Sistemas Numéricos: Evolução. Inscrição numa fonte São Pedro das Águias (velhas), Granjinha. Escrita egípcia. Papiro Rhind, Museu de Londres.

Transcrição

1 Sistemas Numéricos: Evolução Inscrição numa fonte São Pedro das Águias (velhas), Granjinha Escrita egípcia Papiro Rhind, Museu de Londres. Contando nas cavernas,. Foto: Alek Baptista/MUHPAN.

2 Introdução: origem dos números 1. Como surgiram os números? 2. Quais as eram as primeiras formas de contagem? 3. Como é que os números foram criados, ou, será que eles sempre existiram? l Pintura Rupestre 2

3 Introdução: origem dos números Os homens primitivos não tinham necessidade de contar, pois o que necessitavam para a sua sobrevivência era retirado da própria natureza - povos recolectores, porque viviam da pesca, caça e recolha de frutos e raízes... l 3

4 Introdução: origem dos números A necessidade de contar começou com o desenvolvimento das actividades humanas, quando deixou de ser nómada: E sentiu necessidade de se fixar em determinada área geográfica fosse pela abundância de recursos ou por uma questão de melhor l sobreviver aos sucessivos ataques de tribos inimigas... 4

5 Introdução: origem dos números Ao tornar-se sedentário viu-se na necessidade de efectuar trocas de produtos. Teve de encontrar uma forma de contar os objectos que iria trocar por outros Foi nessa altura que a humanidade começou a construir o conceito de número matemático. l 5

6 Introdução: origem dos números As primeiras formas de agricultura de que se tem notícia, foram criadas há cerca de dez mil anos na região que hoje é denominada Oriente Médio. A agricultura passou então a exigir o conhecimento do tempo, das estações do ano l e das fases da Lua e assim começaram a surgir as primeiras formas de calendário. Calendário Lunar 6

7 Sistemas numéricos Diversas civilizações da Antiguidade desenvolveram os seus próprios sistemas de numeração. São inúmeros os vestígios deixados ao longo dos tempos, por exemplo os sistemas l de numeração dos Egípcios, Gregos, Romanos, Chineses... Alguns destes sistemas perderam completamente a sua utilidade, outros, como é o caso da numeração romana continuam a ser utilizados, embora com menor frequência. Mesopotâmia, a escrita cuneiforme registava os números como conjuntos de incisões em placas de argila: triângulos cursivos representando as dezenas e traços em forma de Y para as unidades 7

8 Sistemas numéricos: vestígios da Antiguidade Diversas civilizações da Antiguidade, além da egípcia, desenvolveram seus próprios sistemas de numeração. Muitos são os vestígios deixados pelos povos primitivos, por ex.: desenhados (pinturas rupestres, papiros), traçados em barro, esculpidos em madeira, pedra ou metal (moedas...). Moeda Romana com 1700 anos Moeda Chinesa, época Medieval Época Ptolomaica, esfinge de Alexandre O Grande, a.c - Egipto Calendário Maia Tablete mesopotâmico. Foto: The British Museum. 8

9 Sistemas numéricos: vestígios da Antiguidade Assim, por exemplo, na contagem do tempo, agrupamos segundo a base sexagesimal (60 segundos compõem 1 minuto; e 60 minutos compõem 1 hora) e isso é consequência da numeração desenvolvida na Mesopotâmia, há mais de 4000 anos. Para saber mais: 9

10 Uso de sistemas numéricos da Antiguidade, na actualidade Outros vestígios de sistemas numéricos antigos - por. ex.: a numeração Romana - podem ser observados nos mostradores de relógios, na indicação de datas, na numeração de capítulos de livros ou mesmo para diferenciar pessoas famosas cujo nome é igual (reis, papas...). Papa Benedicto XV Papa Benedicto XVI Relógio de fachada. Pormeno: IIII em vez do convencional IV. Relógio Big Ben, Palácio de Westminster, Londres, que tem a numeração romana em minúsculas, script gótico. Com o 4 convencional: iv. 10

