Geometria Espacial Curso de Licenciatura em Matemática parte II. Prof.a Tânia Preto Departamento Acadêmico de Matemática UTFPR

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1 Geometria Espacial Curso de Licenciatura em Matemática parte II Prof.a Tânia Preto Departamento Acadêmico de Matemática UTFPR

2 1. Paralelismo de Retas L20 Postulado das Paralelas ( de Euclides ) Por um ponto, existe uma única reta paralela a uma reta dada. L21 Transitividade do paralelismo de retas Se duas retas são paralelas a uma terceira, então elas são paralelas entre si. ( a // c e b // c ) ( a // b ) (ver dem)

3 2. Paralelismo entre retas e planos L22 Definição Uma reta é paralela a um plano se, e somente se, eles não têm ponto em comum. a // α a α = L23 Teorema da existência de retas e planos paralelos Condição suficiente: Se uma reta não está contida num plano e é paralela a uma reta desse plano então ela é paralela ao plano. (ver dem)

4 2. Paralelismo entre retas e planos L24 Teorema da existência de retas e planos paralelos (outro enunciado) Se duas retas são paralelas e distintas, todo plano que contém uma e não contém a outra é paralelo a essa outra. Condição suficiente: Para uma reta não contida no plano, ser paralela a esse plano, ela deve ser paralela a uma reta do plano. Condição necessária: Se uma reta é paralela a um plano então ela é paralela a uma reta do plano.

5 2. Paralelismo entre retas e planos Teorema (outro enunciado) - Demonstração Se uma reta é paralela a um plano então ela é paralela a uma reta do plano.

6 3. Posições relativas de uma reta e um plano L26 Posições relativas Uma reta e um plano podem ter em comum: 1º ) Dois pontos distintos: A reta está contida no plano. a α a α = a (reta a contém dois pontos) 2º ) Um único ponto: A reta e o plano são concorrentes ou a reta e o plano são secantes. a α = {P} 3º ) Nenhum ponto comum: A reta e um plano são paralelos. a // α a α =

7 4. Retas Reversas L27 Problemas envolvendo duas retas reversas (r e s) e um ponto P devem ser analisados em três casos: 1º caso: O ponto pertence a uma das retas. 2º caso: O ponto e uma das retas determinam um plano paralelo a outra reta. Ex: α = (r, P) e a // s 3º caso: O ponto e qualquer uma das retas determinam um plano não paralelo a outra reta. α = (r, P) e α não paralelo a s = (s, P) e não paralelo a r

8 L28 Definição: 5. Paralelismo entre planos Dois planos são paralelos se, e somente se, eles não têm ponto comum ou são iguais (coincidentes). α // β α = β ou α β =

9 5. Paralelismo entre planos L29 Teorema da existência planos paralelos Condição suficiente: Se um plano contém duas retas concorrentes, ambas paralelas a outro plano, então esses planos são paralelos. (ver dem)

10 5. Paralelismo entre planos Condição necessária e suficiente: Se dois planos distintos são paralelos, então um deles contém duas retas concorrentes, ambas paralelas ao outro. Segue então a condição: Uma condição necessária e suficiente para que dois planos distintos sejam paralelos é que um deles contenha duas retas concorrentes, ambas paralelas ao outro.

11 6. Posições relativas de dois planos L30 Posições relativas Dois planos podem ocupar as seguintes posições relativas:

12 6. Posições relativas de dois planos 6.2 Exemplos (ex. 53) Se dois planos paralelos interceptam um terceiro, então as interseções são paralelas.

13 6. Posições relativas de dois planos 6.2 Exemplos (cont.) (ex. 56) Teorema da Unicidade: Por um ponto fora de um plano, passa um único plano paralelo ao plano dado. (ver dem.)

