Energia potencial elétrica

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1 Energia potencial elétrica Foi descoberto empiricamente que a força elétrica é uma força conservativa, portanto é possível associar a ela uma energia potencial. Quando uma força eletrostática age sobre duas ou mais partículas de um sistema, podemos associar a esse sistema uma energia potencial elétrica U. Se a configuração do sistema muda de um estado inicial i para um estado final f, a força eletrostática exerce um trabalho W sobre as partículas. Da mecânica, temos a relação: ΔU = U f U i = -W Como acontece com qualquer força conservativa, o trabalho realizado por ela é independente da trajetória. Assim, se uma força elétrica desloca uma partícula de um ponto a para um ponto b, independente da trajetória, essa força então realizará um trabalho W sobre essa partícula, alterando a energia potencial do sistema. A partir da análise acima, vemos que o trabalho realizado para deslocar uma carga de um ponto a outro está relacionado com a variação da energia potencial. É possível, entretanto, definir a energia potencial em um ponto específico, a partir do trabalho. Para isso, basta fazer o ponto inicial do deslocamento tender ao infinito. Nessa situação, U i é a energia potencial no infinito, e tem o valor zero. Assim, a energia potencial em um ponto U (ou U f no caso da variação) é dado por: U = -W. Pela definição geral de trabalho, temos que: W= F d onde o vetor deslocamento d não depende da trajetória. A força em questão é a força elétrica, que é gerada pelo campo elétrico E: W=(q Ē) d

2 ou seja, a energia potencial de uma partícula carregada na presença de um campo elétrico depende do valor da carga. Potencial elétricos Suponha que uma carga de prova q 1 = 1,6 x C esteja em um meio onde existe um campo elétrico E, e nesse ponto ela possui uma energia potencial elétrica de 2,4 x J. Essa energia é obtida a partir do trabalho W (W = Fd) da força elétrica (F = qe) para deslocar essa carga. Expressando a energia potencial por unidade de carga, temos: U q = 2, J =150 J /C 1, C Se colocarmos uma carga q 1 = 3,2 x C no mesmo ponto, a força elétrica sobre essa carga irá dobrar, assim como o trabalho realizado por ela, e consequentemente a energia potencial elétrica nesse ponto (U = 4,8x10-17 J). Se expressarmos novamente a energia potencial por unidade de carga, para essa nova configuração: U q = 4, J =150J /C 3, C Assim, a energia potencial por unidade de carga, que pode ser representada por U/q, não depende da carga da partícula e é uma característica apenas do campo elétrico na região do espaço que está sendo investigada. Essa energia potencial por unidade de carga em um ponto no espaço é chamada de potencial elétrico e é uma grandeza escalar representada pela letra V. Assim: V = U q A diferença de potencial elétrico ΔV entre dois pontos i e f é igual à diferença entre os potenciais elétricos nos dois pontos:

3 Δ V =V f V i = U f q U i q = Δ U q consequentemente; Δ V = W q A diferença de potencial entre dois pontos é, portanto, o negativo do trabalho realizado pela força eletrostática para deslocar uma carga unitária de um ponto para outro. Como a grandeza potencial elétrico é muito utilizada em elétrica, foi atribuída outra unidade no SI, o volt [V], em homenagem ao físico italiano Alessandro Volta, que é creditado como inventor da bateria elétrica. Logo, 1 V = 1 J / 1 C. Com uma manipulação simples de unidades: ( 1 N C )( 1V C 1J 1J )( 1N m ) =1 V m ou seja, o campo elétrico também pode ser expresso em V/m, unidade também aceita no SI. Da mesma forma que foi feita uma análise geométrica com campo elétrico, onde foram definidas as linhas de campo, é possível fazer uma análise geométrica do potencial elétrico, identificando no espaço pontos vizinhos que possuem o mesmo valor de potencial. A união desses pontos forma uma superfície equipotencial.

4 Observando as figuras, é fácil perceber que as superfícies equipotenciais são sempre perpendiculares às linhas de campo elétrico. Além disso, superfícies equipotenciais diferentes possuem potenciais elétricos diferentes, portanto, há sempre uma diferença de potencial entre duas superfícies equipotenciais. Por outro lado, se uma partícula carregada se desloca de um ponto a outro de uma mesma superfície equipotencial, independente da trajetória, não há mudança na energia potencial, portanto não há realização de trabalho. Cálculo do potencial a partir do campo elétricos Considere um campo elétrico qualquer, representado pelas linhas de campo da figura abaixo, e uma carga positiva q 0 que se move do ponto i para o ponto f, percorrendo a trajetória indicada. Em todos os pontos da trajetória, há uma força força eletrostática q 0 E agindo sobre a carga enquanto ela sofre um deslocamento elementar ds. A partir da definição de trabalho: W= F s onde s é o vetor deslocamento. Podemos calcular o trabalho realizado para cada deslocamento elementar: dw = F ds dw =q 0 Ē ds O trabalho total realizado para deslocar a partir, portanto, será a soma dos trabalhos realizados para cada deslocamento elementar:

5 f W=q 0 Ē ds i Substituindo o trabalho pela sua expressão em função do potencial elétrico: f V f V i = i Ē ds Se o campo elétrico é conhecido em todos os pontos de uma certa região, então é possível calcular a diferença de potencial entre quaisquer dois pontos dessa região. Potencial produzido por uma carga pontual Para se obter o potencial elétrico em ponto P localizado a uma distância R de uma carga pontual, podemos usar a expressão anterior, fazendo como ponto final o infinito, onde o potencial é zero. Como a diferença de potencial é o trabalho realizado por unidade de carga, a trajetória da carga de prova deslocada não interfere no resulta. Para uma carga puntiforme, é conveniente escolher uma trajetória radial, pois: Ē ds=e ds cos 0=E ds Dessa forma: V f V i = Ē ds R como a trajetória ds é radial, ela pode ser substituída por dr: q 0 V i = [ R 4 π ε r ] dr 2 V i = q 4 π ε [ 1 q dr= R r ] 2 4πε [ 1 r ]R V i = 1 q 4 π ε R