11 Uso de sistemas numéricos da Antiguidade, na actualidade 11

12 Sítio arqueológico, cidade histórica da Babilónia Para saber mais: Sistema numérico Babilónico O Império Babilónico durou de 1950 a.c. a1200 a.c.). Habitaram na Ásia e são um dos primeiros povos da Antiguidade a utilizar símbolos numéricos. O seu sistema numérico baseava-se num sistema sexagesimal. Os números eram representados por caracteres cuneiformes, i.e., em forma de cunha, que eram gravados em placas de argila que depois eram cozidas, podendo ser reaproveitadas caso os dados nelas contidos não fossem de extrema importância. A escrita cuneiforme era de difícil execução e interpretação, já que possuía mais de 2000 sinais. 12

13 Sistema numérico Babilónico Os babilónios usavam seu conhecimento de aritmética e álgebra simples para expressar comprimentos e pesos, trocar moedas e mercadorias, calcular juros simples e compostos, impostos, e a proporção de uma colheita que deveria ir para o fazendeiro, para a igreja e para o Estado. 13

14 Sistema numérico Babilónico Também usavam a matemática na divisão de campos e de heranças, e em projectos de canais, represas e sistemas de irrigação; Pensa-se que os problemas económicos que enfrentaram foram o estímulo para desenvolvimento da matemática. (Kine, 1990) Numbers on a land purchased, 2400 a.c., Babilónia 14

15 Sistema numérico Babilónico A grande utilidade desta escrita foi ao nível da: contabilidade e administração, pois facilitava o registo de bens, marcas de propriedade, cálculos e transacções comerciais. Os símbolos numéricos utilizados eram os que se podem observar na figura: 15

16 Sistema numérico Babilónico Tinham um símbolo diferente para a Unidade; Dezena; Mas não tinham um símbolo para o zero, assim, por exemplo: O número 60 escrevia-se exactamente como o 1, o que para nós é muito confuso. Por exemplo, 61 escreve-se como 2. Detalhe, portal Ishtar 16

17 Sistema numérico Babilónico Pensa-se que os Babilónios sabiam distinguir o número a que se referiam de acordo com o contexto do problema. Escritos Babilónicos provam que esta civilização já possuía conhecimentos matemáticos avançados. Neles aparecem uma série de notações que se inserem num sistema de numeração sexagesimal. 17

18 Sistema numérico Babilónico O uso do número 60 como base para contar e dos seus divisores como a dúzia: 12 = 60/5 era utilizado pelos babilónios há milhares de anos nos seus cálculos quotidianos e também pelos sacerdotes nos seus cálculos astronómicos e de quem dependia a contagem do tempo. Mais um exemplo: 18

19 Símbolos Numéricos Babilónicos (1-59) 19

20 Símbolos Numéricos Babilónicos (1-1000) 20

21 Sistema numérico Babilónico: Exemplos Por exemplo, 1,45,29,36 representam números do sistema sexagesimal. 1x60! + 45x60" + 29x = 1 x x x = A notação decimal é:

22 Sistema numérico Babilónico: Exemplos Exemplo: 1,45,29,36 em numerais Babilónicos Uma vez que não tinham o número zero, os babilónios, em sua substituição, utilizavam um espaço em branco para marcar a não existência de um dígito num determinado lugar do montante. Exemplo: 4,0,8 em numerais da Babilónia 22

23 Sistema numérico Babilónico: Exemplos Outro exemplo: 23

24 Sistema numérico Babilónico: Exemplos Um exemplo muito simples: 24

25 Sistema numérico Babilónico: Regras Para saber mais: 25

26 Tabela de multiplicação babilónica do 9 Para Saber mais: 26

27 Cálculo do quadrado de números babilónicos > 59 e do cubo de números > 32 Entre algumas das tábuas encontradas perto do rio Eufrades, datadas de cerca de 2000 a.c., durante o período Hamurábico. Encontram-se as que apresentavam o cálculo do quadrado de números maiores que 59. E o Cubo de números maiores que = 1,4 [(1 x 60 1 ) + (4 x 60 0 )] até chegar a 59 2 = 58,1 [(58 x 60 1 ) + (1 x 60 0 )] (ver imagem). The famous 'root (2)' tablet from the Yale Babylonian Collection. Para Saber mais: nt.htm 27

