Da aula passada... Posição relativa entre duas retas no espaço: { paralelas concorrentes COPLANARES. NÃO COPLANARES = reversas

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1 Simulados Na semana passada foi divulgado o primeiro simulado de gaal: vetores e produto escalar. Hoje será divulgado o segundo simulado: retas, planos e produto vetorial. Procure Monitoria GAAL 2013/1 UFMG no facebook. Tente resolver o simulado com seriedade e compare suas respostas com as que serão divulgadas. Qualquer dúvida, procure o professor ou a monitoria.

2 Da aula passada... Posição relativa entre duas retas no espaço: COPLANARES { paralelas concorrentes NÃO COPLANARES = reversas

3 Retas paralelas r e s são retas paralelas se elas são coplanares e se r s =.

4 Retas concorrentes r e s são concorrentes se r s = {P}. Neste caso r e s são obrigatoriamente coplanares.

5 Retas reversas r e s são retas reversas se NÃO existe um plano que contém estas duas retas. Retas reversas sempre moram em planos paralelos distintos α e β tais que s α e r β. E sempre existe uma reta t perpendicular comum a r e a s.

6 Retas reversas Observe a reta r paralela a r traçada pelo ponto s t e também observe a reta s paralela a s traçada por r t. O plano α é o plano que contém as retas concorrentes s e r. O plano β é o plano que contém as retas concorrentes r e s.

7 Distância entre retas reversas Sejam r e s são retas reversas, seja t é a reta perpendicular comum e sejam P = r t e Q = s t. Então dist(r, s) = dist(p, Q) Esta é a menor distância entre um ponto de r e um ponto de s.

8 Exemplo que ficou como dever de casa Exemplo 2: Considere a reta r que passa pelos pontos A = (3, 5, 1) e B = (7, 13, 3). Também considere a reta s que passa pelos pontos P = ( 15, 6, 6) e Q = (15, 14, 19). (a) Determine equações paramétricas das retas r e s. (b) Verifique se as retas r e s são paralelas, concorrentes ou reversas. (c) Determine a distância entre r e s exibindo pontos X r e Y s tais que dist(r, s) = dist(x, Y ).

9 Planos no Espaço Um plano pode ser dado de várias maneiras:

10 Planos no Espaço Um plano pode ser dado de várias maneiras: Por 3 pontos não colineares passa um único plano.

11 Planos no Espaço Um plano pode ser dado de várias maneiras: Por 3 pontos não colineares passa um único plano. Dadas duas retas concorrentes.

12 Planos no Espaço Um plano pode ser dado de várias maneiras: Por 3 pontos não colineares passa um único plano. Dadas duas retas concorrentes. Dadas duas retas paralelas.

13 Planos no Espaço Um plano pode ser dado de várias maneiras: Por 3 pontos não colineares passa um único plano. Dadas duas retas concorrentes. Dadas duas retas paralelas. Dado um ponto e uma reta, existe um único plano ortogonal a reta e que passa por este ponto.

14 Planos no Espaço Um plano pode ser dado de várias maneiras: Por 3 pontos não colineares passa um único plano. Dadas duas retas concorrentes. Dadas duas retas paralelas. Dado um ponto e uma reta, existe um único plano ortogonal a reta e que passa por este ponto. Algumas destas situações podem ser caracterizadas pelo produto escalar. Outras, pelo produto vetorial.

15 Planos no Espaço Um plano pode ser dado de várias maneiras: Por 3 pontos não colineares passa um único plano. Dadas duas retas concorrentes. Dadas duas retas paralelas. Dado um ponto e uma reta, existe um único plano ortogonal a reta e que passa por este ponto. Algumas destas situações podem ser caracterizadas pelo produto escalar. Outras, pelo produto vetorial. Vamos começar discutindo a última situação.

16 Planos, dado um ponto e um vetor normal Seja dado um ponto P 0 e um vetor N 0. Existe um único plano α que passa por P 0 e que é ortogonal ao vetor N.

17 Planos, dado um ponto e um vetor normal Seja dado um ponto P 0 e um vetor N 0. Existe um único plano α que passa por P 0 e que é ortogonal ao vetor N. Nesta situação N é um vetor normal ao plano.