6 Fazendo a distância R como variável, temos a expressão genérica do potencial gerado por uma carga puntiforme: V = 1 q 4 π ε r [V] O potencial elétrico, como dito anteriormente, é uma grandeza escalar. Analisando a equação acima, percebe-se que uma carga positiva produz um potencial positivo, e uma carga negativa produz uma carga negativa. Se um conjunto de cargas é distribuída no espaço, é possível determinar o potencial elétrico em um ponto específico através da superposição dos potenciais de cada carga. Por ser uma grandeza escalar, essa superposição é algébrica: n V = V i = 1 n i=1 4π ε i =1 q i r i Exemplo: qual o valor do potencial elétrico no ponto P, situado no centro do quadrado de cargas pontuais? Dados: d = 1,3 m q 1 = 12 nc q 2 = -24 nc q 3 = 31 nc q 4 = 17 nc Potencial gerado por uma distribuição de cargas Quando um corpo extenso é carregado, e tem-se uma distribuição contínua de cargas, podemos usar o cálculo diferencial para calcular o potencial elétrico resultante em um ponto específico, assim como foi feito com campo elétrico.

7 Para determinar o potencial, entretanto, esse cálculo é mais simples pois não envolve vetores. Linha de cargas Uma distribuição linear de cargas pode ser expressa pela densidade de cargas e pelo comprimento: q = λ x logo, uma porção infinitesimal dq dessa linha de carga, que se aproxima de uma carga pontual, pode ser expressa como: dq = λ dx consequentemente, o potencial produzido por essa carga pontual é: dv = 1 4π ε λ dx = 1 r 4 π ε λ dx (d 2 +x 2 ) 1/2 O potencial elétrico em um ponto P distante d de uma linha de cargas, localizado em uma das extremidades da linha, pode ser calculado: L V = dv = πε λ dx (d 2 + x 2 1/ 2 ) d ] V = λ 4 π ε [ ln L+(L2 +d 2 ) 1/ 2 Disco carregado

8 Considerando um disco de raio R uniformemente carregado, podemos calcular o potencial elétrico em um ponto P distante z do centro do disco. Para isso basta repetir o mesmo raciocínio anterior para um anel de carga infinitesimal, e somar (integrar) variando o raio de 0 a R. dq = σ (2πR') dr' onde (2πR') dr' é a área do anel. Como o ponto P está a mesma distância de todos os pontos nesse anel infinitesimal, a distância é a mesma para todos os pontos do anel. Considerando o anel infinitesimal como carga puntiforme: dv = 1 dq 4πε r = 1 σ(2 π R ')dr ' 4π ε (z 2 +R ' 2 ) 1/2 integrando para todo o disco: V = dv = σ 2ε 0 R R ' dr ' (z 2 +R ' 2 1/ 2 ) V = σ 2ε ( z2 +R 2 z) Campo elétrico a partir do potencial Uma vez conhecido o cálculo do potencial elétrico a partir do campo, pode-se obter a expressão inversa, determinando o valor do campo a partir do potencial.

9 Suponha que o trabalho realizado pelo campo elétrico para deslocar uma partícula carregada q 0, de uma superfície equipotencial para outra, de distância s, é -q 0 V, onde V é a diferença de potencial entre as duas superfícies equipotenciais. Esse trabalho, pela definição de trabalho de uma força, é: W= F s=(q 0 Ē) s igualando as duas quantidades: q 0 V =(q 0 Ē) s=q 0 E cosθ s Para uma variação pontual dessas grandezas: q 0 dv =(q 0 Ē) ds=q 0 E cosθ ds E cosθ= dv ds E= V s No caso simples, de um campo elétrico uniforme, a expressão acima pode ser expressa na forma: E= Δ V Δ s Energia potencial elétrica de um sistema de cargas A partir das definições expostas de energia potencial e potencial elétrico, podemos definir como energia potencial de um sistema de cargas fixas no espaço como o trabalho que deve ser executado para montar o sistema, começando com as cargas a uma distância infinita entre elas. Podemos fazer essa análise para um par de cargas separadas por uma distância r. Deslocar a primeira carga do infinito para sua posição final não acarreta em trabalho de nenhuma grandeza elétrica. Deslocar a segunda carga, entretanto, envolve o campo elétrico produzido pela primeira. Portanto, o potencial elétrico gerado pela carga 1 no ponto onde a carga 2 foi colocada é:

10 V = 1 q 1 4 π ε r Assim, a energia potencial do par de cargas pontuais é: U=W =q 2 V = 1 q 1 q 2 4πε r No caso de mais de duas cargas, basta resolver o sistema para cada combinação de pares de cargas, devido ao princípio da conservação de energia e a natureza escalar dessa grandeza. Exemplo: 3 cargas pontuais estão localizadas nos vértices de um triângulo equilátero de lado d. Qual a energia potencial elétrica desse sistema, dados os valores de carga abaixo? d = 12 cm q 1 = +q q 2 = -4q q 3 = +2q resposta: -17 mj Questionamento: se o campo elétrico é nulo no interior de um condutor carregado, como é o potencial elétrico nesse interior? Por quê?