XXXIII OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA PRIMEIRA FASE NÍVEL 3 (Ensino Médio) GABARITO

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1 XXXIII OLIMPÍD RSILEIR DE MTEMÁTI PRIMEIR FSE NÍVEL (Ensin Médi) GRITO GRITO NÍVEL ) 6) ) D 6) D ) ) 7) D ) 7) D ) D ) 8) ) 8) D ) ) 9) ) 9) ) D ) E 0) D ) D 0) E ) E ada questã da Primeira Fase vale pnt. (Ttal de pnts n Nível pnts). guarde a publicaçã da Nta de rte de prmçã à Segunda Fase n site:. () Existem 6 caminhs entre e cm s seguintes custs de pedági: O valr mínim é.. () Nte inicialmente que pintams 9.6 quadradinhs de vermelh. Quand serrams cub, tems 7 cubinhs e cm cada cubinh tem 6 faces quadradas, ttal de faces quadradas é igual a quadradinhs. Destes, sã vermelhs e s 6 08 restantes sã brancs. Lg, a razã entre a superfície pintada de vermelh e a superfície pintada de branc é igual a /08 /.. () Para decidir qual das pções é a maneira mais ecnômica de cmprar,kg de HOOM, vams calcular valr gast em cada pçã. Tems: Na pçã ), 6 latas de 00g, valr da cmpra é 6 R$,00 R$8,00. Na ), lata de 00g e lata de 800g, valr da cmpra é R$,00 R$9,00 R$,00. Na ), latas de 00g e lata de 00g, valr é R$,00 R$,00 R$7,00. Na D), latas de 00g e lata de 800g, valr é R$,00 R$9,00 R$,00. E na E), latas de 00g e latas de 00g, valr é R$,00 R$,00 R$6,00. Ou seja, a pçã ) é a mais ecnômica das pções apresentadas.. () Utilizarems a ntaçã a b para dizer que b é divisível pr a. Entã 0 7N N N. lém diss, 7 0N N N. Lg N é múltipl de e, u seja, é múltipl de 60. Entã N 60. Nte que N 60 é pssível, pis XXXIII Olimpíada rasileira de Matemática Primeira Fase Gabarit Nível

2 . (E) prprçã apresentada ns permite cnstruir seguinte padrã: Nela vems que há 0 meninas nessa classe. Menins Meninas Ttal () Inicialmente, para cada pçã calculems prdut das vgais e cnsantes de sua frase crrespndente. ) ) 6 0 ) 7 6 D) 8 0 E) única pçã que crrespnde a númer mencinad na pçã é a alternativa. ab 7. (D) Nte que. m 0 < a e 0 < b, a b a. O máxim crre para a b. e b ab Outra maneira de reslver prblema é bservar que a b de a e b, e é máxim quand a e b sã máxims, u seja, iguais a. é metade da média harmônica 8. () Seja N númer de vs. Se 0% ds vs fram cancelads, restaram 90% de N. Ds vs restantes, 0% fram cancelads pela chuva, u seja, 0% de 90% de N 0,0 0,90 N 0,8 N 8% de N. Dessa frma, a prcentagem d ttal de vs que fram cancelads é 8%. XXXIII Olimpíada rasileira de Matemática Primeira Fase Gabarit Nível