18 Planos, dado um ponto e um vetor normal Um ponto P = (x, y, z) pertence a este plano se os vetores N = (a, b, c) e P 0 P = (x x 0, y y 0, z z 0 ) são perpendiculares.

19 Planos, dado um ponto e um vetor normal Um ponto P = (x, y, z) pertence a este plano se os vetores N = (a, b, c) e P 0 P = (x x 0, y y 0, z z 0 ) são perpendiculares. N, P 0 P = 0

20 Planos, dado um ponto e um vetor normal Um ponto P = (x, y, z) pertence a este plano se os vetores N = (a, b, c) e P 0 P = (x x 0, y y 0, z z 0 ) são perpendiculares. N, P 0 P = 0 a(x x 0 ) + b(y y 0 ) + c(z z 0 ) = 0

21 Planos, dado um ponto e um vetor normal Um ponto P = (x, y, z) pertence a este plano se os vetores N = (a, b, c) e P 0 P = (x x 0, y y 0, z z 0 ) são perpendiculares. N, P 0 P = 0 a(x x 0 ) + b(y y 0 ) + c(z z 0 ) = 0 ax + by + cz = ax 0 + by 0 + cz 0

22 Planos, dado um ponto e um vetor normal P α N, P 0 P = 0 ax + by + cz = ax 0 + by 0 + cz 0

23 Planos, dado um ponto e um vetor normal P α N, P 0 P = 0 ax + by + cz = ax 0 + by 0 + cz 0 O lado direito desta igualdade é uma constante d = ax 0 + by 0 + cz 0.

24 Planos, dado um ponto e um vetor normal P α N, P 0 P = 0 ax + by + cz = ax 0 + by 0 + cz 0 O lado direito desta igualdade é uma constante d = ax 0 + by 0 + cz 0. Daí um ponto P = (x, y, z) pertence ao plano se ax + by + cz = d

25 Planos, dado um ponto e um vetor normal Exemplo: Determine a equação geral do plano que passa por P 0 = (2, 3, 4) e que é ortogonal ao vetor N = (5, 2, 3)

26 Planos, dado um ponto e um vetor normal Exemplo: Determine a equação geral do plano que passa por P 0 = (2, 3, 4) e que é ortogonal ao vetor N = (5, 2, 3) Solução. A equação geral do plano é da forma ax + by + cz = d, em que os coeficientes a, b e c são as coordenadas de um vetor ortogonal ao plano.

27 Planos, dado um ponto e um vetor normal Exemplo: Determine a equação geral do plano que passa por P 0 = (2, 3, 4) e que é ortogonal ao vetor N = (5, 2, 3) Solução. A equação geral do plano é da forma ax + by + cz = d, em que os coeficientes a, b e c são as coordenadas de um vetor ortogonal ao plano. Neste caso, a equação do plano tem a forma 5x 2y + 3z = d.

28 Planos, dado um ponto e um vetor normal Exemplo: Determine a equação geral do plano que passa por P 0 = (2, 3, 4) e que é ortogonal ao vetor N = (5, 2, 3) Solução. A equação geral do plano é da forma ax + by + cz = d, em que os coeficientes a, b e c são as coordenadas de um vetor ortogonal ao plano. Neste caso, a equação do plano tem a forma 5x 2y + 3z = d. Substituindo o ponto P 0 = (2, 3, 4), calculamos d.

29 Planos, dado um ponto e um vetor normal Exemplo: Determine a equação geral do plano que passa por P 0 = (2, 3, 4) e que é ortogonal ao vetor N = (5, 2, 3) Solução. A equação geral do plano é da forma ax + by + cz = d, em que os coeficientes a, b e c são as coordenadas de um vetor ortogonal ao plano. Neste caso, a equação do plano tem a forma 5x 2y + 3z = d. Substituindo o ponto P 0 = (2, 3, 4), calculamos d ( 4) = d d = 8

30 Planos, dado um ponto e um vetor normal Exemplo: Determine a equação geral do plano que passa por P 0 = (2, 3, 4) e que é ortogonal ao vetor N = (5, 2, 3) Solução. A equação geral do plano é da forma ax + by + cz = d, em que os coeficientes a, b e c são as coordenadas de um vetor ortogonal ao plano. Neste caso, a equação do plano tem a forma 5x 2y + 3z = d. Substituindo o ponto P 0 = (2, 3, 4), calculamos d ( 4) = d d = 8 Equação do plano 5x 2y + 3z = 8.