14 7. Três retas reversas duas a duas L31 Problemas envolvendo retas reversas: Três retas (r, s, t) reversas, duas a duas, podem ser analisadas de duas formas:

15 8. Ângulo de duas retas Retas Ortogonais L32 Postulado da separação dos pontos de um plano Uma reta r de um plano, separa esse plano em dois subconjuntos e tais que:

16 8. Ângulo de duas retas Retas Ortogonais L33 Ângulo de duas retas quaisquer

17 8. Ângulo de duas retas Retas Ortogonais L35 Teoremas sobre ângulos de lados paralelos a) Se dois ângulos tem os lados com sentidos respectivamente concordantes, então eles são congruentes. ver dem.

18 8. Ângulo de duas retas Retas Ortogonais L35 Teoremas sobre ângulos de lados paralelos b) Se dois ângulos têm os lados com sentidos respectivamente discordantes, então eles são congruentes. É uma aplicação do teorema do item a para ângulos opostos pelo vértice:

19 8. Ângulo de duas retas Retas Ortogonais L35 (cont.) c) Se dois ângulos são tais que um lado de um deles tem sentido concordante com um lado do outro e os outros dois lados tem sentidos discordantes, então eles são suplementares.

20 8. Ângulo de duas retas Retas Ortogonais L35 (cont.) - Conclusões

21 8. Ângulo de duas retas Retas Ortogonais L36 Retas Ortogonais - Definição

22 Geometria Espacial - Perpendicularidade 1. Reta e plano perpendiculares L37 Definição Uma reta e um plano são perpendiculares se, e somente se, eles tem um ponto comum e a reta é perpendicular a todas as reta do plano que passam por esse ponto comum. Se uma reta a é perpendicular a um plano α, o traço de a em α é chamado pé da perpendicular.

23 Geometria Espacial - Perpendicularidade 1. Reta e plano perpendiculares L38 Consequência da Definição Se uma reta é perpendicular a um plano, então ela forma ângulo reto com qualquer reta do plano.

24 Geometria Espacial - Perpendicularidade 1. Reta e plano perpendiculares L39 Teorema fundamental (condição suficiente) Se uma reta é perpendicular a duas retas concorrentes de um mesmo plano, então ela é perpendicular ao plano. (ver dem)

25 Geometria Espacial - Perpendicularidade 1. Reta e plano perpendiculares L40 Generalização do Teorema fundamental Se uma reta forma ângulo com duas retas concorrentes de um plano, então ela é perpendicular ao plano.

26 Geometria Espacial - Perpendicularidade 1. Reta e plano perpendiculares Condição necessária e suficiente Uma condição necessária e suficiente para que uma reta seja perpendicular a uma plano é formar um ângulo reto com duas retas concorrentes do plano.

27 Geometria Espacial - Perpendicularidade 1. Reta e plano perpendiculares Exemplo (ex.68) Sejam a, b e c três retas no espaço tais que a b e c a. Que se pode concluir sobre as posições relativas das retas b e c?

28 Geometria Espacial - Perpendicularidade L41 Definição 1. Planos perpendiculares Um plano α é perpendicular a um plano β se, e somente se, α contém uma reta perpendicular a β. A existência de um plano perpendicular a outro baseia-se na existência de uma reta perpendicular a um plano.

29 Geometria Espacial - Perpendicularidade L42 Teorema 1. Planos perpendiculares Se dois planos são perpendiculares entre si e uma reta de um deles é perpendicular a interseção dos planos, então essa reta é perpendicular ao outro lado.

30 Geometria Espacial - Perpendicularidade 1. Planos perpendiculares L43 Observações 1ª) Pela definição, se uma reta é perpendicular a um plano, qualquer outro plano que a contenha é perpendicular ao primeiro. 2ª) Condição necessária e suficiente: Uma condição necessária e suficiente para que dois planos secantes sejam perpendiculares é que toda a reta de um deles, perpendicular a interseção, seja perpendicular ao outro. 3ª) Planos oblíquos: Dois planos secantes, não perpendiculares são dito oblíquos.

31 Geometria Espacial - Perpendicularidade Exemplo 1. Planos perpendiculares (ex.85) Se dois planos são perpendiculares entre si e uma reta perpendicular a um deles tem um ponto comum com o outro, então essa reta está contida nesse outro plano.