de meios geométricos Para interpolar meios geométricos, também é necessário conhecer o valor da razão da PG. Exemplo 1. Uma PG é formada por 6 termos, onde a 1 = 4 e a 6 = 972. Determine os meios geométricos existentes entre a 1 e a 6. Solução: Para interpolar os meios geométricos entre 4 e 972 precisamos determinar o valor da razão da PG. Para isso, vamos utilizar a fórmula do termo geral. Sabemos que a razão da PG é 3 e que cada termo, a partir do segundo, é obtido fazendo o produto entre o termo anterior e a razão. Assim, teremos:

5 Soma de P.G. A soma dos temos dessa PG será = 93. Fazer essa soma é fácil, pois ela possui apenas cinco elementos, caso seja necessário somar os termos de uma PG com mais de dez elementos, o que é mais complicado, é preciso utilizar uma fórmula. Veja a sua demonstração: Dada uma PG finita qualquer com n elemento, ou seja, com a quantidade de elementos indefinida. PG finita (a1, a2, a3,..., an). A soma desses n elementos será feita da seguinte forma: Sn = a1 + a2 + a an Sabendo que a2 = a1. q; a3 = a1. q 2 ; an = a1. q n 1 Podemos dizer que a soma dessa PG será: Sn = a1 + a1. q + a1. q 2 + a1. q a1. q n 2 + a1. q n 1. Como se trata de uma equação, se multiplicar um membro é preciso multiplicar o outro, por isso é necessário multiplicar os dois termos da última equação por q: q. Sn = (a1 + a1. q + a1. q 2 + a1. q a1. q n 1 ) q. Sn = a1. q + a1. q 2 + a1. q 3 + a1. q a1. q n 1 + a1. q n Fazendo a subtração: Colocando em evidência os termos semelhantes, temos: q. Sn q. Sn = a1. q n a1 Sn (q - 1) = a1 (q n 1)

6 Isolando o termo Sn (soma dos elementos), iremos obter a seguinte fórmula: Sn = a1 (q n 1) q - 1 Portanto, a fórmula para obter a soma dos n elementos de uma PG finita é: Sn = a1 (q n 1) q 1 AVALIAÇÃO Critérios Compreensão dos assuntos abordados, interesse e participação nas atividades propostas, assiduidade e resolução da lista de exercícios, podendo estipular valores. Instrumentos Aplicação de um trabalho e aplicação de prova. Referências SILVA, Marcos Noé Pedro da. EXERCÍCIOS SOBRE PROGRESSÃO GEOMÉTRICA. Disponível em < > Acesso em 18 de Novembro de 2017 MIRANDA, Danielle de. Soma dos termos de uma P.G finita. Disponível em > Acesso em 18 de Novembro de RIGONATTO, Marcelo. Interpolação de meios geométricos"; Brasil Escola. Disponível em < Acesso em 18 de novembro de 2017.