28 Sistema numérico Maia Perdidas há séculos nas florestas tropicais e matas da América Central, algumas dezenas de cidades mortas ilustram um dos mais misteriosos episódios da História. Os historiadores e arqueólogos designaram-nas de Civilização Maia. 28

29 Sistema numérico Maia Os Maias tinham como base não a dezena, mas a vintena e as potências de vinte. Ex.: 365 representado numa base de 10 Ao usar a vintena a cultura Maia conseguiu representar por meio de símbolos figurativos realidades numéricas, foram eles quem escreveram as datas mais antigas que se registam na história da humanidade. Números Maia de 0 a 10 29

30 Sistema numérico Maia Criaram um sistema baseado na posição dos símbolos, que incluía a utilização do zero 0 para indicar que não existem unidades deste valor, um símbolo ovalado que aparece em numerosos vestígios ou códices maias bastante semelhante ao símbolo zero, da notação científica:!. 30

31 Sistema numérico Maia A razão, desta contagem, é devida ao hábito que os seus ancestrais tinham de contar não apenas com os dez dedos das mãos, e com os dez dedos dos pés. A escrita é orientada na horizontal até ao número

32 Sistema numérico Maia A partir do 20 os números eram representados considerando a posição do algarismo, parecido com o sistema de numeração que utilizamos, com uma diferença importante, eram escritos na vertical, o número 20 escreve-se: (Imenes, 2002) 32

33 Sistema numérico Maia: Exemplos Se tivéssemos mais posições verticais continuaríamos a multiplicar da mesma forma, ficamos com: Outro exemplo: 33

34 Sistema numérico Maia: Exercício E os números seguintes consegue dizer quais são? (Imenes, 2002) Os dois pontos, podiam ser o 2... mas não é! Repare que na figura com números de 1 a 19 o dois é representado com dois pontos lado a lado. Quais são então estes números? 34

35 Sistema numérico Maia: Exemplos Trata-se dos números 21, 25, 28 e 30: (Imenes, 2002) (1+1x20) (5+1x20) (8+1x20) (5+5+1x20) 35

36 Sistema numérico Maia (para a 3ª casa: "360) Os Maias tinham um vasto conhecimento de astronomia e, para facilitar cálculos nesta área, fizeram uma mudança a partir da terceira casa do seu sistema numérico, i.,e. do número 360 em diante os agrupamentos deixam de ser de vinte em vinte. A terceira casa passa a ser o produto de 18 por 20 (18x20) que é igual a 360, Ao invés de 20 x

37 Sistema numérico Maia (para a 3ª casa: "360) Isto porque: O ano Maia estava dividido em 18 meses com 20 dias cada. Então, não consideravam as posições 20 0, 20 1, 20 2,... mas sim 20 0, 20 1, e a partir daí salta para: 20 1 #18 (=360), 20 2 #18 (=7 200), 20 3 #18 (= ) Os numerais eram escritos verticalmente e nos lugares "vazios" punham o sinal ovalado: 37

38 Sistema numérico Maia (para a 3ª casa: "360) Se comparado com o nosso sistema, que é decimal, o número 482 # 4 x 10" + 8 x 10$ + 2 x 10 0 = 482. Para os Maias a base era 20, logo, multiplica-se por uma potência de

39 Curiosidades Matemáticas: Os 24 factores de x 360 = x 360 = x 120 = x 90 = x 72 = x 60 = x 45 = x 40 = x 36 = x 30 = x 24 = x 20 = 360 DJ Jeffery, ULV, 2003 (Para saber mais: ) 39

40 Sistema numérico Maia: Exercício Vejamos o exemplo de um número de três dígitos. Vamos partir para a terceira ordem da numeração Maia. Dê um palpite: como você acha que os maias escreviam 467? Não sabe? 40