3 9. () Seja x expressã d prblema é equivalente à: Ou seja, 000. ( ) ( ) x x 6x x 6x ( x x ) 8 6 ( x ) 0. (D) Pdems cntar tdas as maneiras de receber trc de 7 centavs fazend uma listagem de tds s recebiments pssíveis, rdenand as medas em rdem decrescente: u seja, dad que 7 x 0y z w, basta cntar quantas sluções inteiras nã-negativas essa equaçã pssui. Nte que x representa númer de medas de centavs, y númer de medas de 0 centavs, z de centavs e w de centav. s sluções sã: (,,0,);(,0,,);(,0,,7);(,0,0,);(0,,,);(0,,0,7);(0,,,);(0,,,7); (0,,,);(0,,0,7);(0,,,);(0,,,7);(0,,,);(0,,,7);(0,,,);(0,,0,7) (0,0,7,);(0,0,6,7);(0,0,,);(0,0,,7);(0,0,,);(0,0,,7);(0,0,,);(0,0,0,7) Lg, há um ttal de maneiras.. (D) s pssíveis fatrações em prims de tais inteirs sã: menres que 0, devems ter p,q {,,, 7,, } 7 e 7,,,,,,,. p u p q. m esses inteirs sã. lista de tais inteirs é. () Sejam α, β DE e θ. Tems 0 α. Pel terema d ângul extern n triângul D: α 0 θ 90 β (*) lém diss, α θ 0 80 pel sma ds ânguls intern d. Substituind valr de 80 0 α θ 6 em (*), tems β. D α E β α β α 0 θ θ XXXIII Olimpíada rasileira de Matemática Primeira Fase Gabarit Nível

4 . () Inicialmente, dinheir ttal que as mças têm é igual a , e cm iss, tems que cada uma das mças deve pssuir 87/ 9 reais. lém diss, nte que Esmeralda pssui reais, Rse tem reais e Nelly tem 0 reais. m Rsa e Nelly pssuem mais d que 9 reais, elas devem dar algumas ntas a alguém Rsa deve dar pel mens ntas de (se ela desse só uma nta, ela teria 0 reais, mais d que 9), e Nelly deve dar pel mens uma nta de 0. Daí, para Rsa cnseguir 9 reais ela precisa receber pel mens ntas de reais, e para Nelly cnseguir 9 reais, ela deve receber uma nta de e duas de reais. Prtant, Esmeralda entrega n mínim ntas de reais, Rsa entrega n mínim ntas de reais e Nelly entrega pel mens uma nta de 0 reais. m iss, númer de ntas que trcaram de mãs é pel mens 7. De fat, cm 7 trcas é pssível que as três mças pssuam 9 reais: Nelly entrega uma nta de 0 reais a Esmeralda; Rsa entrega uma nta de reais a Esmeralda e utra para Nelly; Esmeralda entrega duas ntas de reais a Rsa e ntas de reais para Nelly; 096. () cncluíms que primeir dígit nã nul após a vírgula de 0 é.. (D) Se hje está chvend, X deve brigatriamente ser um OVNI nerd. lém diss, W nã pde ser um ET-nerd, pis cas cntrári estaria faland a verdade em um dia de chuva. Tems entã a seguinte distribuiçã: (X, Y, Z, W) (OVNI, UFO u ET, UFO u ET, OVNI u UFO). Se hje nã está chvend, X mentiu e nã pde ser um ET-nerd. s próximas três falas sã verdadeiras, lg tems a seguinte distribuiçã. (X, Y, Z, W) (UFO, ET u OVNI, ET u OVNI, ET u OVNI). Prtant, é pssível que haja um UFO nerd e três ET-nerds. 6. (D) Seja M pnt médi de. Entã, cm é isósceles cm segment M é 6 também altura d triângul. Lg M M. m a altura da água é, nível da água é igual a da altura d triângul. m s triânguls pequens brancs frmads pels espaçs sã semelhantes a triângul riginal cm a mesma razã de semelhança (raiz quadrada da razã entre as áreas, que é a mesma), a altura h é igual a da altura relativa H a. Send a área 6 de igual a cm, H H H cm e 8 h H cm. 6 h M XXXIII Olimpíada rasileira de Matemática Primeira Fase Gabarit Nível

