Retas e planos no espaço

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1 Retas e planos no espaço Jorge M. V. Capela, Marisa V. Capela Instituto de Química - UNESP Araraquara, SP capela@iq.unesp.br Araraquara, SP

2 1 Retas e Segmentos de Reta no Espaço 2

3 Equação vetorial e paramétrica de uma reta Se P = (x, y, z), A = (a 1, a 2, a 3 ) e B = (b 1, b 2, b 3 ), então AP = t v, < t < x = a 1 + t(b 1 a 1 ) y = a 2 + t(b 2 a 2 ) z = a 3 + t(b 3 a 3 )

4 Parametrizando um segmento de reta Parametrização do segmento que liga os pontos P = ( 3, 2, 3) e Q = (1, 1, 4). x = 3 + 4t y = 2 3t z = 3 + 7t, 0 t 1

5 A reta como sendo a trajetória de uma partícula no espaço Se a reta for a trajetória de uma partícula no espaço saindo da posição P 0 com vetor posição r 0 e movendo-se na direção do vetor v, então o vetor posição da partícula para cada instante t é dado por r(t) = r 0 + t v ou ainda, r(t) = r 0 + t v v v, sendo v a velocidade e v o vetor unitário que define a direção e v o sentido do movimento em linha reta.

6 Exemplo 1 Retas e Segmentos de Reta no Espaço Um helicóptero voará diretamente de um heliponto na origem em direção ao ponto (1,1,1) com módulo de velocidade de 30 m/s. Qual é a posição do helicóptero depois de 10 s? Qual a distância percorrida? Observe que r 0 = (0, 0, 0) e u = i + j + k u 3 u = 3 ( i + j + k) é o vetor unitário que define a direção e o sentido do movimento em linha reta.

7 Distância entre um ponto e uma reta no espaço Distância de S à reta: d = PS senθ d = PS v v

8 Exemplo 2 Retas e Segmentos de Reta no Espaço Encontre a distância do ponto S = (1, 1, 5) até à reta x = 1 + t y = 3 t z = 2t

9 Equação para um plano Seja n = (a, b, c) um vetor normal ao plano e P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) um ponto pertencente ao plano. Então: sendo d = ax 0 + by 0 + cz 0. n P 0 P = 0 ax + by + cz = d

10 Distância de um ponto a um plano

11 Distância de um ponto a um plano Se P é um ponto de um plano com vetor normal n, então a distância de qualquer ponto S até o plano é o comprimento da projeção ortogonal de PS em n: d = PS cos θ = n n PS cos θ = PS n n

12 Ângulo entre dois planos π 1 e π 2 O ângulo entre os dois planos π 1 e π 2 é definido como sendo o ângulo entre os respectivos vetores normais n 1 e n 2

13 Exemplo 3 Retas e Segmentos de Reta no Espaço Encontre a distância do ponto S = (1, 1, 3) ao plano 3x+2y+6z=6 Solução: Ponto do plano: x = 0, y = 0, P = (0, 0, 1) PS = (1, 1, 2) Vetor normal: n = (3, 2, 6) Distância: d = (1, 1, 2) (3, 2, 6) = 1 17 ( ) =

14 Exercícios Retas e Segmentos de Reta no Espaço 1) Encontre a equação da reta que passa pelo ponto P = (3, 4, 1) e é paralela ao vetor i + j + k 2) Encontre a equação da reta que passa pelo ponto (3, 2, 1) e é paralela à reta x = 1 + 2t, y = 2 t, z = 3t. 3) Encontre a equação da reta que passa pelo ponto (2, 3, 0) e é perpendicular aos vetores u = (1, 2, 3) e v = (3, 4, 5). 4) Encontre a equação do plano que passa por (2,4,5) e é perpendicular à reta x = 5 + t, y = 1 + 3t, z = 4t 5) Encontre o ponto de interseção das retas x = 2t + 1, y = 3t + 2, z = 4t +3 e x = s +2, y = 2s +4, z = 4s 1 e depois encontre a equação do plano determinado por essas retas.

15 6) Encontre a equação do plano que passa por P 0 = (2, 1, 1) e é perpendicular à reta dada pela interseção dos planos 2x +y z = 3 e x + 2y + z = 2. Observe que a interseção de dois planos é uma reta perpendicular aos vetores normais aos planos. 7) Encontre a distância do plano x + 2y + 6z = 1 ao plano x + 2y + 6z = 10. Observe que estes dois planos são paralelos. 8) Encontre a distância da reta x = 2 + t, y = 1 + t, z = t ao plano x + 2y + 6z = 10 9) Determine a interseção entre a reta x = 1 t, y = 3t, z = 1 + t e o plano 2x y + 3z = 6 10) encontre o ângulo entre os planos x + y = 1 e 2x + y 2z = 2.