41 Sistema numérico Maia: Exercício Então vamos juntos: Na terceira casa, acima das duas que já vimos até aqui, os Maias escreviam os números que eram produto da multiplicação de 20 por 20. Dessa forma, para representar o número 467, por exemplo, Na casa de cima (1ª casa) colocavam um ponto, que significava 1x20x20, ou seja, 400. Na casa do meio (2ª casa), desenhavam três pontos, o que significava 3x20, ou seja, 60. E, por fim, na última casa (3ª casa), desenhavam uma barra (5) e dois pontos (2), o que representava sete (7). Veja na figura a seguir: 41

42 Sistema numérico Maia: Exercício E este número, qual é?

43 Sistema numérico Maia: Regra geral Sabendo que os números se representam da seguinte forma: E que a regra é: Torna-se fácil representar o número abaixo: 43

44 Calendário Maia A mudança de contagem a partir da 3ª casa surgiu, provavelmente, porque os sacerdotes astrónomos quiseram que esta tivesse um número aproximado ao número de dias do Ano Maia. O uso da potência de base 20 corresponde ao factor multiplicativo de cada casa. Calendário Maia Para saber mais: 09/2012-verdade-sobre-as-profecias-e-o.html 44

45 Espiral da Numeração Maia 45

46 Sistema numérico Maia No desenho ao lado: A segunda coluna da esquerda, de cima para baixo, contém os números 9,9,16,0,0, que indicam 9 à x X = Na terceira coluna estão os números 9,9,9,16,0 representando Imagem original de cor preta e vermelha (Morley, 1915, p. 266) 46

47 Sistema numérico Maia: Símbolos (1-7200) 47

48 Sistema numérico Maia: Exemplos 48

49 Sistema numérico Maia: Exemplos 49

50 Sistema numérico Maia: Exemplos Número representado numa base de = 12x x x10 0 Para saber mais: 50

51 Sistema numérico Chinês: Primitivo Em 1899 foi feita a maior descoberta arqueológica na aldeia de Xiao Dun, no distrito da província de An-Yang. Descobriram-se centenas de ossos e carapaças de tartaruga que tinham inscrições em caracteres chineses antigos. A localidade tinha sido a capital dos reis da última dinastia Shang (também conhecida como dinastia Yin), do século XIV a.c.. Os últimos doze reis governaram ali até cerca de 1045 a.c. e os ossos de tartaruga eram utilizados em rituais de cerimónias religiosas. Eram colocadas questões num dos lados da carapaça da tartaruga e no lado da carapaça eram então sujeitos ao calor do fogo e as rachas que surgiam eram interpretadas como as respostas, dadas pelos antepassados, às questões colocadas. (Para saber mais: 51

52 Sistema numérico Chinês: Primitivo A importância desta descoberta, foi permitir um maior conhecimento sobre o sistema numérico da antiga China. Muitas das inscrições eram numéricas e registavam o número de homens que perderam a vida na guerra, que foram feitos prisioneiros, o número de sacrifícios feitos, o número de animais mortos numa caçada, etc. O sistema numérico utilizado baseava-se no sistema decimal e permitia a adição e a multiplicação. Nesta imagem podem ver-se os símbolos utilizados naquela época. 52

53 Sistema numérico Chinês: Primitivo -Exemplos O número 4359 é a representação gráfica da natureza aditiva, senão vejase, utiliza o símbolo que equivale a 4000; Adiciona-lhe Símbolo que equivale a 300; Adiciona-lhe Símbolo que equivale a 50; Adiciona-lhe Símbolo que equivale a 9; Mas por não contemplar o zero veja como se representa o número

54 Sistema numérico Chinês: Primitivo - Evolução Tal como já foi afirmado, acredita-se que este sistema de numérico tinha uma segunda finalidade, talvez mais profunda, ligada à religião e profecias muito utilizada pelos sacerdotes da época. Em finais do séc. IV a.c. surge uma segunda forma de escrita que visa colmatar algumas falhas em termos numéricos, mas também esta não contemplava o zero. 54

55 Sistema numérico Chinês: Primitivo - Evolução Os Chineses Primitivos usavam numerais que escreviam em folhas de bambu com tinta preta. Como se pode observar na imagem abaixo, a unidade é representada por um traço que tanto pode estar orientado na horizontal como na vertical o que leva à confusão entre o 3 e o 21, ou 12 ou mesmo 111. Numeração chinesa, séc. IV a.c. Representação do número 1234 Representação do número Representação do número Saiba mais em : 55

