MA23 - Geometria Anaĺıtica

Transcrição

1 MA23 - Geometria Anaĺıtica Unidade 1 - Coordenadas e vetores no plano João Xavier PROFMAT - SBM 8 de agosto de 2013

2 Coordenadas René Descartes, matemático e filósofo, nasceu em La Have, França, em 31 de março de Morreu em Estolcomo, em 1 de fevereiro de É considerado um dos fundadores da filosofia moderna. Uma de suas contribuições à matemática foi estabelecer uma correspondência biunívoca entre os pontos de um plano e pares de números reais, dando assim origem à geometria anaĺıtica. Tal matéria tem como objetivo estudar geometria por métodos algébricos. Também, graças a essa grande idéia, é que podemos, por exemplo, interpretar o comportamento de uma função através de seu gráfico que é desenhado num sistema de coordenadas cartesianas. O termo cartesianas nada mais é do que uma homenagem a seu criador. Há um princípio da geometria euclidiana plana que afirma: Fixada uma reta r, cada ponto de r corresponde a um único número real e cada número real corresponde a um único ponto da reta r. PROFMAT - SBM MA23 - Geometria Anaĺıtica slide 2/11

3 Coordenadas Esta correspondência biunívoca entre os pontos de uma reta e os números reais é chamada de um sistema de coordenadas cartesianas para a reta. O ponto cuja coordenada é zero é chamado de origem do sistema. Além disso, dado P r sempre podemos escolher um sistema de coordenadas para r de tal modo que a coordenada do ponto P seja zero. Usaremos a existência de um sistema de coordenadas para uma reta e introduziremos coordenadas em um plano. Considere um plano π. Neste plano, escolhemos um ponto qualquer. Denotado por O. Passando em O, consideremos duas retas perpendiculares e em cada uma delas um sistema de coordenadas, com unidades de medida de comprimento igual, de tal modo que O seja origem em ambos. Chamaremos uma dessas retas de eixo horizontal e a outra de eixo vertical. O sistema de coordenadas introduzido é denominado de Sistema de eixos ortogonais num plano ou Sistema de coordenadas cartesianas. PROFMAT - SBM MA23 - Geometria Anaĺıtica slide 3/11

4 Coordenadas Colocaremos π em correspondência biunívoca com o conjunto R 2 = {(x, y) : x, y R} da seguinte maneira: de cada P π tracemos perpendiculares aos eixos horizontal e vertical. Estas perpendiculares encontrarão os eixos em pontos cujas coordenadas são, respectivamente, x e y. Associamos o ponto P ao par ordenado (x, y), denotamos P = (x, y). Chamaremos a componente x do par (x, y) de abscissa de P, e a componente y do par chamaremos de ordenada. Essas componentes também serão chamadas de coordenadas de P. Comumente, o eixo horizontal também é chamado de eixo das abscissas, eixo dos x ou eixo x, e o eixo vertical é chamado de eixo das ordenadas, eixo dos y ou eixo y. Pela forma que introduzimos um sistema de coordenadas cartesianas, segue que: dados P = (x, y) e P = (x, y ) em R 2 temos P = P se, somente se, x = x e y = y. PROFMAT - SBM MA23 - Geometria Anaĺıtica slide 4/11

5 Coordenadas Uma vez introduzido um sistema de coordenadas num plano, temos uma forma algébrica de determinar a distância entre dois pontos. Sejam (x 1, y 1 ) e (x 2, y 2 ), respectivamente, as coordenadas de dois pontos P e Q de um plano. A distância entre P e Q, em termos de suas coordenadas, é dada como d(p, Q) = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2. A prova deste fato faz uso do teorema de Pitágoras. Fazendo uso da forma algébrica estabelecida para calcular distância entre pontos, podemos representar alguns lugares geométricos por meio de coordenadas. Por exemplo: PROFMAT - SBM MA23 - Geometria Anaĺıtica slide 5/11

6 Coordenadas O círculo de centro no ponto P π e raio r é o conjunto que consiste dos pontos do plano situados à distância r do ponto P, ou seja: C(P, r) = {Z π : d(z, P) = r}. Escrevendo Z = (x, y) e P = (a, b) em coordenadas, temos que: Z C(P, r) (x a) 2 + (y b) 2 = r (x a) 2 +(y b) 2 = r 2. Seja M o ponto médio do segmento PQ, segue por definição que d(p, M) = d(m, Q). Em coordenadas, se P = (x 1, y 1 ) e Q = (x 2, y 2 ) temos ( x1 + x 2 M =, y ) 1 + y 2 (prove!). 2 2 As retas de um sistema de coordenadas dividem um plano em quatro regiões, a saber: 1 quadrante - (x, y) tal que x, y > 0; 2 quadrante - (x, y) tal que x < 0 e y > 0; 3 quadrante - (x, y) tal que x, y < 0; 4 quadrante - (x, y) tal que x > 0 e y < 0. PROFMAT - SBM MA23 - Geometria Anaĺıtica slide 6/11

