Total. UFRGS - INSTITUTO DE MATEMÁTICA Departamento de Matemática Pura e Aplicada MAT Turma A /1 Prova da área I

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1 UFRG - INTITUTO DE MTEMÁTIC Departamento de Matemática Pura e plicada MT Turma - 19/1 Prova da área I Total Nome: Ponto extra: ( )Wikipédia ( )presentação ( )Nenhum Tópico: Cartão: Regras Gerais: Não é permitido o uso de calculadoras, telefones ou qualquer outro recurso computacional ou de comunicação. Trabalhe individualmente e sem uso de material de consulta além do fornecido. Devolva o caderno de questões preenchido ao final da prova. Regras para as questões abertas eja sucinto, completo e claro. Justifique todo procedimento usado. Indique identidades matemáticas usadas, em especial, itens da tabela. Use notação matemática consistente. Tabela do operador : f = f(x,y,z) e g = g(x,y,z) são funções escalares; F = F(x,y,z) e G = G(x,y,z) são funções vetoriais. 1. (f +g) = f + g ). ( F + G = F + G ) 3. ( F + G = F + G 4. (fg) = f g +g f 5. (f F ) ( ) = f F ( ) +f F 6. (ff ) = f F +f F 7. f = f = f x + f y + f z, onde = x + y + é o operador laplaciano z ( ) 8. f = ) 9. ( F = ) ) 1. ( F = ( F F ) ( ) ( ) 11. ( F G = G F F G ( ) ( ) ( ) F G = G F G F ( ( F ) G+ F G) ( ) F G ( ) ( ) = G F + F G+ + F ( ) G + G ( ) F Curvatura, torção e aceleração: Nome Definição d Curvatura κ = T = dt dt dt = r (t) r (t) r (t) 3 Torção Módulo da Torção celeração normal celeração tangencial Equações de Frenet-erret: d T d N d B = κ N τ = d B N = ( r (t) r (t)) r (t) r (t) r (t) τ = d B a N = a v v = κ T +τ B = τ N a T = a v v = d B dt dt = v ρ = κv = dv dt 14. ϕ(r) = ϕ (r)ˆr

2 Questão 1 (1. ponto) Dados dois círculos no plano xy, um fixo e outro rolando sobre o primeiro, um ponto sobre o círculo rolante produz uma curva chamada cardioide. Considere a trajetória deste ponto parametrizada por r(t) = x(t) i + y(t) j, t < π, onde a é uma constante e x(t) = a(1 cos(t))cos(t), y(t) = a(1 cos(t))sen(t). upondo a = 1, assinale na primeira coluna o menor valor do parâmetro t para o qual r(t) = ( 4, ). Na segunda coluna assinale o vetor velocidade neste instante: O parâmetro t: Velocidade: ( ) π ( x ) π ( ) 3π ( ) π ( ) i ( ) 4 i ( ) 6 i ( ) j ( x ) 4 j ( ) 5π ( ) 6 j Item a: Procuramos o menor valor positivo de t tal que: x(t) = (1 cos(t))cos(t) = 4, y(t) = (1 cos(t))sen(t) =. Da segunda equação, temos que ou sen(t) = ou cos(t) = 1. Como a primeira identidade é não-nula, precisamos que sen(t) =, o que implica cos(t) = 1, o que acontece pela primeira vez quando t = π. Item b: Basta diferenciar: Portanto: x (t) = sen(t)+4cos(t)sen(t), y (t) = cos(t) cos (t)+sen (t). x (π) =, y (π) = 4. Questão (1. ponto) Considere a curva parametrizada por: r(t) = cos(t) i +sen(t) j +sen(t) k. ssinale as alternativas que indicam respectivamente a curvatura em t = π e torção em t = π : Curvatura em t = π Torção em t = π ( x ) 1 5 ( ) 1 5 ( ) 5 ( ) 5 ( ) 3 5 ( ) 3 5 ( ) 4 5 ( ) 1 ( ) 4 5 ( ) 1 ( ) 6 5 Primeiro diferenciamos: ( x ) 6 5 r(t) = cos(t) i +sen(t) j +sen(t) k r (t) = sen(t) i +cos(t) j +cos(t) k r (t) = cos(t) i sen(t) j 4sen(t) k r (t) = sen(t) i cos(t) j 4cos(t) k Em t = π/, temos: r r r = i k = j = i+4 k ssim: r r = k + i r r r = 6

