SUPERFÍCIE E CURVA. F(x, y, z) = 0

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1 SUPERFÍIE E URVA SUPERFÍIE E URVA As superfícies sã estudadas numa área chamada de Gemetria Diferencial, desta frma nã se dispõe até nível da Gemetria Analítica de base matemática para estabelecer cnceit de superfície; entretant, é neste mment que sã estudads váris eempls de superfícies, que serã aplicads para desenvlver álcul e pr sua ve é nde se apóia a Gemetria Diferencial. Intuitivamente, várias superfícies, pdem ser entendidas cm lâminas delgadas assumind frmas variadas; entretant, assunt é tã cmple que na Gemetria Diferencial cnceit de superfície é estendid a bjets que estã além da percepçã humana. SUPERFÍIE E URVA Já se tem eempl de um tip de superfície que é a superfície plana, simplesmente chamada de plan e estudad em Matemática III; cnsideru-se plan, cm também a reta e as cônicas, uma nçã gemétrica que se entende basead na intuiçã e assim se tem a sua aceitaçã; a Gemetria Analítica permitiu estabelecer uma equivalência entre as nções gemétricas (de reta, das cônicas e d plan) e certas equações, tal equivalência permitiu bter as nções gemétricas usand as equações e utiliar as equações para estabelecer as nções gemétricas; tal sistemática cntinuará send usada para estabelecer utrs eempls de superfícies. Uma superfície plana é sempre dada pela equaçã de primeir grau a+ b+ c+ d= e reciprcamente. Indicand F(,,) cm uma epressã que depende de, e, di-se que F(,, ) = é uma equaçã das três variáveis, e. Lg, pde-se dier que td plan é dad pr uma equaçã de três variáveis, ist é, td pnt (,, ) de um plan é sluçã de uma equaçã d tip F(,, ) = ; mas F(,, ) = pde representar uma figura nã necessariamente plana, mais d que ist, eistem equações de três variáveis que: nã têm nenhuma sluçã, pr eempl, = ; têm smente uma sluçã, pr eempl, + + = em que apenas (,,) é sluçã; define um únic plan, pr eempl, ( + ) = que é equivalente a + = ; representa dis plans, pr

2 SUPERFÍIE E URVA eempl, = que é equivalente a = u + =. A equaçã + + =, é um eempl nde cnjunt das sluções tem uma infinidade de pnts (,, ), mas esse cnjunt de pnts nã representa nenhum plan. cert e que será vist a seguir, é que eistem váris eempls de superfícies que sã equivalentes a equações d tip F(,, ) = ; neste cas, di-se que a superfície é cnjunt das sluções (,, ) de F(,, ) =, a figura u lugar gemétric determinad pelas representações gemétricas das sluções n sistema cartesian ; tal figura u lugar gemétric é também dit gráfic da equaçã. A Gemetria Analítica trata smente da superfície plana e utras que pdem ser dadas pela equaçã a + b + c + d + e + f + g + h + i + j = nde s ceficientes a, b,..., f nã sã tds nuls, chamada de equaçã de segund grau em, e. bserve que se s ceficientes a, b,..., f frem tds nuls, a equaçã é de primeir grau. Ds eempls anterires, bserva-se que nem tda equaçã de segund grau define um cnjunt que a intuiçã pssa aceitar cm uma superfície, pis cnjunt das sluções da equaçã pde ser vai u apenas um pnt; além diss, cm também fi vist, eistem cass em que pde definir um plan u um par de plans. s cnjunts das sluções da equaçã de segund grau, sã classificads cm degenerads se cnjunt é vai, unitári, um plan u um par de plans, e nã degenerads ns utrs cass; s cnjunts nã degenerads (u as figuras representadas pels cnjunts n sistema cartesian), sã também chamads de superfícies quádricas. É pssível mstrar que eistem, além das chamadas superfícies cilíndricas, um ttal de seis superfícies quádricas que sã chamadas de: elipsóide, cne elíptic, parablóide elíptic, hiperblóides elíptics de uma e duas flhas, e parablóide hiperbólic. Fi vist em Matemática III que a interseçã de dis plans transversais é uma reta n espaç cartesian. Em geral, duas superfícies dadas pr F(,, ) = e G(,, ) =, pdem se interceptar definind uma curva n espaç cartesian, neste cas, é cnjunt de tds s pnts que satisfaem simultaneamente as duas equações, ist é, 3 = {(,, ) R ; F(,, ) = e G(,, ) = }. A curva pde ainda ser interpreta cm cnjunt de tdas as sluções d sistema frmad pelas duas equações F(,, ) = e G(,, ) =, e também se indica na frma abreviada { F(,, ). G(,, ) ==

3 SUPERFÍIE E URVA 3 s métds da Gemetria Analítica cnsistem em estudar as superfícies quádricas particularmente psicinadas em relaçã a sistema de crdenadas, a partir daí usand translaçã e rtaçã de eis, analisar a equaçã de segund grau para cncluir que ela define apenas superfícies das frmas já estudadas se cnjunt das sluções nã fr degenerad. estud de rtaçã de eis, será mitid pr ser desnecessári para s bjetivs deste tet; desta frma, este tet nã pderá chegar na classificaçã mencinada para a equaçã de segund grau. Tal classificaçã pde ser encntrada na referência Elements de Gemetria Analítica, Niklai Efimv Livraria ultura Brasileira Editra, Sã Paul, 97. SUPERFÍIE ILÍNDRIA Sejam uma curva e uma reta r d R 3, cnjunt de pnts S d R 3 btid pela reuniã de tdas as retas paralelas a r e cntend algum pnt de, é dit uma superfícies cilíndrica u apenas um cilindr. Send assim, uma superfície cilíndrica pde ainda ser interpretada cm subcnjunt gerad pr uma reta que se deslca paralelamente a r e a lng de. A curva é chamada de diretri d cilindr e cada uma das retas paralelas a r é dita uma geratri d cilindr. (geratri) S (diretri ) r Se a diretri de uma superfície cilíndrica é uma curva cntida n plan e g(,, ) = geratries paralelas a ei, entã { (ist é, é a interseçã de uma = superfície g(,, ) = cm plan = ) e e 3= (,,) é um vetr diretr d ei.

4 4 SUPERFÍIE E URVA Um pnt Q(,, ) S se, e smente se, eistem P(,,) e t R tal que PQ= te. 3 S l Q P A figura ilustra a superfície cilíndrica S, a diretri e uma geratri l de S, e vetr de P até Q. Send PQ= te 3, tem-se =, = e = t; cm P, btém-se g (,, ) = e R, u seja, g(,,) = e R, ist significa que td pnt (,,) S satisfa uma equaçã que nã depende de e R ; lg, tal superfície cilíndrica é dada pr uma equaçã d tip f(, ) =. Supnha agra que uma equaçã d tip f(, ) Q,, S, f, = para qualquer, = define uma superfície S e seja ( ) entã ( ) R daí S cntém cnjunt {( ) },, ; R que é uma reta paralela a ei ; ist mstra que S é cnstituída de retas paralelas a ei, u seja, S é cilíndrica. Prtant, um cnjunt S de pnts d R 3, é uma superfície cilíndrica de geratries paralelas a: (a) Ei se, e smente se, S é dada pr uma equaçã d tip f(, ) = ; send assim, f(, ) = qualquer curva D{ nde k é uma cnstante, é uma diretri de S; = k f(, ) = particularmente, { é a diretri de S n plan e é a prjeçã de = qualquer diretri de S n plan. Dl =k A figura ilustra uma superfície S, as diretries n plan = e D n plan = k. S Analgamente, pde-se enunciar que um cnjunt S de pnts d, 3 R é uma superfície cilíndrica de geratries paralelas a:

5 SUPERFÍIE E URVA 5 (b) Ei se, e smente se, S é dada pr uma equaçã d tip g(, ) = ; send assim, g(, ) = qualquer curva D{ nde k é uma cnstante, é uma diretri de S; = k g(, ) = particularmente, { é a diretri de S n plan e é a prjeçã de = qualquer diretri de S n plan ; (c) Ei se, e smente se, S é dada pr uma equaçã d tip h(,) = ; desta frma, h(, ) = qualquer curva D{ nde k é uma cnstante, é uma diretri de S; = k particularmente, { h(,) = é a diretri de S n plan e é a prjeçã de = qualquer diretri de S n plan. m pde ser bservad de (a) até (c), uma superfície cilíndrica de geratries paralelas a um ds eis crdenads, é definida pr uma equaçã que independe de uma das variáveis d sistema, tal variável é precisamente aquela relativa a ei crdenad em que as geratries sã paralelas. Eempl Reslvid. Verificar que a superfície dada pela equaçã indicada é cilíndrica, achar a diretri num plan crdenad e faer gráfic da equaçã: (a) + = ; (b) =. Sluçã. (a) m + = independe de, tem-se uma superfície cilíndrica de geratries paralelas a ei, assim { + = é a sua diretri n plan. = nfrme fi vist em.5.5 d vlume (pág. 5), é a circunferência de centr em (,,) e rai igual a. Traçand a diretri e as retas paralelas a ei que cntém algum pnt de, btém-se gráfic da equaçã na figura a seguir. S l (b) A superfície dada pr = é uma superfície cilíndrica de geratries paralelas a ei, assim { = é a sua diretri n plan. nfrme fi vist em =.5.6 d vlume (pág. 53), é a parábla cnvea de vértice em (,,) e ei n

6 6 SUPERFÍIE E URVA ei. Traçand a diretri e as retas paralelas a ei que cntém algum pnt de, btém-se a figura a seguir. l S Eempl Prpst. Verificar que a superfície dada pela equaçã indicada é cilíndrica, achar a diretri num plan crdenad e faer gráfic da equaçã: (a) + = ; (b) + = ; (c) = ; (d) = ; (e) =. As superfícies cilíndricas cm diretri igual a uma circunferência e geratries paralelas a um ds eis crdenads, sã chamadas de cilindr circular ret; centr da circunferência também é dit centr d cilindr; a reta que cntém centr da circunferência (u centr d cilindr) e é paralela as diretries é dita ei d cilindr. Gemetricamente, bserve que a interseçã de um cilindr circular ret cm um plan: (a) Paralel a ei d cilindr, é uma u duas retas: (b) Transversal a ei d cilindr, é uma circunferência u uma elipse, cnfrme plan e ei sejam perpendiculares u nã, respectivamente. Se uma curva é a interseçã das superfícies dadas pr F(,, ) = e G(,,) =, entã eliminand a variável d sistema { F(,,) =, btém-se uma G(,, ) = equaçã d tip f(, ) = ; cas f(, ) = defina uma superfície S, cm fi vist, S é cilíndrica de geratries paralelas a ei, além diss S e é uma diretri de S, lg { f(, ) = é a prjeçã de n plan. = S SS S A figura ilustra as superfícies S e S, a curva de interseçã de S e S, a superfície cilíndrica S e a prjeçã de n plan.

7 SUPERFÍIE E URVA 7 Similarmente, eliminand d sistema { F(,,) =, a variável u a variável G(,,) =, pde-se bter as prjeções de ns plans u, respectivamente. Eempl Reslvid. Achar a prjeçã da curva { + = = gráfics da prjeçã e da curva. n plan. Faer s Sluçã. Eliminand a variável n sistema { + =, tem-se = que uma = superfície cilíndrica de geratries paralelas a ei e cntend, lg a prjeçã de = n plan é dada pr { que é parábla indicada na figura a seguir. = Pde-se ter gráfic da curva visualiand a interseçã d cilindr + = cm plan =, u ainda, visualiand s pnts d cilindr u d plan cuja prjeçã deu a parábla citada, btend-se a figura a seguir. Eempl Prpst. Mstrar que: (a) A prjeçã da curva { + = = n plan, é a parábla + + = {. Faer = gráfic da prjeçã e da curva; (b) A curva de interseçã ds cilindrs + = e + = sã elipses. Faer s gráfics das elipses e representar gemetricamente a parte de um cilindr intern a utr.

8 8 SUPERFÍIE E URVA SUPERFÍIE DE REVLUÇÃ Sejam uma curva e uma reta r cntidas num plan. nsidere também uma circunferência cntida num plan perpendicular a r, de centr num pnt de r e cntend um pnt de. r cnjunt de tdas as circunferências é chamad de superfície de revluçã. Send assim, pde ser dit que uma superfície de revluçã S é cnjunt ds pnts gerads pela revluçã de em trn de r. r S A reta r é chamada de ei de revluçã da curva u ei da superfície de revluçã S e a curva é dita uma geratri da superfície de revluçã S. A interseçã de S cm qualquer plan cntend r, sã duas geratries de S. A interseçã de S cm qualquer plan perpendicular a r, é sempre uma circunferência chamada de seçã plana de S perpendicular a reta r. Seja uma superfície de revluçã S nde a geratri é uma curva cntida n plan d espaç cartesian e ei de revluçã é ei, cnsidere ainda { = f() (ist é, é a interseçã de uma superfície cilíndrica f() = cm =

9 SUPERFÍIE E URVA 9 plan = ). Se P(,, ) S, entã P pertence a circunferência de centr em (,, ) e rai igual a = f() nde P ( ),,. P (,,) P(,,) Send assim, tem-se P = P, u seja, + = e daí + = [ f() ], ist significa que td pnt P(,, ) S satisfa uma equaçã em que a sma ds quadrads das variáveis e, é uma funçã nã negativa de. bserve que utras geratries de S ns plans e pdem ser btidas, pis em + = [ f() ], faend = dá { =± f() = e tmand = dá { =± f(). Supnha agra que uma = superfície S é dada pela equaçã + = p() nde p() e cntínua para td num interval I, faend = I, tem-se { + = p( ) = que é uma circunferência n plan = de centr em p, ist mstra que tda seçã plana de S perpendicular a ei é uma circunferência, lg S é uma superfície de revluçã d tip eemplificad. (,, ) e rai igual a ( ) Prtant, um cnjunt S de pnts d R 3 é uma superfície de revluçã cm uma geratri cntida n: (a) Plan u e tend ei cm ei de revluçã se, e smente se, S é dada pr uma equaçã d tip [ ] + = f(). Analgamente, pde-se afirmar que um cnjunt S de pnts d R 3 é uma

10 SUPERFÍIE E URVA superfície de revluçã tend cm ei de revluçã : (b) Ei se, e smente se, S é dada pr uma equaçã d tip [ ] + = g() ; send assim, as geratries ns plans u sã dadas pr { =± g() = { =± g(), respectivamente; = (c) Ei se, e smente se, S é dada pr uma equaçã d tip [ ] u + = h() ; desta frma, as geratries ns plans u sã as respectivas curvas { =± h() = { =± h(). = m pde ser bservad de (a) até (c), uma superfície de revluçã btida pela revluçã de uma curva em trn de um ds eis crdenads, é definida pr uma equaçã em que a sma ds quadrads de duas das três variáveis depende smente de uma funçã nã negativa da terceira variável; além diss, ei de revluçã cincide cm ei crdenad crrespndente a essa terceira variável. Algumas superfícies de revluçã recebem nmes especiais, tais superfícies sã chamadas: (a) Esfera se fr gerada pr uma circunferência (u uma semi-circunferência) em trn de uma reta cntend um diâmetr da circunferência. centr e rai da circunferência sã também dits centr e rai da esfera. Assim, send e r, centr e rai da circunferência, respectivamente, pde ser dit que a esfera é cnjunt de tds s pnts eqüidistantes r de. u (b) ne de revluçã se fr gerada pela revluçã de uma reta em trn de utra reta transversal. pnt de interseçã das retas é dit centr d cne.

11 SUPERFÍIE E URVA r (c) Parablóide de revluçã se fr gerada pela revluçã de uma parábla (u uma semi-parábla) em trn d seu ei. vértice V da parábla também é chamad de vértice d parablóide. (d) Hiperblóide de revluçã se fr gerad pela revluçã de uma hipérble, em trn da reta n plan da hipérble, perpendicular a seu ei e cntend pnt médi ds vértices da hipérble u em trn d ei da hipérble, tais cass sã dits hiperblóide de uma flha e hiperblóide de duas flhas, respectivamente. pnt médi ds vértices da hipérble é chamad de centr d hiperblóide. Vale lembrar que a reta r (ist é, ei de revluçã), em cada eempl de superfície, é ei da superfície. Assim, cada reta cntend centr da esfera, é um ei da esfera.

12 SUPERFÍIE E URVA Eempl Reslvid. Encntrar a equaçã da esfera de centr em (,,) e rai igual a r. Sluçã. m um pnt qualquer P(,, ) da esfera deve satisfaer d(, P) = r, temse ( ) + ( ) + ( ) = r, daí é a equaçã da esfera. + + = r Eempl Prpst. Mstrar que a equaçã da esfera gerada pela revluçã da circunferência { + = r em trn d ei u ei e da circunferência = { + = r = em trn d ei u ei, é dada pr + + = r. Eempl Reslvid. Achar a equaçã d cne gerad pela revluçã da reta em trn d ei e faer um esbç da superfície. m = = m Sluçã. Pel que fi vist, cne é dad pr ( ) + =, ist é, cne é dad pr uma equaçã d tip = m+ m. Para bter gráfic da equaçã = m + m, basta traçar a reta e girar em trn d ei e que está na figura a seguir. Eempl Prpst. Mstrar que a equaçã d cne gerad pela revluçã de uma reta cntend a rigem, em trn d ei indicad é cm está dada e faer gráfic da equaçã: (a) Ei e = a+ a nde a> ; (b) Ei e = a+ a nde a>. Eempl Reslvid 3. Determinar a equaçã d parablóide gerad pela revluçã da

13 SUPERFÍIE E URVA 3 = a parábla { (a > ) = em trn d ei e faer gráfic da equaçã. Sluçã. Para bter parablóide, basta girar em trn d ei a semi-parábla à direita d ei e faend em funçã de na equaçã = a ; send assim, a semiparábla é dada pr = a, = a + =, u lg a equaçã d parablóide é ( ) seja, parablóide é dad pr uma equaçã d tip = a+ a. Girand a parábla em trn d ei, tem-se gráfic da equaçã = a+ a na figura a seguir. Eempl Prpst 3. Mstrar que a equaçã d parablóide gerad pela revluçã da parábla em trn d ei indicad, é cm está dada e faer gráfic da equaçã: (a) = a { e ei, = a+ a ; (b) = a = { e ei, = a+ a. = Eempl Reslvid 4. alcular a equaçã d hiperblóide de uma flha e de duas flhas gerads pela rtaçã das hipérbles a b = e + = a b em trn d ei. = = Faer s gráfics das equações. Sluçã. Para calcular a equaçã d hiperblóide de uma flha, basta girar em trn d ei ram da hipérble à direita d ei e faend cm funçã de na equaçã a b = ; send assim, ram é dad pr = a + b, lg a equaçã d = hiperblóide é ( b) equaçã d tip + = a +, ist é, hiperblóide de uma flha é dad pr uma a a b + =. A fim de achar a equaçã d hiperblóide de duas flhas, basta girar em trn d ei s semi-rams da hipérble à direita a ei e faend cm funçã de na

14 4 SUPERFÍIE E URVA equaçã nde a b + = ; desta frma, as partes ds rams sã dads pr < b u b, = a b = > prtant a equaçã d hiperblóide é ( b ) seja, hiperblóide de duas flhas é dad pr uma equaçã d tip a b b + =. + = a, u a b b + = u equações Girand as curvas a a b + = e = a + = b a b b e = a b, tem-se s gráfics das = + =, nas respectivas figuras a seguir. Eempl Prpst 4. Mstrar que as equações ds hiperblóides de uma flha e duas flhas gerads pela revluçã da hipérble a + b = em trn d ei e em trn = d ei, sã dadas pr gráfics das equações. b a b + = e a a b + =, respectivamente. Faer s Gemetricamente, bserve que a interseçã de um cne cm um plan, pde ser apenas uma u duas retas, u ainda uma das cônicas (ist é, uma circunferência, uma elipse, uma parábla u uma hipérble, cnfrme fram vistas em.5.5 a.5.8 d vlume ), nde é btida uma: (a) Reta se plan cntém smente uma geratri d cne e duas retas se plan cntém ei d cne; (b) ircunferência se plan fr nrmal a ei d cne e nã cntém centr d cne; (c) Elipse se plan fr transversal a ei d cne, nã fr nrmal a ei e nem cntém centr d cne; (d) Hipérble se plan fr paralel a ei d cne e nã cntém ei. Eempl Reslvid 5. Usand a equaçã d cne d eempl reslvid de superfícies

15 SUPERFÍIE E URVA 5 de revluçã, encntrar uma reta, duas retas e uma circunferência cm interseçã d cne cm plan. Sluçã. Para achar uma única reta, basta tmar a interseçã d cne = m+ m cm plan = m btids n eempl reslvid, assim a reta é dada pr { = m = nde a equaçã = é btida d sistema { = m + m = m pela eliminaçã de. Para determinar duas retas, basta tmar a interseçã d cne = m+ m cm plan =, assim as retas sã dadas pr { =± m nde as equações =± m = sã btidas d sistema { = m + m = pela eliminaçã de. Para encntrar uma circunferência, cnsidera-se a interseçã d cne = m+ m cm plan = k (k ), assim a circunferência é dada pr + = ( k ) m nde a equaçã + = ( ) k é btida d sistema = k m { = m+ m pela eliminaçã de. = k Eempl Prpst 5. Usand cne d eempl reslvid de superfícies de revluçã, achar uma elipse e uma hipérble cm interseções d cne cm plans. SUPERFÍIES QUÁDRIAS m fi vist em superfícies de revluçã, qualquer seçã plana de uma superfície de revluçã perpendicular a ei de revluçã, é uma circunferência; essa característica da superfície de revluçã, é suficiente para recnhecer se uma equaçã F(,, ) = define uma superfície de revluçã, a partir de tal identificaçã fica fácil bter a frma da superfície girand uma geratri da superfície. Em geral, a interseçã de uma superfície cm um plan perpendicular a uma reta, é chamada de seçã plana da superfície perpendicular à reta. Várias superfícies dadas através de equações, pdem ter a sua frma determinada recnhecend algumas u alguns grups de seções planas da superfície, essa sistemática é chamada de métd das seções planas para identificar a superfície u faer gráfic da equaçã. As superfícies quádricas fram classificadas n iníci deste tet e a superfície cilíndrica já fi estudada, as equações das superfícies quádricas restantes seguidas ds nmes sã estabelecidas a seguir, vale bservar que as superfícies de (a) até (e) pderã

16 6 SUPERFÍIE E URVA ser de revluçã, dependend da igualdade ds parâmetrs a, b u c: (a) + + = (Elipsóide de centr na rigem e eis cntids ns eis a b c, e ). A interseçã d elipsóide cm plan, é a elipse b+ c =. ada seçã = plana d elipsóide perpendicular a ei, dada pr + a b = c cm c< k< c, é = k uma elipse e send = ± c tem-se s pnts (,, ± c). Lg, elipsóide tem a frma indicada na figura a seguir. (b) = +, a b = a + b e = a + b (nes elíptics de centrs na rigem e eis iguais as eis, e, respectivamente). Pr eempl, cne elíptic dad pr =, a + b a interseçã d cne elíptic cm plan, sã as retas =± b. ada seçã plana d cne elíptic perpendicular a = ei, dada pr a + b = k para k, é uma elipse e send k= btém-se = k pnt (,,). Lg, cne elíptic tem a frma indicada na figura seguinte.

17 SUPERFÍIE E URVA 7 (c) ± = +, a b ± = a + b e ± = a + b (Parablóides elíptics de vértices na rigem e eis iguais as eis, e, respectivamente). (d) + =, + + = e = (Hiperblóides a b c a b c a b c elíptics de uma flha de centrs na rigem e eis iguais as eis, e, respectivamente). (e) + =, = e + = a b c a b c a b c (Hiperblóides elíptics de duas flhas de centrs na rigem e eis iguais as eis, e, respectivamente). (f) ( ) a + b - c = ( ) - a - b + c = ± = +, a b a b a b centrs na rigem e simétrics em relaçã as plans, e, respectivamente). Pr eempl, parablóide hiperbólic S dad pr a b = +, a interseçã de S cm plan é a parábla cnvea = b e cm cada plan = k é a parábla = côncava = k a + b que tem vértice n pnt = (, k, k ) da parábla cnvea. k b nsidere agra a interseçã de S cm s plans = k, entã se: = k>, tem-se a hipérble a + b = k = k da parábla cnvea = b ; = k=, btém-se as retas =± b a = { ; = hipérble a b = k = k cm ei paralel a ei e vértices ns pnts (, ± b k, k) = k<, tem-se a cm ei paralel a ei e vértices ns pnts ( ± a k,, k)

