Análise Vetorial na Engenharia Elétrica

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1 nálise Vetorial na Engenharia Elétrica ula 13/03/ Medida algébrica de um segmento Segmento: um segmento é determinado por um par ordenado d de pontos. figura 1.8 apresenta um segmento Figura 1.8 Segmento 1

2 Um segmento orientado tem um ponto definido como origem e o outro ponto definido como etremidade. Uma seta caracteriza visualmente o sentido do segmento conforme a figura 1.9. Figura 1.9 Segmento orientado Segmentos opostos: se é um segmento orientado, o segmento é o oposto de. Figura 1.10 Segmento orientado e

3 Segmento de mesmo comprimento: os segmentos geométricos e CD são do mesmo comprimento se eles têm comprimentos iguais. D D C C Figura 1.11 Segmento de mesmo comprimento Medida de um segmento: a medida algébrica do segmento finito e orientado é um número real, positivo se sua orientação for concordante com o sentido positivo da retaeéumnúmerorealnegativo, em caso contrário. +3u (onde é origem e etremidade) - 3u (onde é origem e etremidade) 3

4 Direção: dois segmentos orientados não nulos e DC têm a mesma direção se as retas suportes desses segmentos são paralelas. D C C Figura 1.1 Segmento de mesma direção Segmentos equipolentes: dois segmentos orientados e CD são equipolentes quando têm a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento. D D C C Figura 1.13 Segmentos equipolentes 4

5 Eercícios Dados os seguintes pontos (-,3), (, -3), C(5, 7) e D(5. -7). i) Construa os seguimentos orientados, C, D, D. 1.4 Medidas entre pontos Distância i entre dois pontos: Dados dois pontos ( 1, 1 )e (, ), vamos verificar três casos para o cálculo da distância d entre eles. 5

6 1º caso: // O d d (1.1) º caso: // Ou d d 1 1 (1.) 6

7 3º caso: não é paralelo a O e nem a O Temos inicialmente: C // O c 1 C // O c C(, 1 ) De acordo com os casos 1º e º, tem-se: d dc 1 d dc 1 plicando o teorema de Pitágoras ao triângulo C, tem-se: D d C +d C ( 1 ) + ( 1 ) (1.3) então: d ( ) + ( ) 1 1 (1.4) 7

8 Eercícios i) Obter a abscissa do ponto P, tal que P.P PC.PD. Dados: -, 0, C 3, D 5. ii) Considere O,,, C pontos colineares, onde O representa a origem. Calcule a abscissa do ponto C iii) na igualdade +C+O-3C 3. Dados: e 5. iv) 1.5 Medidas entre pontos e reta Sejam conhecidos os pontos (, )e(, ) no plano cartesiano, a reta que passa por estes pontos tem a direção do segmento (, ) e é obtida do sistema de equações paramétricas a seguir: Y Y X X 8

9 9 Isolando t em uma das equações e substituindo ( ) ( ) + + t t ( ) ( ) + + t t ou (1.5) Isolando t em uma das equações e substituindo na outra equação, obtém-se: ( ) ( ) ( ) (forma reduzida) (1.6) ou rearranjando a equação ( ) ( ) ( ) ( ) 0 + e fazendo b ( ) ( ) ( ) c a b vem 0 b c b a (equação geral da reta) (1.7)

10 Teorema Duas retas r e s, não verticais, são perpendiculares entre si se, e somente se, o produto de seus coeficientes angulares é -1. Prova: Sejam as retas r e s dadas na figura a seguir: Suas equações gerais são: r: a + b + c 0 m r tg(α1) -a/b s: g + h + i 0 m s tg(α) -g/h 10

11 que: Da figura anterior tem-se dependendo do caso α α 1 + π/ ou α 1 α + π/ plicando a tangente nos ângulos, vem: tg(α )tg(α 1 + π/) tg(α )-cotg(α 1 ) tg( α ) 1 tg(α 1 )tg(α ) -1 tg( α1) c.q.d Mas, como: m r.m s -1 (-a/b)m s -1 m s b/a Da equação da reta s tem-se que: O que nos leva a: m s -g/h g b e h - a Para que as retas r e s sejam perpendiculares, p tem- se que: r: a + b + c 0 s: b a + i 0 (1.9) 11

12 Utilizando as duas últimas equações vamos calcular a distância entre a origem do plano e uma reta r qualquer. Reescrevendo as equações (1.9) para este caso, vem: r: a + b + c 0 s: b a 0 Se resolvêssemos o sistema formado pelas duas últimas equações, obteríamos Q(, ) ponto de intersecção de r com s. 1

13 , OQ Mas,oquenosinteressaéadistânciad temos: +, trabalhando as equações, ( a + b ) ( c ) ( b a ) 0 + c c ( a + b )( + ) c dor 1443 d a + b (1.10) Generalizando o cálculo da distância de um ponto P( 0, 0 ) qualquer a uma reta r qualquer, vamos utilizar a figura a seguir: 13

14 Transladando o sistema O de modo que P seja a origem do sistema P, a equação da reta no novo sistema é: Utilizando a equação (1.10), vem: Substituindo c, temos: 14

15 Eercícios 1.6 Coordenadas polares O sistema polar é caracterizado no plano bidimensional por uma reta orientada peumponto O pertencente a tal reta. Figura 1.14 Sistema polar 15

16 O ponto P fica determinado no plano por suas coordenadas polares: onde: P (ρ, θ) ρ OP(ρ 0) é a distância polar ou raio vetor de P θ (0 o < θ <π) é o argumento ou ângulo polar de P. lgumas vezes, é oportuno a passagem de um referencial cartesiano para um referencial polar; ou polar para cartesiano. Fazendo o eio p coincidir com o eio cartesiano e O com a origem do plano concomitantemente, temse a figura a seguir. Figura 1.15 Sistema cartesiano e polar 16

17 Portanto P(,) coordenadas cartesianas P(ρ, θ) coordenadas polares Do triângulo retângulo da figura 1.15 obtêm-se as seguintes relações: ρ + tg θ / ρ cos(θ) ρ sen(θ) Eercícios i) Construir o gráfico de ρ 3+senθ. ii) Deduzir a fórmula da distância entre os pontos P (ρ 1, θ 1 ) e P (ρ, θ ),em coordenadas polares. 17