4 Produto de vetores. 4.1 Produto Escalar. GA3X1 - Geometria Analítica e Álgebra Linear

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1 4 Produto de vetores 4.1 Produto Escalar Definição (Medida angular): Sejam u e vetores não-nulos. Chama-se medida angular entre u e a medida θ do ângulo PÔQ, sendo (O,P) e (O,Q), respectivamente, representantes quaisquer de u e com mesma origem. Sobre o número θ impõe-se a restrição 0 θ π. Indica-se θ por ang( u, ). u P θ Q O Sendo θ = ang( u,), vamos exprimir cosθ em termos de u e, ou de suas coordenadas. Como QP = u, aplicando a Lei dos Cossenos ao triângulo POQ: u 2 = u u cosθ (1) Sendo u = (x 1,y 1,z 1 ) e = (x 2,y 2,z 2 ), podemos escrever: u 2 = (x 1 x 2,y 1 y 2,z 1 z 2 ) 2 u 2 = (x 1 x 2 ) 2 +(y 1 y 2 ) 2 +(z 1 z 2 ) 22 u 2 = (x 1 x 2 ) 2 +(y 1 y 2 ) 2 +(z 1 z 2 ) 2 u 2 = x 2 1 2x 1 x 2 +x 2 2 +y 2 1 2y 1 y 2 +y 2 2 +z 2 1 2z 1 z 2 +z 2 2 u 2 = x 2 1 +y 2 1 +z 2 1 +x 2 2 +y 2 2 +z 2 2 2(x 1 x 2 +y 1 y 2 +z 1 z 2 ) u 2 = x 2 1 +y 2 1 +z x 2 2 +y 2 2 +z (x1 x 2 +y 1 y 2 +z 1 z 2 ) u 2 = u (x 1 x 2 +y 1 y 2 +z 1 z 2 ) Substituindo em (1) e simplificando, obtemos x 1 x 2 +y 1 y 2 +z 1 z 2 = u cosθ Definição (Produto escalar): Produto escalar dos vetores u e, indicado por u, é o número real tal que: (a) se u ou é nulo, u = 0; (b) se u e não são nulos e θ é a medida angular entre eles, u = u cos θ Proposição: (a) Se u e não são nulos e θ = ang( u, ), então cosθ = u u (b) Qualquer que seja o vetor u, u = u u 1

2 (c) Quaisquer que sejam os vetores u e, u u = 0 Proposição: Se, em relação a uma base ortonormal, u = (x 1,y 1,z 1 ) e = (x 2,y 2,z 2 ), então u = x 1 x 2 +y 1 y 2 +z 1 z 2 Exercício 4.1: Sejam, em relação à base canônica, u = (2,0, 3) e = (1,1,1). Calcule, em radianos, a medida angular entre u e. Exercício 4.2: Determine x para que os vetores u = (x,10,200) e = ( 10,x,0) sejam ortogonais. 2

3 G3X1 - Geometria nalítica e Álgebra Linear Propriedades Quaisquer que sejam os vetores u, e w e qualquer que seja o número real λ, valem as propriedades: (a) u ( + w) = u + u w (b) u (λ) = (λ u) = λ( u ) (c) u = u u (d) Se u 0, então u u > 0 Definição (Projeção ortogonal): Seja u um vetor não-nulo. Dado qualquer, o vetor p é chamado projeção ortogonal de sobre u, e indicado por proj u, se satisfaz as condições (a) p u (b) ( p) u O θ p C u Proposição: Seja u um vetor não-nulo. Qualquer que seja, existe e é única a projeção ortogonal de sobre u. Sua expressão em termos de u e é proj u = u u 2 u e a expressão de sua norma, proj u = u u Exercício 4.3: Dada a base ortonormal ( i, j, k), sejam u = 2 i 2 j + k e = 3 i 6 j. a) Obtenha a projeção ortogonal de sobre u. 3

4 G3X1 - Geometria nalítica e Álgebra Linear b) Determine p e q tais que = p + q, sendo p paralelo e q ortogonal a u. 4.2 Produto Vetorial Regras da mão direita e da mão esquerda Uma base E = ( u,, w) obedece à Regra da mão direita se, ao posicionarmos o indicador da mão direita na direção e sentido de u e o dedo médio na direção e sentido de, o polegar puder ser colocado na direção e sentido de w. Nesse caso, dizemos que E é uma base dextra. base canônica é uma base dextra. Com uma simples troca de mãos, obtém-se a Regra da mão esquerda. Uma base que obedece a ela é chamada sinistra. Definição (Produto vetorial): Considere que o espaço é orientado pela base canônica. O produto vetorial de u por é o vetor, indicado por u, tal que: (a) se u e são paralelos, então u = 0; (b) se u e não são paralelos e θ é a medida angular entre u e, então (b 1 ) u = u senθ, (b 2 ) u é ortogonal a u e a, (b 3 ) ( u,, u ) obedece à Regra da mão direita. Considere os vetores u = O e = O não paralelos, e a reta r, perpendicular ao plano O pelo ponto O. D r O u C Podemos ver, pela figura, que considerando apenas as condições (b 1 ) e (b 2 ), teríamos duas possibilidades para u : ser igual a OC ou ser igual a OD. Sendo assim, é a condição (b 3 ) que determina, entre as duas possibilidades, o produto vetorial u. Da condição (b 3 ), ( u,, u ) deve obedecer à Regra da Mão Direita. Portanto, u = OD. 4

