LISTA DE EXERCÍCIOS #5 - ANÁLISE VETORIAL EM FÍSICA

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1 LISTA DE EXERCÍCIOS #5 - ANÁLISE VETORIAL EM FÍSICA PROBLEMAS-EXEMPLO 1. Determinar o comprimento de arco das seguintes curvas, nos intervalos especificados. (a) r(t) = t î + t ĵ, de t = a t =. Resolução 1. Da equação acima, temos x = t y = t dx dt = t Para determinar o comprimento de arco, precisamos de e então, t = t 1 (dx dt ) ( dy ) + dt dt (t ) + (6t) dt 9t + 6t dt t t + dt dy dt = 6t onde t = t é o módulo de t, que no intervalo considerado vale Assim, Para resolver a integral, definimos a variável t = t t t + dt u = t + du = t dt Assim, 1

2 u t u du u 1 t = u udu u 1 = [u ] u u 1 = [(t + ) ] = (8 8 ) 8( 1) que é o comprimento da curva considerada. (b) Curva = a sen θ (ver figura), de θ = a θ = θ f (θ f ). R: a [θ f senθ f ] Resolução. Nesse caso, temos = a sen θ O comprimento de arco de uma curva em polares é dado por θ θ 1 + d = a sen θ cos θ ( d ) então, temos = = a a ( a sen θ ) + ( a sen θ cos θ ) a sen 6 θ + a sen θ θ cos sen θ sen θ sen θ + cos θ

3 Para resolver a integral, usamos a seguinte identidade trigonométrica cos(a + b) = cos a cosb sen a senb Se a = b, temos cosa = cos a sen a e, de cos a + sen a = 1 achamos Então, cos a = 1 sen a sen a cos a = 1 sen a sen 1 cos a a = sen θ e, usando essa substituição, a integral fica a = a [ θ a que é o comprimento do arco desejado. = 1 cos θ 1 cos θ sen θ ] θf [ θ f sen θ f. Determinar a área delimitada pelas seguintes curvas: (a) Região definida pela parábola x = 8y (x ), a reta y = e o eixo y. Resolução. A área definida pelas curvas acima é a mostrada na figura abaixo. O primeiro passo consiste em determinar o ponto de intersecção entre as duas curvas, isto é, o ponto onde x 8 = x = 16 x = ± Como x, então o ponto de interesse ocorre em (, ). Sabendo-se isso e os outros limites que delimitam a região, vemos que a área desejada é a destacada na figura abaixo. ]

4 y 8y = x y = A x Para determinar essa área, partimos do elemento de área em coordenadas retangulares, isto é, da = dxdy e o integramos, ou seja, A = da A = x= y= x= y= x 8 dydx onde os limites de integração foram escolhidos de modo que, enquanto x varre a área indo de x = até x =, y varre a área indo da curva correspondente à parábola y = x 8 até chegar à reta y =. Resolvendo, temos A = = x= ( x ) dx x= 8 (x x ) x= x= = 8 = 8 8 A = 16 que é a área pedida. (b) Região definida por uma das pétalas da rosácea = a cosθ. Resolução. A figura geométrica definida pela equação = a cosθ em coordenadas polares é uma rosácea de quatro pétalas, mostrada na figura abaixo

5 Queremos a área de uma dessas pétalas. Para tanto, como temos uma função do tipo = (θ), precisamos inicialmente determinar os limites de integração, já que a área pedida será dada por A = da = f(θ) θ i i(θ) d onde usamos o fato de que o elemento de área em coordenadas polares vale da = d Da figura, vemos que a pétala superior fica definida entre ângulos para os quais ocorre (θ) =, ou seja, A condição acima ocorre se a cosθ = cosθ = θ = n + 1 onde n é um número inteiro. Reescrevendo a equação acima, temos θ n = n + 1 A pétala superior fica entre os ângulos θ i = (n = ) e θ f = (n = 1). À medida que o ângulo θ vai de θ i até θ f, a coordenada, para varrer a área desejada, vai de i(θ) = (que é a origem) até f(θ) = a cosθ (que é a rosácea). Assim, 5

6 acosθ A = d [ = = 1 A = a ] a cosθ a cos θ cos θ Aqui usamos a substituição cosθ = cos θ sen θ cosθ = cos θ 1 + cos θ cosθ = cos θ 1 cos 1 + cos θ θ = de onde tiramos cos θ = 1 + cosθ e assim, A = a = a = a = a A = a 8 que é a área de uma das pétalas da rosácea. 1 + cosθ (1 + cosθ) [ sen θ θ + [ ] ] PROBLEMAS 1. Determinar o comprimento de arco das seguintes curvas, nos intervalos especificados. (a) x = e t cos t, y = e t sen t, de t = a t =. R: (1 e ) (b) Um arco da ciclóide (ver figura) r(t) = a(t sen t)î + a(1 cos t)ĵ, de t = a t =. R: 8a 6

7 (c) A circunferência = a sen θ (ver figura). (d) A espiral = aθ (ver figura), de θ = a θ =. R: a a ln( 1 + +) 7

8 . Determinar a área delimitada pelas seguintes curvas: (a) Região definida pelas retas x = e y = e os eixos coordenados. R: A = 6 (b) Região definida pela curva y = e x, a reta x = 1 e os eixos coordenados. (c) Região definida pela curva y = x, x = e o eixo x. R: A = 6 (d) Região interna à cardióide = a(1 + cos θ) (ver figura). R: A = a (e) Região interna à circunferência = e externa à rosacea = 1 cos θ (ver figura). R: A = 5 8

9 . Determinar a massa das regiões planas definidas com as seguintes densidades superficiais (ρ é uma constante) (a) Mesma região do item (a) anterior, densidade ρ = ρ xy. R: M = 8ρ (b) Mesma região do item (b) anterior, densidade ρ = ρ y. R: M = ρ (e 1) (c) Mesma região do item (c) anterior, densidade constante ρ = ρ. (d) Mesma região do problema resolvido (a), densidade ρ = ρ x. (e) Mesma região do problema resolvido (b), densidade ρ = ρ. R: M = ρ a 9 9