20 de setembro de MAT140 - Cálculo I - Taxa de Variação e Taxas Relacionadas

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1 MAT140 - Cálculo I - Taxa de Variação e Taxas Relacionadas 20 de setembro de 2015

2 Já vimos que se a seguinte equação s = f (t), representa a distância percorrida por uma partícula em um período de tempo t por exemplo em segundos e a distância em metros, então f (t) representa a taxa de variação instantânea de f(t) em relação a t, a qual chamaremos de velocidade, dada em m/s. f (t) representa a taxa de variação instatânea da velocidade no instante t, dada em (m/s)/s, que indicaremos m/s 2. Em Física, f (t) é chamada de aceleração instantânea.

3 Suponha uma partícula está se movendo ao longo de uma reta, de acordo com a equação de movimento s = f (t), onde a velocidade instantânea é dada por v em m/s e a aceleração instantânea é dada por a em m/s 2. Neste caso temos onde v = ds a = dv da = d 2 s 2 (1) (2)

4 Exemplo Um ponto se move ao longo do gráfico y = x de modo que sua abscissa x varia a uma velocidade constante de 3cm/s. Qual é, quando x = 4(cm), a velocidade da ordenada y? Neste caso, x e y representam funções sobre o tempo e queremos saber a velocidade de y no instante t 0, onde x(t 0 ) = 4, ou seja,. t=t0 Através da regra da cadeia, derivando y = x 2 + 1, obtemos = 2x dx.

5 Exemplo (Continuação) Como dx = 3, temos = 6x. No instante t 0, temos x(t 0 ) = 4 e assim, t=t0 = 6.4 = 24cm/s

6 Exemplo Um ponto P mové-se sobre a eĺıpse 4x 2 + y 2 = 1. Sabe-se que as coordenadas x(t e y(t) de P são funções definidas e deriváveis num intervalo I. Verificaremos que = 4x dx em todo t I, com y y(t) 0. De fato, d (4x 2 + y 2 ) = d (1) 8x dx + 2y y = 0 = 4x dx = 4x y dx

7 Agora, veremos problemas em que temos de determinar a taxa de variação de uma variável, quando se sabe como a taxa de outra variável relacionada varia. Denomina-se problema de taxas relacionadas o problema de determinação de uma taxa de variação a partir de outras taxas de variação conhecidas.

8 Exemplo Dois carros estão se encaminhando em direção a um cruzamento, um seguindo a direção leste e outro seguindo a direção leste a uma velocidade de 90km/h e o outro seguindo a direção sul a uma velocidade de 60km/h. Qual a taxa segundo a qual eles se aproximam um do outro, no instante em que o primeiro carro está a 0, 2km do cruzamento e o segundo a 0, 15?

9 Exemplo (Solução) Sejam P o cruzamento e t o tempo decorrido desde que os carros começaram a se aproximar de P, x km a distância do primeiro carro ao cruzamento, y km a distância do segundo carro ao cruzamento e z km a distância entre os dois carros. Logo, dx = 90 e = 60. Observe que o sinal em ambos os casos é negativo, pois como x e y medem a distãncias dos carros ao ponto P, x e y decrescem a medida que t cresce. Assim, a variação é negativa. Queremos determinar dz quando x = 0, 2 e y = 0, 15.

10 Por pitágoras temos z 2 = x 2 + y 2. Derivando ambos os lados desta equação em relação a t temos: 2z dz = 2x dx + 2y dx dz x = + y z Quando x = 0, 2 e y = 0, 15, da equação z 2 = x 2 + y 2, concluimos que z = 0, 25. Substituindo da equação acima, concluímos que dz = z=0,25 (0, 2) ( 90) + (0, 15)( 60) 0, 25 = 108 Logo, no instante em questão, os carros estão se aproximando um do outro a uma taxa de 108 km/h.

11 Estratégia para problemas de taxas relacionadas 1 Desenhe uma figura e identifique as variáveis e as constantes. Use t para tempo. Suponha que todas as variáveis sejam funções deriváveis de t. 2 Anote as informações numéricas. 3 Anote aquilo que você quer determinar. 4 Escreva uma equação que relacione as variáveis. 5 Derive em relação a t. 6 Calcule.

12 Exemplo Um balão de ar quente, que sobe na vertical a partir do solo, é rastreado por um telêmetro colocado a 500 pés de distância do ponto da decolagem. No momento em que o ângulo de elevação do telêmetro é π/4, o ângulo aumenta a uma taxa de 0, 14rad/min. A que velocidade o balão sobe neste momento?

13 1- A figura abaixo representa o problema em questão. Neste caso, θ é o ângulo em radianos que o telêmetro forma com o solo e y a altura do balão em pés.

14 Utizamos t para representar o tempo e consideramos que θ e y são funções deriváveis de t. 2- dθ = 0, 14rad/min quando θ = π 4 ponto de decolagem é 500 pés. e a distância entre o telêmetro e o 3- Queremos determinar quando θ = π Escreva uma equação que relacione as variáveis y e θ. 5- Derive em relação a t. tan θ = y 500 ou y = 500 tan θ = 500(sec2 θ) dθ

15 6- Calcule. = 500( 2) 2 (0, 14) = 140 No momento em questão, o balão sobe a uma velocidade de 140 pés\min.