5 Proposição: Se u = (x 1,y 1,z 1 ) e = (x 2,y 2,z 2 ), então i j k u = x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 Exercício 4.4: São dados u = (1,2,3) e = ( 1,1,2). Calcule u. Propriedades Quaisquer que sejam os vetores u, e w e qualquer que seja o número real λ: (a) u = u (b) u (λ) = (λ u) = λ( u ) (c) u ( + w) = u + u w e ( u+) w) = u w + w Interpretação geométrica do módulo do produto vetorial de dois vetores Geometricamente, o módulo do produto vetorial dos vetores u e mede a área do paralelogramo CD determinado pelos vetores u = e = C. C D h θ u Exercício 4.5: Determinar um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores u = (2, 6,3) e = (4,3,1). 5

6 Exercício 4.6: Dados os vetores u = (1,2, 1) e = (0, 1,3), calcular a área do paralelogramo determinado por 3 u e u. Exercício 4.7: Sejam os vetores u = (3,1, 1) e = (a,0,2). Calcular o valor de a para que a área do paralelogramo determinado por u e seja igual a

7 G3X1 - Geometria nalítica e Álgebra Linear Exercício 4.8: Calcular a área do triângulo de vértices(1, 2,1),(2, 1,4) ec( 1, 3,3) Duplos produtos vetoriais Proposição: Para quaisquer vetores u, e w, valem as igualdades (a) ( u ) w = ( w) u+( u w) (b) u ( w) = ( u w) ( u ) w 4.3 Produto Misto Observe na figura o paralelepípedo determinado pelos vetores u =, = D, w = E: u H G h E w D F C u Seja V o volume do paralelepípedo, S a área da base CD e h a altura correspondente. ssim, V = Sh = u h Por outro lado, h é a norma da projeção ortogonal de w sobre u, então Como w u = u w, h = proj u w = w u u V = u h = u w 7

8 Definição (Produto misto): O produto misto dos vetores u, e w, nessa ordem, é o número real u w, indicado por [ u,, w]: [ u,, w] = u w Exercício 4.9: Mostre que o volume de um tetraedro CD é igual a [ ], C, D. 6 Proposição: Sejam u = (x 1,y 1,z 1 ), = (x 2,y 2,z 2 ) e w = (x 3,y 3,z 3 ). Então, x 1 y 1 z 1 [ u,, w] = x 2 y 2 z 2 x 3 y 3 z 3 Corolário: Três vetores u, e w são paralelos a um mesmo plano se, e somente se, [ u,, w] = 0. Exercício 4.10: Considere o paralelepípedo da figura: H G E F C D Em relação à base canônica, = (1,0,1), E = (1,1,1) e D = (0,3,3). Calcule: a) o volume do paralelepípedo CDEFGH; b) o volume do tetraedro ED; c) a altura do tetraedro ED em relação à face DE. 8

9 Propriedades (a) O produto misto é trilinear, isto é, qualquer que sejam os vetores u, u 1, u 2,, 1, 2, w, w 1, w 2, e quaisquer se sejam os números reais α e β, [α u 1 +β u 2,, w] = α[ u 1,, w]+β[ u 2,, w] [ u,α 1 +β 2, w] = α[ u, 1, w]+β[ u, 2, w] [ u,,α w 1 +β w 2 ] = α[ u,, w 1 ]+β[ u,, w 2 ] (b) O produto misto é alternado, isto é, permutar dois vetores alterna seu sinal: [ u,, w] = [, u, w] = [, w, u] = [ u, w,] = [ w, u,] = [ w,, u] Proposição: Quaisquer que sejam u, e w, vale a igualdade u w = u w, ou seja, permutar os símbolos e não altera o resultado. Referências CMRGO, I.; OULOS, P. Geometria nalítica: um tratamento vetorial. São Paulo: Prentice Hall, STEINRUCH, ; WINTERLE, P. Geometria nalítica. São Paulo: Pearson Education do rasil,