7 Vetores no plano Seja AB um segmento orientado de origem A e extremidade B. Isto é, no segmento AB estabelecemos um sentido de percurso (orientação) de A para B. Nessa situação, dizemos que o segmento BA está orientado com o sentido de percurso oposto ao do segmento AB. Podemos classificar os segmentos orientados do plano a partir da relação de equipolência: Definição: Dizemos que os segmentos orientados AB e CD são equipolentes, e escrevemos AB CD, quando satisfazem às seguintes três propriedades: 1. têm o mesmo comprimento, ou seja, d(a, B) = d(c, D); 2. são paralelos ou colineares; 3. têm o mesmo sentido, ou seja, se segmentos AC e BD não se intersectam. PROFMAT - SBM MA23 - Geometria Anaĺıtica slide 7/11

8 Vetores no plano A relação de equipolência permite classicar os segmentos orientados do plano mediante a seguinte definição. Definição: Sejam A e B pontos no plano. O vetor v = AB é o conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a AB. Cada segmento equipolente a AB é um representante do vetor AB. Na prática, os vetores são manipulados através das suas representações em relação a um sistema de eixos ortogonais dado. Dados A = (x 1, y 1 ) e B = (x 2, y 2 ) os números x 2 x 1 e y 2 y 1 são as coordenadas do vetor AB e escrevemos v = AB = (x 2 x 1, y 2 y 1 ). Exemplo: Determine o ponto P tal que OP = AB, onde A = ( 2, 0) e B = (1, 3). Escrevendo P = (x, y), segue que OP = (x 0, y 0) = (1 ( 2), 3 0) = (3, 3). Então P = (3, 3). PROFMAT - SBM MA23 - Geometria Anaĺıtica slide 8/11

9 Vetores no plano Vamos definir duas operações no conjunto de vetores do plano, uma operação de adição e uma operação de multiplicação de vetores por números reais. Definição: Dados u = AB e v, seja C o único ponto tal que v = BC. A soma de u com v é o vetor u = AC. Na prática a operação de adição de vetores é realizada através da representação por meio de coordenadas em relação a um sistema de eixos ortogonais. Vejamos: Sejam u = (u 1, u 2 ) e v = (v 1, v 2 ), então u + v = (u 1 + v 1, u 2 + v 2 ). Em coordenadas, a multiplicação de vetores por escalares é efetuada da seguinte forma: se u = (u 1, u 2 ), então λ u = (λu 1, λu 2 ) para todo λ R. PROFMAT - SBM MA23 - Geometria Anaĺıtica slide 9/11

10 Vetores no plano A adição de vetores e a multiplicação de vetores por escalares satisfazem propriedades similares às propriedades aritméticas das operações numéricas. Isso permite converter problemas geométricos em problemas algébricos e vice-versa, segundo veremos mais adiante. Dados u, v, w no plano e λ, γ, valem: 1. (Associatividade) u + (v + w) = (u + v) + w; 2. (Comutatividade) u + v = v + u; 3. (Elemento neutro da soma) Existe 0 R 2, tal que u + 0 = u; 4. (Simétrico) Para cada u, existe um único vetor u tal que u + ( u) = 0. PROFMAT - SBM MA23 - Geometria Anaĺıtica slide 10/11

11 Vetores no plano 5. (Associatividade) λ(γu) = (λγ)u; 6. (Distributiva) (λ + γ)u = λu + γu; 7. (Distributiva) λ(u + v) = λu + λv; 8. (Elemento neutro multiplicativo) 1 u = u. Utilizando as operações definidas acima, podemos obter novos vetores a partir de vetores previamente fixados fazendo combinações lineares destes. Conforme definição abaixo: Definição: Um vetor v é múltiplo do vetor u, se existe λ R tal que v = λu. O vetor v é combinação linear dos vetores v 1,..., v n se existem constante λ 1,..., λ n tais que v = λ 1 v λ n v n. PROFMAT - SBM MA23 - Geometria Anaĺıtica slide 11/11