5 7. (D) Nte que, send a e b inteirs psitivs, a! divide b! se, e smente se, a b. ssim, (0!)! é divisível pr ((n!)!)! se, e smente se, (n!)! 0!. m fatrial é uma funçã crescente ns inteirs psitivs, (n!)! 0! n! 0. m 70 6! < 0 < 7! 00, tems que valr máxim de n é 6. k k k k k N k 8. (D) Se 0 N < 0 entã 0 N < 0 enquant que 0 < 0. Daí, a 00 peraçã de dividir pr 00 reduz mais a quantidade de dígits d que a peraçã de extrair a raiz quadrada quand númer pssui mais que cinc dígits. pós as primeiras perações, númer que aparece na tela é n máxim 0, 00 x. Se nas próximas perações númer nã fr dividid pr 00, precisarems de n máxim quatr perações parter um númer menr que. Se na próxima peraçã dividirms pr 00, bterems 0,00 e nesse cas precisarems de n máxim três perações parterms um númer menr que. 9. () Nte que a sma de n númers inteirs psitivs distints é menr u igual a n n( n ) n( n ). ssim, devems ter 0 n 6. Pdems escrever 0 cm sma de n inteirs psitivs distints da seguinte frma: 0 L ( n ) ( 0 ( L ( n )) ) (a última parcela é 0 ( (n )), pis 0 (n ) n 0 ( (n )) n > n. ssim s pssíveis valres de n sã,,,, 6, um ttal de 6 valres. 0. (E) N cnjunt {, 0, 0} pdems esclher n máxim dis númers. N cnjunt {,,, } pdems esclher n máxim númers. Em cada um ds cnjunts {6, }, {7, }, {8, 6} e {9, 8} pdems esclher n máxim númers. Lg, ttal de númers que pdems esclher é n máxim. Um exempl de tal cnjunt é {,,,,,,,,, 6, 7, 8, 9, 0}.. () m triângul D é isósceles cm D D e M é pnt médi dase, DM é também altura, u seja, m ( DM ˆ ) 90. m iss, quadriláter MD é inscritível em um círcul de diâmetr D. O N M D Send O centr desse círcul, a crda M é perpendicular à reta que passa pr O e pel seu pnt médi N. ssim, M é perpendicular a ON, u seja, M é perpendicular a D. ssim, N é altura e mediana d triângul M, que implica M isósceles cm M. Mas, lembrand que M é pnt médi da hiptenusa de, tems M M M. Lg triângul M é equiláter e ˆ ˆ m ( ) m( M ) 60. Lg m ( ˆ ) XXXIII Olimpíada rasileira de Matemática Primeira Fase Gabarit Nível

6 . (D) Send a e b inteirs, utilizand binômi de Newtn tems k 0 t 0 ( ) a b ( ) a b a e b k 0 k k 0 t k 0 t ssim, k 0 t 0 t ( ) ( ) a b k 0 k k 0 t k 0 t 00 a b a b a b ( a b) e ( ) b a ( b a).. () m < a > 0, a é pel mens 0. Substituind a c 0 a 0 0, encntrams 0 b c 0 b c 0 0 e pdems tmar b c (D) Sejam, e s cnjunts ds vértices ds três plígns, de 8, e 8 lads, respectivamente. Utilizarems X para dentar a quantidade de elements d cnjunt X. Entã querems calcular ( ). Mas cnsiderand que s plígns têm um vértice em cmum, a quantidade de vértices cmuns ds plígns de m e n lads é igual a mdc(m,n), e mesm resultad pde ser generalizad para mais que dis plígns. ssim, resultad pedid é 8 8 (mdc(8,) mdc(8,8) mdc(,8)) mdc(8,,8) 8 ( 6) 8. É clar que vcê pde reslver prblema cm um bm desenh: t. (E) m ( 8 ) ( ) ( ), triângul é retângul em. m quadriláter D é inscritível, ângul D também é ret, e é um diâmetr d círcul circunscrit a D. Enfim, cm D é metade d diâmetr, tems m(dâ) 60º e ˆ m ( D) 0. Lg ˆ m ( D) 0 e m ( D ˆ ) XXXIII Olimpíada rasileira de Matemática Primeira Fase Gabarit Nível

7 0º 60º E 60º 0º Send α m( ˆ ), tems, pela lei ds sens, D E E senα sen(80 0 α) sen(0 α) /senα (sen 0 csα cs0 senα) /senα ctgα XXXIII Olimpíada rasileira de Matemática Primeira Fase Gabarit Nível 7