56 Sistema numérico Japonês/Chinês Entre os sistemas de numeração mais antigos encontra-se o utilizado pelos chineses e adoptado mais tarde pelos japoneses. No que diz respeito às matemáticas chinesas, seria errado considerá-las um fenómeno isolado. 56

57 Sistema numérico Japonês/Chinês Existiram sempre, pelo menos desde a Dinastia Han (contemporâneo do Império Romano), relações comerciais e culturais consideráveis com outras regiões da Ásia e mesmo com a Europa. A ciência Indiana e, mais tarde, a ciência árabe tiveram influência sobre a China e, por outro lado, a ciência chinesa deixou a sua marca na ciência de outras sociedades. Considera-se, por exemplo, que o sistema decimal e os números negativos, que podem ter vindo da China para a Índia. 57

58 Sistema numérico Japonês/Chinês Actualmente, o sistema decimal dos Chineses apresenta treze sinais fundamentais, respectivamente associados às nove unidades e às quatro primeiras potências de dez (10, 100, 1000, 10000). Sinais numéricos cujo traçado mais simples e mais comummente empregue é o seguinte: 58

59 Sistema numérico Japonês/Chinês: Exemplos Por exemplo: Mais exemplos: x 100 4x 10 7 Isto é,

60 Sistema numérico Japonês/Chinês: Exemplos 60

61 Sistema numérico Japonês/Chinês: Exemplos 61

62 Sistema numérico Japonês/Chinês: Actual 62

63 Sistema numérico Japonês/Chinês: Actual 63

64 Sistema numérico Japonês/Chinês: Actual 64

65 Sistema numérico Egípcio Os Egípcios inventaram uma escrita e um sistema de numeração escrita. Essa escrita foi autóctone e desprovida de qualquer influência estrangeira. "Não apenas os sinais hieroglíficos que ela utiliza são todos tirados da fauna e da flora do Nilo ; Tratava-se de um sistema numérico décimal. 65

66 Sistema numérico Egípcio: Símbolos numéricos 66

67 Sistema numérico Egípcio 67

68 Sistema numérico Egípcio A origem do algarismo 1 foi "natural": a barra é o sinal gráfico mais elementar que o ser humano possa imaginar para a representação da unidade. A dezena constituiu o desenho de um cordão que, outrora, deve ter servido para unir os bastonetes num pacote de dez unidades. 68

69 Sistema numérico Egípcio A numeração escrita egípcia foi fundada numa base rigorosamente decimal. 69

70 Sistema numérico Egípcio Outra designação para cada um dos símbolos 70

71 Sistema numérico Egípcio Mais tarde, os egípcios inventaram um sistema de numerais, sem usar hieróglifos, que registavam da direita para a esquerda. 71

72 Sistema numérico Egípcio: Potências 72

73 Sistema numérico Egípcio: Exemplos 73

74 Técnica de cálculo dos Egípcios Com a ajuda deste sistema de numeração, os egípcios conseguiam efectuar todos os cálculos que envolviam números inteiros. Para isso, empregavam uma técnica de cálculo muito especial: todas as operações matemáticas eram efectuadas através de uma adição. Por exemplo, a multiplicação 13 x 9 indicava que o 9 deveria ser adicionado treze vezes. 13 * 9 =

75 Técnica de cálculo dos Egípcios A tabela abaixo ajuda a compreender como os egípcios concluíam a multiplicação: Eles procuravam na tabela um total de 13 parcelas; era simplesmente a soma das três colunas destacadas: = 13 O resultado da multiplicação 13 * 9 era a soma dos resultados desta três colunas: = 117 Os egípcios eram realmente muito habilidosos e criativos nos cálculos com números inteiros. Mas, em muitos problemas práticos, eles sentiam necessidades de expressar um pedaço de alguma coisa através de um número. E para isso os números inteiros não serviam. 75