31 Equação geral do plano ax + by + cz = d

32 Equação geral do plano ax + by + cz = d Para escrever a equação geral de um plano, precisamos de um vetor N = (a, b, c) ortogonal ao plano.

33 Equação geral do plano ax + by + cz = d Para escrever a equação geral de um plano, precisamos de um vetor N = (a, b, c) ortogonal ao plano. Neste caso, este é um vetor normal ao plano.

34 Equação geral do plano ax + by + cz = d Para escrever a equação geral de um plano, precisamos de um vetor N = (a, b, c) ortogonal ao plano. Neste caso, este é um vetor normal ao plano. Observe que N 0.

35 Equação geral do plano ax + by + cz = d Para escrever a equação geral de um plano, precisamos de um vetor N = (a, b, c) ortogonal ao plano. Neste caso, este é um vetor normal ao plano. Observe que N 0. Em muitas situações, este vetor normal será calculado pelo produto vetorial.

36 Equação geral do plano ax + by + cz = d Para escrever a equação geral de um plano, precisamos de um vetor N = (a, b, c) ortogonal ao plano. Neste caso, este é um vetor normal ao plano. Observe que N 0. Em muitas situações, este vetor normal será calculado pelo produto vetorial. A equação geral de plano não é única, pois todo múltiplo não nulo de um vetor normal também é um vetor normal. (multiplicando a equação ax + by + cz = d por um número não nulo, não alteramos o seu conjunto solução, mas mudamos o vetor normal.)

37 Produto Vetorial em R 3 Dados dois vetores V e W, queremos achar um vetor V W ortogonal a V e a W.

38 Produto Vetorial em R 3 Dados dois vetores V e W, queremos achar um vetor V W ortogonal a V e a W. Pergunta: Quantos vetores perpendiculares a V e a W existem?

39 Produto Vetorial em R 3 Dados dois vetores V e W, queremos achar um vetor V W ortogonal a V e a W. Pergunta: Quantos vetores perpendiculares a V e a W existem? Como são vários, mas todos paralelos, precisamos apenas fixar o comprimento e o sentido.

40 Produto Vetorial em R 3 Por definição, o comprimento de V W é a área do paralelogramo definido por V e W. V W = V W sen(θ)

41 Produto Vetorial em R 3 Por definição, o comprimento de V W é a área do paralelogramo definido por V e W. V W = V W sen(θ) Já temos a norma e a direção de V W. Falta fixar o sentido.

42 Produto Vetorial em R 3 Por definição, o sentido de V W é tal que: V, W e V W, nesta ordem, satisfazem a regra da mão direita.

43 Produto Vetorial em R 3 Portanto o produto vetorial V W é caracterizado por: (norma) V W = V W sen(θ). (direção) V W é perpendicular ao plano de V e W. (sentido) V, W e V W satisfazem a regra da mão direita.

44 Produto Vetorial em R 3 Exemplo: Calcule o produto vetorial entre V = ( 1, 3, 0) e W = (2, 1, 5).

45 Produto Vetorial em R 3 Exemplo: Calcule o produto vetorial entre V = ( 1, 3, 0) e W = (2, 1, 5). Solução.?????????????

46 Produto Vetorial em R 3 Exemplo: Calcule o produto vetorial entre V = ( 1, 3, 0) e W = (2, 1, 5). Solução.????????????? É muito difícil calcular o produto vetorial usando a definição que foi dada.

47 Produto Vetorial em R 3 Exemplo: Calcule o produto vetorial entre V = ( 1, 3, 0) e W = (2, 1, 5). Solução.????????????? É muito difícil calcular o produto vetorial usando a definição que foi dada. Para fazer este cálculo, vamos explorar primeiro as propriedades de V W.