18 8 SUPERFÍIE E URVA da parábla côncava na figura seguinte. = a + b. = Lg, parablóide hiperbólic tem a frma indicada Uma superfície di-se regrada se ela é frmada de retas. Dentre s eempls de superfícies estudadas, ficu evidente que algumas sã desse tip, cm pr eempl: plan, cilindr e cne. Embra nã seja aparente, hiperblóide de uma flha e parablóide hiperbólic também sã superfícies regradas. Eempl Reslvid. Mstrar que hiperblóide de uma flha dad n item (d) é uma superfície regrada. a c b a b c Sluçã. Pr eempl, se hiperblóide é dad pr + =, entã =, u seja, ( )( + ) = ( )( + ). Seja a reta dada pr a c a c b b r mn ( + ) = ( a c b) ( ) = ( + ) m n n m a c b nde m e n nã sã simultaneamente nuls, se P(,, ) satisfa sistema de (ist é, se P r mn), entã P satisfa a equaçã de S, lg rmn S. é frmada de retas, basta mstrar que cada pnt de S está cntid em alguma reta r mn Para cncluir que S ist é, send Q(,,) S, deve-se mstrar que eistem m e n tais que Q S, entã bserve que. a c + = + a c b b r mn, Q r. Se mn

19 SUPERFÍIE E URVA 9 entã: send b, tem-se sistema que define r mn ) m n + a c = b Q r mn, n m = + a c b ( + ) = ( ) ( ) = ( + ) m mk a c b, mk m a c b este últim sistema define uma reta r entã n= k m nde + a c b k =, lg (substituind n n + = k( ) u seja, a c b ( ) k = + a c b S tal que Q r; se + = e assim m= k b n nde k =, a c sistema que define r mn) ( + ) = ( ) ( ) = ( + ) k n n a c b, n k n a c b b k + = a c b ( ) u seja, ( = k + ) a c b este últim sistema também define uma reta s S tal que Q s. se m, = (ist é, se = ), b lg (substituind m n se n, Eempl Prpst. Mstrar que parablóide hiperbólic dad n item (f) é uma superfície regrada. TRANSLAÇÃ DE EIS Sejam dis sistemas cartesians e, de frma que s eis crdenads de um sistema tenham as mesmas rientações ds respectivs eis crdenads de utr sistema, neste cas, di-se que um sistema é a translaçã d utr. É de interesse psicinar um sistema em relaçã à psiçã d utr, assim cnsidere que sistema está psicinad em relaçã a sistema, ist é, que (,,) é a rigem d sistema e (,, ) é a rigem d sistema, ist significa que a rigem d sistema está lcaliada n pnt ( ),, d sistema. Supnha que um mesm pnt em relaçã as sistemas e, sejam indicads

20 SUPERFÍIE E URVA pr P(,,) e P(,, ), respectivamente. bjetiv é achar as relações entre as crdenadas de P e P. Send assim, tem-se P= + P; cm P= P, btém-se P= + P; P = (,,), =,, e P = (,, ), lg (da igualdade vetrial) ( ) mas =, = e =. Tais relações sã chamadas fórmulas de mudança de crdenadas da translaçã de eis. Algumas equações de segund grau mais gerais que as estudadas em superfícies quádricas, pdem ser reduidas às já estudadas mediante mudança de crdenadas; neste cas, s gráfics das equações mais gerais pdem ser btids a partir ds gráfics ns cass particulares. Eempl Reslvid. Faer gráfic da equaçã dada: (a) = ; (b) + 3=. Sluçã. (a) mpletand s quadrads em e na equaçã =, tem-se ( ) + ( ) = ; assim faend =, = + e =, btém-se + = que define uma superfície cilíndrica n sistema. bserve que a rigem deste sistema é (,, ) em relaçã a sistema. lcand s dis sistemas e faend gráfic de + = (de acrd cm fi btid n eempl reslvid de superfície cilíndrica), btém-se gráfic da equaçã dada.

21 SUPERFÍIE E URVA - (b) mpletand quadrad em na equaçã + 3=, tem-se (+ ) = ; lg, tmand = +, = e =, acha-se = que define uma superfície cilíndrica n sistema. A rigem deste sistema é (,,) em relaçã a sistema. lcand s dis sistemas e faend gráfic de = (de acrd cm fi btid n eempl reslvid de superfície cilíndrica), btém-se gráfic da equaçã dada. S Eempl Prpst. Faer gráfic da equaçã dada: (a) = ; (b) + =. bserve ns eempls que é desnecessári intrduir s eis d sistema para bter as figuras, basta faer uma diretri e identificar a direçã da geratri. Pr eempl, n eempl reslvid (a), a superfície é cilíndrica pis a equaçã = independe de, lg uma diretri é a circunferência

