Equações diferencias ordinárias - Exercícios

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1 Página 1 de 5 Equações diferencias ordinárias - Exercícios 1) A lei do resfriamento de Newton diz que a temperatura de um corpo varia a uma taxa proporcional à diferença entre a temperatura do mesmo e do ambiente que o cerca dt dt = k(t T a) onde T é a temperatura do corpo ( C), t é o tempo (min), k é uma constante de proporcionalidade (min -1 ) e T a é a temperatura ambiente ( C). Suponha que uma xícara de café originalmente tenha a temperatura de 68 C, T a = 21 C e k = 0,17 min -1. Use o método de Euler para calcular a temperatura de t = 0 a 10 minutos usando um passo de 1 minuto. 2) Um balanço de massa para um composto químico em um reator de mistura pode ser escrito como V dc = F Qc kvc2 dt onde V é o volume (12 m 3 ), c é a concentração (g m -3 ), F é a taxa de alimentação (175 g min -1 ), Q é a vazão (1 m 3 min -1 ) e k é a constante de velocidade para uma reação de segunda ordem (0,15 m 3 g -1 min -1 ). (a) Se c 0 = 0, resolva a EDO até o tempo que o reator entra em estado estacionário usando o método de Euler e Euler modificado. (b) Faça gráficos comparando os métodos usando diferentes tamanhos de passos. (c) Para cada método e passo utilizado compare a concentração no estado estacionário e o tempo necessário para atingir esse estado. Discuta os resultados obtidos. 3) Suponha que a água esteja saindo de um tanque por um buraco circular em sua base de área A h. Quando a água vaza pelo buraco, o atrito e a contração da corrente nas proximidades do buraco reduzem o volume de água que está vazando do tanque por segundo para ca h 2gh, onde c (0 < c < 1) é uma constante empírica. (a) Determine uma equação diferencial para a altura h de água no instante t para um tanque cúbico com aresta de 3 m. Considere que o raio do buraco é 5 cm e g = 9,8 m s -2. (b) Se h 0 = 2,5 m e c = 0,25, resolva a EDO no intervalo de 0 a 45 minutos usando o método de Euler, Euler modificado e RK (ode45). Para os métodos de Euler teste os passos de 1 e 5 minutos. 4) Considere dois tanques conforme a figura ao lado. Inicialmente, o tanque A contêm 50 L de água na qual estão dissolvidos 25 g de sal. Suponha que o tanque B contenha, inicialmente, 50 L de água pura. A solução, considerada bem misturada, é bombeada para dentro e para fora dos tanques de acordo com os fluxos anotados na figura. (a) Escreva um sistema de EDOs que descreva a variação da massa de sal nos tanques A e B em função do tempo. (b) Resolva o sistema de EDOs no intervalo de 0 a 60 minutos usando o método de Euler, Euler modificado e RK (ode45). Para os métodos de Euler teste os passos de 1 e 5 minutos.

2 Página 2 de 5 5) O movimento harmônico livre é um caso ideal que corresponde ao movimento no vácuo sem nenhuma força dissipativa. Uma descrição mais realista seria considerar o movimento harmônico amortecido conforme a figura ao lado e a equação abaixo d 2 s dt 2 + β ds m dt + k m s = 0 onde s (m) é o deslocamento em relação à posição de equilíbrio, (kg s -1 ) é a constante de amortecimento, k (N m -1 ) é a constante elástica da mola e m (kg) é a massa do corpo peso preso na mola. Suponha que um peso de 2 kg seja deslocado em 70 cm da posição de equilíbrio da mola e que após ser solto o deslocamento tenha uma velocidade inicial de 3,0 m s -1, k = 20 N m -1 e = 2,5 kg s -1. Resolva a EDO de ordem superior no intervalo de 0 a 10 s usando os métodos de Euler, Euler modificado e RK45 com passo de 1 cm. 6) Um composto A reage enquanto se difunde através de um tubo com 4 cm de comprimento. A equação que modela o processo difusivo com reação é D d2 A dx 2 ka = 0 Em uma extremidade do tubo existe uma grande quantidade de solução do composto A com uma concentração de 0,1 mol L -1. Na outra extremidade, um material absorvente rapidamente absorve qualquer quantidade remanescente de A, ou seja, a concentração é 0 mol L -1. Se D = 1,5 x 10-6 cm 2 s -1 e k = 5 x 10-6 s -1, qual será a concentração de A ao longo do tubo. Use uma malha com 11 pontos. 7) Um biofilme de espessura L f (cm) cresce na superfície de um sólido conforme a figura ao abaixo. Após atravessar uma camada de difusão de espessura L (cm), um composto químico A se difunde através do biofilme e está sujeito a uma reação irreversível de primeira ordem que o converte no produto B. Ao aplicar um balanço de massa transiente para o composto A serão obtidas as seguintes equações D d2 C A dt 2 = 0 0 < x < L D f d 2 C A dt 2 kc A = 0 L x < L + L f onde D = 0,2 cm 2 dia -1 é o coeficiente de difusão na camada de difusão, D f = 0,1 cm 2 dia -1 é coeficiente de difusão no biofilme e k = 0,7 dia -1 é a constante de velocidade para a reação de conversão de A em B. As seguintes condições de contorno podem ser aplicadas C A = C A,0 para x = 0 dc A dx = 0 para x = L + L f onde C A,0 = 1 mol L -1 é a concentração de A no líquido anterior à camada de difusão. Use uma malha de 13 pontos e diferenças finitas centrais para calcular a distribuição de A, considere L = 0,8 cm e L f = 0,4 cm. 1) Gabarito

3 Página 3 de 5 2) Para o passo 0,6 observa-se uma oscilação do método de Euler que começa a estabilizar em torno de 6 minutos. O método de Euler modificado não apresenta oscilações e observa-se uma estabilização da concentração em torno de 9,5 em 7,8 minutos. Com passo 0,3 ambos os métodos não apresentam oscilações e a concentração estabiliza em torno de 9,5 após 1,2 minutos para o método de Euler. Já para o método de Euler modificado, a concentração estabiliza em torno de 9,5 após 2,4 minutos.

4 Página 4 de 5 3) (a) dh dt = 0,0025πc 19,6h 9 (b) 4) (a) (b) dm A { dt = 1 50 m A 2 25 m B dm B = 2 dt 25 m A 2 25 m B 5)

5 Página 5 de 5 6) 7)