76 Sistema numérico Egípcio: Fracções 76

77 Sistema numérico Hindu O desenvolvimento do sistema numérico actual começou no vale Hindu. Encontram-se testemunhos com 2200 anos gravados em pilares. Existiam os nove símbolos diferentes, que não se baseavam em letras de nenhum alfabeto nem em pictogramas. Tal como os restantes dígitos, o zero também foi evoluindo. No início era apenas um ponto que representava uma coluna vazia num ábaco. 77

78 Sistema numérico Hindu Actualmente aceitamos naturalmente os números que conhecemos. No entanto, nem sempre foi assim. Um milhão, um bilião, um trilião... Sabemos que é possível contar para além de um milhão e que podemos exprimir qualquer número que queiramos. Contudo, isto desconcertou os eruditos durante milhares de anos. A chave consiste em usar o símbolo para o zero, 0, inventado pelos hindus na Índia, provavelmente, entre 400 e 800 d.c.. 78

79 Sistema numérico Hindu: O Ábaco Foi a partir do ábaco que os hindus desenvolveram o sistema posicional de numeração. $%$& ' abax, que significa mesa de cálculo, pensa-se que a sua origem provável foi na Mesopotâmia, há mais de anos. Colunas imaginárias baseadas em potências de dez representavam as colunas do ábaco O valor posicional permite que qualquer dos dígitos represente um valor diferente. O algarismo 5 pode representar cinco unidades; 50 unidades (cinco dezenas), 500 unidades (cinco centenas), e assim sucessivamente. 79

80 Sistema numérico Hindu: O Ábaco O ábaco mais antigo e sofisticado, foi usado por mercadores babilónios. Consistia numa simples tábua onde pequenas pedras se dispunham em colunas paralelas para representar os números. Ex.: Representando o número

81 Sistema numérico Hindu: O Ábaco O ábaco romano, mais sofisticado, era formado por uma base em metal, com ranhuras paralelas nas metades superior e inferior e pequenas bolas: uma em cada um das ranhuras superiores e quatro em cada uma das ranhuras inferiores. Cada bola numa ranhura superior valia 5 e cada bola numa ranhura inferior valia 1. 81

82 Numeração Hindu - O Ábaco A partir da posição inicial (a), o registo dos números era feito deslocando-se bolas para a zona central do ábaco (b) neste exemplo está representado o número

83 O Ábaco: alguns exemplares Ábaco Chinês - Suan Pan Ábaco chinês 83

84 Evolução do Sistema numérico Hindu/Árabe Foram os Hindus (do Norte da índia) que começaram a usar os símbolos numéricos que deram origem aos numerais que utilizamos, actualmente. 84

85 Evolução do Sistema numérico Hindu/Árabe Numerais Brahami (fila inferior), Índia, séc. I a.c. 85

86 Sistema numérico Hindu: Nome dos algarismos Cada algarismo tinha um nome: Quando foi criada pelos hindus a base 10, cada dezena, cada centena e cada milhar, recebeu um nome individual: 86

87 Sistema numérico Hindu: Evolução das técnicas de Cálculo Com o desenvolvimento dos nove dígitos, do zero e do valor posicional surgiram os cálculos com os símbolos sem o auxílio do ábaco. Nas suas relações comerciais com os árabes, os Hindus terão usado esses sinais numéricos, que os árabes adoptaram e espalharam pelo mundo, chegando à Europa. Contudo, no início, este sistema ainda não era perfeito. Efectuavam cálculos facilmente, mas não tinham símbolo para designar o zero. Por exemplo, o número 507 era representado por 5 7, ficando um espaço entre o 5 e o 7 que correspondia ao nada das dezenas. 87

88 Expansão do Sistema numérico Hindu O matemático árabe Musa Al-Khwarizmi estudou o sistema hindu e em 825 d.c. explicou-o num livro intitulado Um livro sobre adição e subtracção segundo o método hindu (tradução livre). Contudo, este conhecimento adquirido pelos Árabes apenas chegou à Europa ocidental trezentos anos mais tarde. Os primeiros símbolos dos números indianos, descobertos numa gruta em Nasik, perto de Bombaim, na Índia, têm, pelo menos, 1800 anos. Em baixo observa-se o resultado da evolução desses números na Europa em 1300 d.c.. 88

