ELEMENTOS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

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1 ELEMENTOS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS AULA 05: MODELAGEM E PROBLEMAS DIVERSOS TÓPICO 01: MODELAGEM No tópico 03 da aula 01 vimos alguns exemplos de equações diferenciais que serviam de modelo matemático para alguns fenômenos físicos. Nesta aula, vamos aborda de forma mais sistemática os problemas de modelagem. Inicialmente, observamos que a importância de um bom modelo matemático para um dado problema reside no fato desse modelo, embora seja apenas uma aproximação da realidade, nos conduz a equações envolvendo os parâmetros e as variáveis mais significativas do problema. As equações resultantes nos permitem (ou pelo menos deveriam permites) fazer previsões ou tirar conclusões sobre o comportamento dos fenômenos estudados, sem que seja necessária a experimentação ou observação. Um modelo também pode indicar elementos com os quais possamos prever resultado de experiências. Porém, é claro que um modelo será tanto mais confiável quanto for a proximidade de suas previsões com os resultados de observações ou de experiências efetivas. Na construção de um modelo para um dado fenômeno devemos levar em consideração principalmente: 1. Identificação dos princípios físicos que governam o fenômeno e a tradução matemática desses princípios. Por exemplo, se o fenômeno estudado trata-se do processo de transferência de calor entre um objeto e o ambiente que o rodeia, é preciso que se saiba que, em condições razoáveis, essa transferência de calor se dá a uma taxa proporcional à diferença de temperatura entre o objeto e o ambiente (essa é a chamada lei do resfriamento de Newton). Nesse caso a tradução matemática seria do tipo: onde são funções que descrevem as temperaturas do ambiente (que se pode supor conhecida) e do objeto, respectivamente. Além disso, k indica uma constante de proporcionalidade. 2. Análise do Modelo: Uma vez que o fenômeno estudado esteja traduzido matematicamente, temos agora que estudar o modelo, o que consiste em resolver as equações ou pelo menos inferir comportamentos, propriedades que devem ser satisfeitos por essas soluções. Note-se que se o fenômeno for muito complexo, envolver várias variáveis com comportamento (por exemplo) não linear, o modelo matemático pode ser muito complicado. Nesses casos, temos a opção de introduzir simplificações, desde que estas não sejam inconsistentes com o que razoável esperar. Por exemplo, se soubermos que um dado coeficiente varia lentamente, seria razoável construir um modelo considerando esse coeficiente constante. 3. Confrontar os resultados com àqueles obtidos em experiências: Uma vez encontradas soluções para o modelo matemático, ou pelo menos

2 informações a respeito dessas soluções, devemos interpretar essas informações no contexto do problema inicial e comparar com resultados de experiências. Vejamos alguns exemplos: EXERCITANDO PROBLEMA RESOLVIDO 01 MISTURAS No instante t = 0, um tanque contém quilogramas de sal dissolvidos em litros de água. Suponha que uma torneira despeja no tanque uma mistura de água e sal a uma concentração de quilogramas por litro e que a vazão da torneira é de k litros por minuto. Admita ainda que por uma outra torneira esteja escoando a mistura resultante no tanque também a uma taxa de k litros por minuto. Escreva o problema de valor inicial que descreve esse fenômeno e determine a quantidade de sal no tanque em um instante arbitrário e faça uma previsão a respeito da quantidade de sal que restará no tanque após um período de tempo muito longo. Solução PROBLEMA RESOLVIDO 02 VIBRAÇÕES MECÂNICAS E ELÁSTICAS. Considere uma massa m pendurada em uma das extremidades de uma mola vertical (presa ao teto). Sabe-se que o comprimento original da mola é cm e que por conta do peso da massa m a mola se estica passando a ter comprimento ' cm e que o sistema está em repouso. Suponha que a massa é puxada para baixo sofrendo uma distensão até atingir comprimento cm e depois é solta no instante t = 0. Denote por a posição da mola, medida positivamente para baixo a partir do ponto de equilíbrio do sistema. Admitindo que no meio em que o sistema se encontra a resistência

3 ao movimento é proporcional à velocidade da massa, formule um modelo matemático para esse problema e use-o para estudar o movimento da massa. Solução

4 OLHANDO DE PERTO Até agora, cumprimos as duas primeiras etapas no processo de modelagem. A terceira etapa consistiria em estudar a função acima para fazer previsões a respeito dos fenômenos que ela descreve. O leitor está convidado a cumprir essa terceira etapa, nos pararemos aqui. EXERCITANDO EXERCÍCIO PROPOSTO 01 Exercício (Clique aqui) (Visite a aula online para realizar download deste arquivo.)

5 FONTES DAS IMAGENS Responsável: Professor Jorge Carvalho Brandão Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual