Cap. 3 - Cinemática Tridimensional

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1 Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto de Física Física I IGM1 2014/1 Cap. 3 - Cinemática Tridimensional Prof. Elvis Soares 1 Cinemática Vetorial Para determinar a posição de uma partícula no espaço, podemos utilizar um sistema de eixos cartesianos com as coordenadas x, y e z da partícula com relação a oriem, ou podemos usar o vetor posição da partícula em relação a este sistema. A equivalência entre as duas descrições é dada por r(t) x(t)ˆx + y(t)ŷ + z(t)ẑ (1) Consideremos aora que essa partícula durante seu movimento passe por um ponto P 1 num dado instante de tempo t 1, e num instante de tempo posterior t 2 passe por um ponto P 2, como mostra a fiura. Fiura 1: Deslocamento vetorial r entre os pontos P 1 e P 2 durante o intervalo de tempo t = t 2 t 1. 1

2 1 CINEMÁTICA VETORIAL O vetor deslocamento é o vetor que lia o ponto inicial P 1 ao ponto final P 2 do trecho do movimento analisado. E de fato, o vetor deslocamento de uma posição a outra é iual à diferença entre o vetor posição na posição final e o vetor posição na posição inicial. r r(t 2 ) r(t 1 ) = (x 2 x 1 )ˆx + (y 2 y 1 )ŷ + (z 2 z 1 )ẑ (2) A razão entre o vetor deslocamento e o intervalo de tempo necessário para realizá-lo é chamada de vetor velocidade média. v med (t 1, t 2 ) r t = r 2 r 1 t 2 t 1 (3) Notemos que como o vetor velocidade média é obtido através do produto de r por 1/ t, sabemos que a direção e o sentido desse vetor é o mesmo do vetor deslocamento, que é a direção da reta secante aos dois pontos! A velocidade média dá apenas uma noção de como a partícula se desloca num dado intervalo de tempo, porém se quisermos uma informação mais precisa temos que definir o vetor velocidade instantânea da partícula, no instante t, como sendo o limite dessa razão quando t 0. r v(t) lim t 0 t = lim r(t + t) r(t) t 0 t = d r dt (4) Fiura 2: Direção secante aos pontos P 1 e P 2 e direção tanente ao ponto P 1. No limite que t 0 o ponto P 2 se aproxima bastante do ponto P 1, de tal forma que r se aproxima da reta tanente. Assim, o vetor velocidade instantânea é sempre tanente à trajetória na posição em que está a partícula, e com o sentido em que a mesma se move nesse ponto! 2

3 1 CINEMÁTICA VETORIAL Fiura 3: Direção e sentido do vetor velocidade instântanea nos pontos P 1 e P 2. Usando a definição do vetor posição dada pela Eq.(1), podemos escrever e calcular o vetor velocidade instantânea em termos de componentes cartesianas. e então v(t) = d r dt = dx dy ˆx + dt dt ŷ + dz dt ẑ v(t) = v x (t)ˆx + v y (t)ŷ + v z (t)ẑ (5) A variação da velocidade vetorial da partícula entre os instantes de tempo t 1 e t 2 é dada por v = v(t 2 ) v(t 1 ). E a razão entre a variação da velocidade da partícula e o intervalo de tempo asto para essa mudança chamamos de vetor aceleração média. a med (t 1, t 2 ) v t = v 2 v 1 t 2 t 1 (6) Fiura 4: Direção e sentido da variação da velocidade vetorial entre os pontos P 1 e P 2. 3

4 1 CINEMÁTICA VETORIAL O vetor aceleração média tem a mesma direção da variação da velocidade, conforme a definição do mesmo. Além disso, esse vetor fornece apenas uma informação da variação da velocidade durante o intervalo de tempo finito. Assim, definimos o vetor aceleração instantânea no instante t como sendo o valor dessa razão no limite que t 0. v a(t) lim t 0 t = lim v(t + t) v(t) t 0 t = d v dt (7) Fiura 5: O vetor aceleração em diferentes pontos da trajetória. Note que a velocidade pode mudar somente seu módulo e seu sentido, sem mudar sua direção, que é o caso de um movimento retilíneo, de modo que a aceleração tem sempre a mesma direção da velocidade. A velocidade também pode mudar sem mudar o seu módulo, de modo que a aceleração tem direção perpendicular à velocidade. Finalmente, a velocidade pode mudar em direção, módulo e sentido, e nesse caso, a aceleração pode ter qualquer direção, com um sentido que jamais aponta para fora da concavidade da trajetória. Usando a definição do vetor velocidade dada pela Eq.(4), podemos escrever e calcular o vetor aceleração instantânea também em termos de componentes cartesianas. ou a(t) = d v dt = dv x dt ˆx + dv y dt ŷ + dv z dt ẑ a(t) = d2 r dt 2 = d2 x dt 2 ˆx + d2 y dt 2 ŷ + d2 z dt 2 ẑ e então a(t) = a x (t)ˆx + a y (t)ŷ + a z (t)ẑ (8) Qualquer movimento descrito por uma partícula pode ser descrito através dessas ferramentas de cálculo que ajudam na representação e caracterização de um movimento tridimensional. A partir daqui analisaremos aluns casos particulares de movimentos como exemplos de aplicação desses conceitos. 4