22 SUPERFÍIE E URVA { ( ) + (+ ) = e as geratries sã paralelas a ei, assim faend a = circunferência de centr em (,, ) e rai igual a n plan, depis gerand a figura usand retas paralelas a ei, btém-se gráfic de =. A sistemática usada n eempl reslvid para faer s gráfics das equações, pde também ser utiliada, sempre que uma equaçã de segund grau se redua em algum utr sistema às equações de (a) até (f) de superfícies quádricas, mas precisamente, quand a equaçã de segund grau pde ser escrita nas seguintes frmas: (a) ( ) ( ) ( ) + + = (Elipsóide de centr em ( a b c,, ) e eis paralels as eis crdenads); (b) ( ) ( ) ( ) = + (ne elíptic de centr em (,, ) e ei a b paralel a ei ); (c) ( ) ( ) = + (Parablóide elíptic de vértice em (,, ) e a b ei paralel a ei ); (d) ( ) ( ) ( ) + = (Hiperblóide elíptic de uma flha de centr a b c (,, ) e ei paralel a ei ); em (e) (f) ( ) ( ) ( ) + = (Hiperblóide elíptic de duas flhas de a b c centr em (,, ) e ei paralel a ei ); ( ) ( ) = + (Parablóide hiperbólic de centr em (,, ) a b e simétric em relaçã a plan = ). Para faer gráfic de qualquer equaçã particular de (a) até (f), basta usar prcediment sugerid após eempl prpst, ist é, nã é necessári representar sistema, basta identificar a figura definida pela equaçã e bter infrmações para lcaliar a figura n sistema, tais infrmações da figura pdem ser: centr u vértice e ei(s), interseções cm plans paralels as plans crdenads e cntend centr, pnts de interseções cm (s) ei(s), seções planas perpendiculares a(s) ei(s), etc. Eempl Reslvid. Faer gráfic da equaçã dada:

23 SUPERFÍIE E URVA 3 (a) = ; (b) = ; (c) =. Sluçã. (a) mpletand s quadrads em, e na equaçã dada, btém-se 36( ) + 9( ) + 4(+ ) = 36, ist é, ( ) ( ) (+ ) + + =. 9 4 Esta última equaçã define (de acrd cm item (a) da relaçã de superfícies desta seçã) um elipsóide de centr em (,, ) e eis paralels as eis crdenads. As interseções d elipsóide cm s plans =, = e =, sã as elipses ( ) (+ ) + = (+ ) + = 4 ( ) + = 9 9 4, ( ) e ( ), respectivamente. As = = = ( ) (k+ ) seções planas d elipsóide nrmais a ei, sã as elipses ( ) + = 9 4 = k nde 3 k. Lcaliand centr d elipsóide (que também é centr das três elipses mencinadas inicialmente) e traçand as elipses, btém-se gráfic da equaçã na figura a seguir. (b) mpletand s quadrads em, e na equaçã dada, btém-se 36( ) = 4(+ ) + 9( ), u seja, (+ ) ( ) ( ) = Esta última equaçã define (de acrd cm item (b) da relaçã de superfícies desta seçã) um cne de centr em (,, ) e ei paralel a ei. As interseções d cne cm s plans = e =, sã as retas = + = e = + 3, e =

24 4 SUPERFÍIE E URVA = + = + e, respectivamente. As seções planas d cne perpendiculares = = ( ) ( ) a ei, sã as elipses + (k ) = Lcaliand centr d cne (que = k também é a interseçã das retas) e traçand as elipses, btém-se gráfic da equaçã na figura a seguir. (c) mpletand s quadrads em, e na equaçã dada, btém-se 9( ) 4( ) + 36( ) = 36, ist é, ( ) ( ) ( ) + =. 4 9 Esta última equaçã define (de acrd cm item (e) da relaçã de superfícies desta seçã) um hiperblóide elíptic de duas flhas de centr em (,,) e ei paralel a ei. As interseções d hiperblóide cm s plans = e =, sã as hipérbles ( ) + = ( ) + = ( ) 9 e ( ) 4, respectivamente. As seções planas d = = ( ) ( ) hiperblóide perpendiculares a ei, sã as elipses + = + (k ) 4 9 = k nde k e k 3. Lcaliand centr d hiperblóide (que é pnt médi ds vértices das duas primeiras hipérbles mencinadas) e traçand as elipses, btém-se gráfic da equaçã na figura a seguir.

25 SUPERFÍIE E URVA 5 Eempl Prpst. Faer gráfic da equaçã dada: (a) = ; (b) = ; (c) =.