3 Portanto: k = r r 5 r 3 = 3 = τ = r r r r r = 6 5 = 6 5

4 Questão 3 (1. ponto) Considere a função vetorial dada por r(t) = ln(1 + t) i + 1 t j. ssinale na primeira coluna o domínio de definição de r(t) e, na segunda, a declividade (coeficiente angular) da reta tangente à curva -D representada por ela no plano xy no ponto em que t = 3/4. Domínio: Declividade: ( ) [ 1,1) ( ) [ 1,1] ( x ) ( 1,1] ( ) ( 1,1) ( ) Nenhuma das anteriores Vide questões 1 e 4 da lista 1 da apostila. Item b: Derivamos: r (t) = r (3/4) = 4 7 i j ( ) 1/4 ( ) 3/4 ( ) 5/4 ( x ) 7/4 ( ) 9/4 1 1+t i 1 (1 t) 1/ j Questão 4 (1. ponto) Considere o campo constante F(x,y,z) = f(x,y) i + g(x,y) j esboçado na figura ao lado e os caminhos C 1, C e C 3 que começam no ponto (,,) e terminam no ponto (4,4,). ˆ O caminhoˆ C 4 é a reta queˆliga o ponto (,,) ˆ ao ponto (4,4,4). Defina W 1 = C 1 F d r, W = ssinale as alternativas corretas: ( ) = W 1 = W = W 3 ( x ) < W 1 = W = W 3 ( ) < W 1 < W = W 3 ( ) = W 1 < W < W 3 ( ) = W 1 < W = W 3 C F d r, W3 = ( ) W 4 = 1 W 1. ( ) W 4 = W 1. 3 ( ) W 4 = W 1. ( x ) W 4 = W 1. ( ) W 4 = W 1. C 3 F d r e W4 = C 4 F d r x Item a: O campo é conservativo por ser constante. Por isso e porque os caminhos compartilham o primeiro e último pontos, a integral deve ser a mesma. Item b: Como o campo é conservativo, e o campo é perpendicular ao segmento (4,4,4)-(4,4,), assim W 1 = W 4. y Campo F C 1 C C 3

5 Questão 5 (1. ponto) eja a superfície no plano xy limitada pelos eixos x e y, pelas retas x = e e y = e e a hipérbole xy = 1. superfície é orientada no sentido positivo do eixo z e o caminho C é a curva que limita orientada pela regra da mão direita. eja F = y i x j e G = F. ˆ ˆ ssinale as alternativas que indicam, respectivamente, os valores de W 1 := F d r e W := G d r. C C W 1 : W : ( x ) 6 ( ) 3 ( ) ( ) 3 ( ) 6 ( ) 3 ( x ) ( ) 3 ( ) 6 ( ) 6 Vide questão 5 da lista. Item a: Primeiro calculamos o rotacional do campo dado por: F = k e aplicamos o teorema de tokes: W 1 = F nd = k kd = d qui, é a região limitada por C e a integral de 1 é a área da região. ssim: W 1 = d (ˆ 1/e ˆ ) e dx = edx+ 1/e x = ( 1+ln(e ) ) = 6 item b: integral em caminho fechado de qualquer campo gradiente é zero. Questão 6 (1. ponto) Uma abelha se desloca em uma região onde a temperatura T(x,y,z) é dada em kelvin pela expressão : ( ) v = 3 ( i+ j ) k 6 ( ) v = 3 ( ) i j ( i j) ( ) v = 3 ( ) v = 3 ( i+ j) ( x ) v = 3 ( ) i+ j T(x,y,z) = 3 (x +y ) z +z. O curioso inseto está no ponto (1,1,1) e se desloca na direção de máxima taxa de variação da temperatura a uma velocidade de 3m/s. ssinale na primeira alternativa o vetor velocidade da abelha e, na segunda coluna, derivada temporal da temperatura em K/s. dt Velocidade: ( ) v = 3 ( i+ j + ) dt : k 3 ( ) dt dt = Item a: ( ) dt dt = ( ) dt dt = 3 ( ) dt dt = 6 ( x ) dt dt = 1 abemos que v = vt, onde a direção T de maior variação é dada por T T = T. velocidade escalar v é dada igual a 3. Logo basta calcular o gradiente: T(x,y,z) = 4x i 4y j +( +z) k, ssim: T(1,1,1) = 4 i 4 j. v = 3 4 i 4 j 4 = 3 ( i+ j Item b: upondo r a trajetória do inseto, temos: dt dt = T dx x dt + T dy y dt + T dz z dt ). = T r ( ) ( = 4 i 4 j 3 ( ) ) i+ j = = 1 lternativamente, em termos do comprimento de arco s, temos: dt dt = dt dt = T r = 3 4 = 1