5 2 MOVIMENTO DE PROJÉTEIS 2 Movimento de Projéteis Apesar de ser um movimentos tridimensional, o lançamento de um projétil é caracterizado apenas por dois vetores, o vetor velocidade inicial e o vetor aceleração da ravidade. Uma escolhe esperta de sistema de coordenadas pode ser feita, de modo que tratemos o movimento apenas em duas dimensões, conforme mostra a fiura. Fiura 6: Representação tridimensional de um movimento de projétil. Então, vamos supor que uma partícula seja lançada, das coordenadas iniciais (x 0, y 0 ), com velocidade inicial v 0 que faz um ânulo θ com a direção horizontal, conforme mostra a fiura abaixo. { r 0 = x 0ˆx + y 0 ŷ v 0 = v 0xˆx + v 0y ŷ (9) Fiura 7: Trajetória de um projétil como um exemplo de movimento bidimensional. Nosso objetivo então é encontrar o vetor posição da partícula em cada instante de tempo a partir de sua aceleração e condições iniciais. Como o vetor aceleração é a = ŷ, podemos escrevê-lo em termos das componentes na seuinte forma ŷ = d2 x dt 2 ˆx + d2 y dt 2 ŷ d2 x dt 2 = 0, d 2 y dt 2 = 5

6 2 MOVIMENTO DE PROJÉTEIS e como vimos no capítulo anterior, cada componente tem independentemente um movimento com aceleração constante cuja solução já sabemos, de modo que podemos escrever a solução de ambas equações como O vetor posição pode ser escrito facilmente na forma abaixo { x(t) = x0 + v 0x t y(t) = y 0 + v 0y t 2 t2 (10) r(t) = (x 0 + v 0x t)ˆx + (y 0 + v 0y t 2 t2 )ŷ r(t) = r 0 + v 0 t 2 t2 ŷ (11) Além disso, derivando as Eqs.(10) podemos obter as componentes da velocidade da partícula. { v x (t) = v x0 v y (t) = v y0 t (12) E assim podemos escrever o vetor velocidade na forma v(t) = (v x0 )ˆx + (v y0 t)ŷ v(t) = v 0 tŷ (13) Desejamos aora, saber qual é a trajetória descrita pelo projétil. As Eqs.(10) já nos dão essa trajetória em função de um parâmetro (no caso, o tempo t), de modo que essas equações são denominadas equações paramétricas da trajetória. Assim sendo, é conveniente relacionar diretamente as coordenadas cartesianas da partícula, obtendo assim a equação cartesiana da trajetória. Para eliminar o tempo t, utilizamos a primeira das Eqs.(10). t = x x 0 v 0x Substituindo esse resultado na seunda das Eqs.(10), e usando o fato que as componentes da velocidade são v 0x = v 0 cos θ e v 0y = v 0 sen θ, temos: y = y 0 + tan θ(x x 0 ) 2v 2 0 cos 2 θ (x x 0) 2 (14) e usando novas variáveis como X x x 0 e Y y y 0, podemos re-escrever a equação acima como Y = AX 2 + BX + C que é a equação de uma parábola com concavidade para baixo. 6

7 2 MOVIMENTO DE PROJÉTEIS Podemos identificar que o ponto de altura máxima do movimento coincide com o vértice da parábola, que pode ser calculado rapidamente via: de modo que dy dx = 0 (15) vértice tan θ 2 2v0 2 cos 2 θ (x vértice x 0 ) = 0 x vértice = x 0 + v2 0 cos θ sen θ y vértice = y 0 + v2 0 sen 2 θ 2 (16) *Mostre! Fiura 8: Localização do vértice da parábola e definição da altura máxima, h max, e do alcance horizontal, R. Assim, a altura máxima alcançada pelo projétil com relação ao solo, que aqui denominaremos de h max, é dada por: As raízes da equação da parábola são x 1 = x 0 + v 0 cos θ x 2 = x 0 + v 0 cos θ h max = y 0 + v2 0 sen 2 θ 2 ( ) v 0 sen θ v 20 sen 2 θ + 2y 0 ( ) v 0 sen θ + v 20 sen 2 θ + 2y 0 (17) (18) *Mostre! 7

8 2 MOVIMENTO DE PROJÉTEIS A primeira das raízes é menor que x 0 e não nos interessa (tal raíz descreve a posição da qual a partícula teria que ser lançada do solo de modo a ter a mesma trajetória). O alcance horizontal da partícula, que aqui denominaremos de R, é dado pela seunda raiz da equação da parábola, ou seja R = v 0 cos θ ( ) v 0 sen θ + v 20 sen 2 θ + 2y 0 (19) De fato, se o projétil fosse lançado da oriem, ou seja, x 0 = 0 e y 0 = 0 teríamos: h max = v2 0 sen 2 θ 2, R = v2 0 sen 2θ *Mostre! Ânulo de alcance máximo: A partir da expressão do alcance é imediato concluir que, dentre todos os projéteis lançados com velocidades iniciais de mesmo módulo, mas com ânulo de lançamento diferentes, terá o maior alcance aquele que for lançado com o ânulo θ max que forneça sen 2θ max = 1. De fato, sen 2θ max = 1 quando 2θ max = π/2, de modo que θ max = π/4, dando A max = v 2 0/. Há porém, uma outra maneira de se obter o mesmo resultado. O ânulo para o alcance máximo horizontal da partícula pode ser calculado a partir de dr dθ = 0 (20) θmax e então dando 2 v2 0 cos 2θ = 0 cos 2θ = 0 2θ = π 2 θ max = π 4 (21) 8