89 Sistema numérico Grego Os números que usamos no nosso sistema chegaram à Europa ocidental através da civilização árabe. Inicialmente os Árabes escreviam os números palavra a palavra, mesmo nos cálculos complexos. Alguns matemáticos usavam um antigo método grego de representação de números com letras, que puseram de lado quando descobriram o sistema hindu de numeração. Panteão, Templo dedicado à deusa Atenas, Atenas - Grécia 89

90 Sistema numérico Grego: Símbolos numéricos Como se pode observar das figuras, o princípio de contagem é muito similar ao utilizado pelo sistema numérico Romano. Os número conseguem-se por adição atribuindo-se um sinal gráfico a cada um deles. Sendo a sequência a seguinte: a sequência é a mesma: 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000, 5000, 10000,

91 Sistema numérico Grego: Exemplo 91

92 Sistema numérico Grego: Tabuada This is a multiplication table dating from ca.100 AD. The ancient Greek numbering system was based on their alphabet of 24 letters plus three other symbols borrowed from the alphabets of trading partners. The numbers 1 through 10 are written across the top and down the left column in the same pattern we often see today. They continued using additional letters for multiples of 10 and 100. See if you can find these examples in the table. Ancient greek numbers, 100 d.c. (Para saber mais: 92

93 Sistema numérico Grego: Tabuada de Pitágoras Trata-se da tabuada de multiplicação que permanece actual. Pitágoras, filósofo e matemático grego, século VI antes de Cristo,inventou esta tabela, na qual é possível efetuar todas as operações de multiplicação existentes na velha tabuada. Para saber mais: 93

94 Sistema numérico Grego: Fibonacci O italiano Fibonacci foi o responsável pela introdução do sistema de numeração hindu na Europa. Viveu entre 1170 e Na sua juventude viajou bastante pela África, Médio Oriente e, provavelmente, pela Índia. Anos mais tarde, Fibonacci participou em vários concursos de matemática e tornou-se famoso como matemático. Em 1202 Fibonacci publicou o livro Liber abaci. Iniciou o seu livro demonstrando como "com os nove símbolos hindus e com o símbolo árabe 0 se escreve qualquer número" e a seguir explicou como podem ser usados na aritmética. 94

95 Sistema numérico Grego: Fibonacci Sequência de Fibonaci Qual é o número? Fibonacci introduziu na Europa uma sequência de números que viria a ter seu nome. Estes são alguns dos primeiros números de Fibonacci. Consegue descobrir a regra de formação desta sequência? 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,... 95

96 Sistema numérico Romano Os Romanos foram um povo que, em poucos séculos, atingiu um elevado nível técnico, que foi desenvolvendo porque ao conquistar territórios aprendia com os colonizados. Apesar disso, ao nível da numeração e, durante toda a sua existência, manteve um sistema de contagem que se revelou profundamente complicado e pouco operacional, o que denota um certo arcaísmo ao nível do pensamento. 96

97 Sistema numérico Romano-Romano Mais antigo documento Romano que exibe a representação da escrita de número muito grande. (Sistema Romano- Romano) Para saber mais: Algarismo (((I))) representava Sofrendo alterações Sistema Romano Moderno C =

98 Sistema numérico Romano: Evolução Tanto quanto se sabe, este era o único sistema de escrita numérica usado na antiga Roma e Europa, até por volta de 900 d.c., altura em que a numeração árabe, originada pelos Hindus, começou a ser usada. Pensa-se que isso se deve ao facto de os Árabes terem alargado as suas Rotas Comerciais e posteriormente expandido o seu domínio territorial. Para saber mais: s.html#ancient Para saber mais: 98

99 Sistema numérico Romano: Primórdios Apesar destes numerais serem suficientes para escrever qualquer número sem confusões, acontecia haver números com um elevado uso de símbolos gráficos A título de exemplo apresenta-se o número: 5878 MMMMMDCCCLXXVIII. As multiplicações e divisões eram praticamente impossíveis 99

100 Sistema numérico Romano Como a maioria dos sistemas da Antiguidade, a numeração Romana foi regida, sobretudo, pelo princípio da adição dos seus algarismos & % $ # " D! eram independentes uns dos outros. A sua justaposição implicava geralmente na soma dos valores correspondentes: CLXXXVII = = 187 MDCXLIX = (50-10) + (10-1) + 1 =