48 Propriedades do produto vetorial Sejam V e W vetores em R 3. Então

49 Propriedades do produto vetorial Sejam V e W vetores em R 3. Então 1. V W = (W V ).

50 Propriedades do produto vetorial Sejam V e W vetores em R 3. Então 1. V W = (W V ). 2. V W = 0 se

51 Propriedades do produto vetorial Sejam V e W vetores em R 3. Então 1. V W = (W V ). 2. V W = 0 se V = αw ou se W = αv.

52 Propriedades do produto vetorial Sejam V e W vetores em R 3. Então 1. V W = (W V ). 2. V W = 0 se V = αw ou se W = αv. 3. V, V W = W, V W

53 Propriedades do produto vetorial Sejam V e W vetores em R 3. Então 1. V W = (W V ). 2. V W = 0 se V = αw ou se W = αv. 3. V, V W = W, V W = 0.

54 Propriedades do produto vetorial Sejam V e W vetores em R 3. Então 1. V W = (W V ). 2. V W = 0 se V = αw ou se W = αv. 3. V, V W = W, V W = Se α R, (αv ) W = V (αw ) = α(v W ).

55 Propriedades do produto vetorial Sejam V e W vetores em R 3. Então 1. V W = (W V ). 2. V W = 0 se V = αw ou se W = αv. 3. V, V W = W, V W = Se α R, (αv ) W = V (αw ) = α(v W ). 5. V (W + U) = V W + V U.

56 Produto Vetorial em coordenadas Vetores canônicos: i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1).

57 Produto Vetorial em coordenadas Vetores canônicos: i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1). Se V = (a, b, c), então podemos escrever V = a i + b j + c k

58 Produto Vetorial em coordenadas i i = 0 j i = k k i = j i j = k j j = 0 k j = i i k = j j k = i k k = 0

59 Produto Vetorial em coordenadas V = (v 1, v 2, v 3 ) = v 1 i + v 2 j + v 3 k W = (w 1, w 2, w 3 ) = w 1 i + w 2 j + w 3 k

60 Produto Vetorial em coordenadas V = (v 1, v 2, v 3 ) = v 1 i + v 2 j + v 3 k W = (w 1, w 2, w 3 ) = w 1 i + w 2 j + w 3 k Aplicando a propriedade distributiva V W = (v 2 w 3 v 3 w 2, v 3 w 1 v 1 w 3, v 1 w 2 v 2 w 1 )

61 Produto Vetorial em coordenadas V = (v 1, v 2, v 3 ) = v 1 i + v 2 j + v 3 k W = (w 1, w 2, w 3 ) = w 1 i + w 2 j + w 3 k Aplicando a propriedade distributiva V W = (v 2 w 3 v 3 w 2, v 3 w 1 v 1 w 3, v 1 w 2 v 2 w 1 ) É mais fácil memorizar o seguinte determinante simbólico V W = det i j k v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3

62 Aquele exemplo, novamente Exemplo: Calcule o produto vetorial entre V = ( 1, 3, 0) e W = (2, 1, 5).

63 Aquele exemplo, novamente Exemplo: Calcule o produto vetorial entre V = ( 1, 3, 0) e W = (2, 1, 5). Agora ficou fácil:

64 Aquele exemplo, novamente Exemplo: Calcule o produto vetorial entre V = ( 1, 3, 0) e W = (2, 1, 5). Agora ficou fácil: V W = det i j k

65 Aquele exemplo, novamente Exemplo: Calcule o produto vetorial entre V = ( 1, 3, 0) e W = (2, 1, 5). Agora ficou fácil: V W V W = det i j k = i j k

66 Aquele exemplo, novamente Exemplo: Calcule o produto vetorial entre V = ( 1, 3, 0) e W = (2, 1, 5). Agora ficou fácil: V W V W = det i j k = i j k V W = 15 i + 5 j + ( 7) k = (15, 5, 7).

67 Aquele exemplo, novamente Exemplo: Calcule o produto vetorial entre V = ( 1, 3, 0) e W = (2, 1, 5). Agora ficou fácil: V W V W = det i j k = i j k V W = 15 i + 5 j + ( 7) k = (15, 5, 7). Tire a prova, verificando que V, V W = W, V W = 0.

68 Finalizando... Bom final de semana!! Não esqueça de fazer o simulado. E não deixe de postar as suas dúvidas no grupo de monitoria do facebook.