Perpendicularismo no Espaço. Geometria Básica Profa Lhaylla Crissaff

Transcrição

1 Perpendicularismo no Espaço Geometria Básica Profa Lhaylla Crissaff

2 Perpendicularismo entre retas Definição: Como duas retas concorrentes estão sempre num mesmo plano, definimos o ângulo entre as retas concorrentes r e s como a medida do menor ângulo entre os quatro determinados por r e s.

3 Perpendicularismo entre retas Caso r e s sejam paralelas, dizemos que o ângulo entre elas é 0º. Caso r e s seja reversas: Seja P um ponto qualquer. Por P trace retas r e s paralelas às retas r e s, respectivamente. O ângulo entre r e s é definido como o ângulo entre as retas concorrentes r e s. Pode-se provar que esta definição independe de P.

4 Perpendicularismo entre retas Definição: Dizemos que duas retas concorrentes ou reversas são perpendiculares se o ângulo entre elas for 90º.

5 Proposição 1: Se r é perpendicular a s e s é paralela a t, então r é perpendicular a t.

6 Perpendicularismo entre reta e plano Definição: Dizemos que uma reta é perpendicular a um plano se ela for perpendicular a todas as retas contidas nesse plano. Caso contrário, dizemos que ela é oblíqua ao plano. Notação: para perpendicularismo entre retas, entre retas e plano e mais adiante, entre planos.

7 Proposição 2: Se uma reta é perpendicular a duas retas concorrentes de um plano, então ela é perpendicular ao plano.

8 Proposição 3: Se uma reta r é perpendicular a um plano e paralela a uma reta s, então s é perpendicular a.

9 Proposição 4: Se uma reta r é perpendicular a um plano e é paralelo a um plano, então r é perpendicular a.

10 Proposição 5: Se duas retas distintas r e s são perpendiculares a um plano, então r é paralela a s.

11 Proposição 6: Se dois planos distintos e são perpendiculares a uma reta r, então é paralelo a.

12 Proposição 7: Dados uma reta r e um ponto P, existe um único plano passando por P e perpendicular a r.

13 Proposição 7: Dados um plano e um ponto P fora de, existe uma única reta passando por P e perpendicular a.

14 Perpendicularismo entre retas Definição: Dados um plano e um ponto P fora de. Seja Q o ponto em que a perpendicular a passando por P intersecta. O ponto Q é chamado de pé da perpendicular baixada de P ao plano.

15 Perpendicularismo entre planos Definição: Sejam e planos que se cortam e seja r a reta de interseção entre eles. Tome um ponto A pertencente a r e chame de o plano que passa por A e é perpendicular a r. Este plano intersecta e segundo as retas s e t, respectivamente. O ângulo entre e é definido como o ângulo entre as retas s e t. Pode-se mostrar que o ângulo não depende da escolha do ponto A.

16 Perpendicularismo entre planos Definição: Dois planos são ditos perpendiculares se o ângulo entre eles for de 90º.

17 Proposição 8: Se um plano contém uma reta perpendicular a outro plano, então esses planos são perpendiculares.

18 Proposição 9: Se uma reta r e um plano são perpendiculares a um plano, então r está contida em ou r é paralela a.

19 Proposição 10: Se dois planos secantes são perpendiculares a um plano, então a reta de interseção entre eles é perpendicular a esse plano.

20 Ângulo entre reta e plano Considere uma reta r que corta um plano no ponto A. Se r, então existem infinitos planos perpendiculares a contendo r. E se r é oblíqua ao plano?

21 Proposição 11: Se uma reta é oblíqua a um dado plano, existe um único plano contendo a reta e perpendicular a esse plano.

22 Ângulo entre reta e plano Definição: Se uma reta é perpendicular a um plano, dizemos que eles formam um ângulo de 90º. Se r é oblíqua a um plano, e é o plano contendo r e perpendicular a, definimos o ângulo entre r e como sendo o ângulo entre r e s, onde s é a interseção de e.

23 Distâncias no Espaço Definição: Considere um ponto P e uma reta r. Se P pertence a r, a distância de P a r é zero. Se P não pertence a r, seja o plano que contém r e P, e seja s a única reta que de que passa por P e é perpendicular a r. Seja Q o ponto de interseção de r e s. A distância de P a r é definido como a medida do segmento PQ.

24 Distâncias no Espaço Definição: Considere um ponto P e um plano. Se P pertence a, a distância de P a é zero. Se P não pertence a, seja Q o pé da perpendicular baixada de P a. A distância de P a é definida como a medida do segmento PQ.

25 Distâncias no Espaço Definição: Considere uma reta r e um plano. Se r intersecta, a distância entre r e é zero. Se P não corta, ou seja, r é paralela a, então para quaisquer pontos A e B em r, a distância de A a é igual a distância de B a. Definimos a distância de r a como sendo a distância de qualquer ponto de r a.

26 Distâncias no Espaço Definição: Considere dois planos e. Se intersecta, a distância de a é zero. Se é paralelo a, é possível mostrar que dados dois pontos A e B quaisquer do plano, a distância de A a é igual a distância de B a, ou seja, esse valor não depende do ponto escolhido. A distância de a é definida como a distância de um ponto qualquer de a (ou vice-versa).

27 Distâncias no Espaço Definição: Se duas retas são concorrentes, a distância de uma a outra é zero. Se duas retas r e s são paralelas, então é possível mostrar que dados dois pontos A e B de r, a distância entre A e s é igual a distância entre B e s, ou seja, esse valor não depende do ponto. Nesse caso, a distância de r a s é definida como a distância de um ponto qualquer de r a s. Caso r e s sejam reversas, sabemos que existem dois planos paralelos que contém tais retas. A distância entre as retas r e s é igual a distância entre os planos paralelos.

28 Exercícios?