101 Sistema numérico Romano: Regras Sistema numérico Romano, tornou-se bastante mais complexo quando se introduziram as regras que ainda hoje vigoram: 1. Qualquer símbolo numérico apenas se pode repetir num máximo de três vezes. 2. Para obter um algarismo maior, deve-se adicionar à direita, os símbolo numérico respectivo. Por ex.: 6 VI 7 VII 8 VIII #X 600 DC 1100 MC 3. Pelo que tem de se subtrair (colocado à esquerda) o valor numérico conveniente para perfazer o total pretendido. Por ex.: IV IX XL XC CD CM 101

102 Regras: Numeração Romana Todo símbolo numérico: com um traço horizontal sobre ele representa o milhar e o símbolo numérico que apresenta dois traços sobre ele representa o milhão. 102

103 Sistema numérico Romano: Símbolos Os romanos usaram o alfabeto para representar números. Ainda hoje a numeração romana é usada & 0 -, % + * ) ( $ /. $- $, $ % $+ $* $) $( $$ $$$ $# # #$ #$$ #$$$ $" " '! 103

104 Numeração Romana: Exemplos Exemplos:!!"### = 28!!!#! = 39 $$$!$"## = 397 %&$$$!"###'= 1818 %%!'=

105 Numeração Romana: Cálculos Efectuar cálculos com numeração romana, com múltiplos dígitos, é uma árdua tarefa, extremamente trabalhosa. Apesar disso o sistema de numeração romana era o sistema predominante na Itália até o século XVIII e em outros países da Europa Ocidental ele persistiu até o século XVI." 105

106 Numeração Romana: Cálculos Os algarismos Romanos não são sinais que sirvam para efectuar operações aritméticas. São abreviaturas destinadas a inscrever e reter os números. Assim, e tal como já foi referido os Romanos utilizavam os Ábacos para efectuar os seus cálculos. Introduzindo algumas alterações no formato inicial, nomeadamente dotaram o Ábaco de um pé de suporte, tornando-o numa mesa de cálculo ainda mais prática de utilizar

107 Numeração Árabe versus Babilónica 107

108 Evolução sistemas de numeração 108

109 Sistema Numérico Hindu/Árabe: Evolução Na primeira linha da imagem, numerais de há 1000 anos. Na segunda, há 800 anos. Na terceira, há 600 anos. Na última, numeração actual. 109

110 Evolução: Sistema de numeração Hindu/Árabe 110

111 Sistemas numéricos: Comparação (séc. VI- XV) 111

112 Evolução da Numeração Árabe: Escrita cursiva Na seguinte imagem podemos observar a escrita cursiva dos algarismos de 1 a 4 e a sua respectiva explicação: 112

113 Evolução da Numeração Árabe: Escrita cursiva Na imagem abaixo apresenta-se o quadro de escrita dos algarismos árabes de 1 a 9, incluindo o 0, onde se pode observar a contagem dos respectivos ângulos: 113

114 Numeração Árabe: Representação gráfica/fonética 114

115 Numeração Árabe: Representação Polinomial 115

116 Referências bibliográficas Badiou, A. (2008). Number and Numbers. Cambridge: Polity Press. Boye, C. B. (1915). An Introduction on the Study of Maya Hyeroglyphics. Washington: Carnegie Institution. Crato, N. (2008). A Matemática das Coisas. Lisboa: Gradiva. Imenes, L. M. P. (2002). A numeração indo-arábica. Colecção Vivendo a matemática. São Paulo: Scipione. Jesus Caraça, B. (1984). Conceitos Fundamentais da Matemática. Lisboa: Livraria Sá da Costa Editora. Kline, M. (1990). Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. Vol. 1. New York: Oxford University Press. Morley, S. G. (1915). História da Matemática.Ed. Edgard Blücher Ltda., pág Vygodsky, M. (1972). Mathematical Handbook: Elementary Mathematics. Moscow: MIR Publishers. Wikipédia (2010). Maias. URL: 116