6 Questão 7 (1. ponto) Uma partícula de massa constante m e velocidade v(t) é atraída para a origem pela ação exclusiva de uma força central dada por F = f(r)ˆr. Mostre que o momento angular L = r m v é constante, isto é, d L dt =. Vide problema 3 da lista 4 Observe que Dos dados do exercício temos m a = F = f(r)ˆr, o que implica em d L dt = r m v + r m v = v m v + r m a. d L dt = v m v + r f(r)ˆr. Como o produto vetorial entre dois vetores paralelos é zero, concluímos pois v//m v e r//f(r)ˆr. d L dt =,

7 Questão 8 (3. pontos) Considere a superfície fechada orientada para fora composta superiormente pela superfície de rotação descrita como z = f(x,y) = 1 x +y e inferiormente por z =, x +y 1. eja o campo vetorial dado por F = ( +z +x) k. a) Calcule o valor do fluxo F nd via parametrização direta da superfície. b) Calcule o valor do fluxo F nd via teorema da divergência. c) Calcule o valor do fluxo F nd via parametrização direta da superfície. Item a: eja 1 a superfície cônica z = f 1 (x,y) = 1 x +y e o disco z = f (x,y) =, x +y 1. Para parametrizar 1, considere a função G 1 (x,y,z) = z 1+ x +y. Temos G 1 = x y i+ j + k x +y x +y e Resolvemos em coordenadas polares: Φ 1 := = = = F nd 1 F G 1 d ( +z +x ) d ( +(1 ) x +y ) +x d ˆ 1 ˆ π ( Φ 1 = +(1 r) +rcos(θ) ) rdθdr ˆ 1 ˆ π ( = 3r r +r 3 +r cos(θ) ) dθdr ˆ 1 ( = π 3r r +r 3) 1 ( [r dr +ˆ sen(θ) ] ) θ=π dr θ= [ ] 1 = π 3 r r3 3 + r4 4 [ 3 = π ] 1 = 13π 4 6 Para parametrizar o disco z = f (x,y) =, x +y 1, considere a função G (x,y,z) = z. Temos G = k e Φ := F nd = F G d ( = +z +x ) d = (+x)d Resolvemos em coordenadas polares: Portanto, Φ = Φ 1 +φ = 13π 6 π = π 6. Φ ˆ 1 ˆ π = (+rcos(θ))rdθdr ˆ 1 ˆ π = (r +rcos(θ))rdθdr ˆ 1 ˆ 1 ( [r = π rdr sen(θ) ] ) θ=π dr θ= = π.

8 Item b: Temos F = z. ssim, Φ = F nd = FdV V ˆ 1 ˆ π ˆ 1 r = zrdzdθdr ˆ 1 ˆ π = (1 r) rdθdr ˆ 1 = π (1 r) rdr ˆ 1 ( = π r r +r 3) dr [ r ] 1 = π r3 3 + r4 4 ( 1 = π ) = π 4 6. Item c: Primeiro calculamos o rotacional: F = j. Usamos f 1, f, G 1 e G calculados no item a). ssim, Φ 1 := ( j) nd 1 = ( j) G 1 d ˆ 1 ˆ π = sen(θ)rdθdr = e Φ := ( j) nd = ( j) G 1 d = d = Portanto, Φ = Φ 1 +φ =.