Os Teoremas de Cavalieri 1. 2 Os Princípios de Cavalieri para áreas e volumes

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1 Os Teoremas de Cavalieri 1 Roerto Rieiro Paterlini 1 Introdução O estudo de volumes de sólidos no ensino médio tem omo ase o Prinípio de Cavalieri Esse prinípio tamém pode ser usado para áreas de regiões do plano Eistem, inlusive, versões mais gerais desse prinípio, tanto para áreas omo para volumes, em que a razão entre os omprimentos ou áreas das fatias não preisa ser 1, mas pode ser uma razão positiva qualquer Não nos esqueçamos de que o Prinípio de Cavalieri, normalmente adotado omo postulado nos tetos para ensino da Matemátia Elementar, é na verdade um teorema Para demonstrá-lo é sufiiente usar alguns pouos oneitos da teoria de integração de funções reais O Prinípio de Cavalieri é adotado sem demonstração para evitar as difiuldades de se apresentar preoemente essa teoria As difiuldades fiam onentradas em uma únia afirmação, que é assumida omo plausível mediante uma oa epliação do professor A ideia traduzida por esse prinípio é fáil de entender, e paree que os estudantes do ensino médio não têm resistênia em aeitá-la Os Prinípios de Cavalieri para áreas e volumes Esses prinípios levam o nome do matemátio italiano Bonaventura Franeso Cavalieri ( ), que os hamava de método dos indivisíveis, e os divulgou (em versões mais restritas) através de seu famoso livro Geometria Indivisiilius, de 1635 Mas, na verdade, esse método é muito anterior a Cavalieri Era onheido dos antigos gregos, omo Demórito (46-37 ac) e Arquimedes (87-1 ac), que o utilizavam para oter volumes de sólidos Esses resultados eram depois demonstrados pelo método da dupla redução ao asurdo, já que na époa não tinham uma teoria de integração O mesmo faziam muitos matemátios dos séulos XVI e XVII Vejamos duas versões desse prinípio, uma para áreas e outra para volumes Prinípio de Cavalieri para áreas Sejam R e S regiões limitadas de um plano, e seja r uma reta desse plano Suponha que, para toda reta s paralela a r, as interseções de R e S om s sejam vazias ou segmentos tais que a razão entre seus omprimentos é onstante Então a razão entre as áreas de R e S é essa mesma onstante 1 Etensão de artigo puliado na Revista do Professor de Matemátia, n 7, quadrimestre de 1, págs 43 a 47 Departamento de Matemátia da UFSCar O autor agradee orreções do Prof Marus Viniius de Araújo Lima, do DM-UFSCar 1

2 É possível demonstrar esse resultado desde que as regiões não sejam muito ompliadas Em partiular, vale para disos e regiões elíptias A ideia iniial da demonstração é simples: estamos fatiando as duas regiões Se a quantidade de fatias for finita e se ada fatia de uma região tiver área sempre na mesma razão que a fatia orrespondente da outra região, então somamos as áreas das fatias de ada região e otemos o resultado A difiuldade é que, no Prinípio de Cavalieri, as fatias são segmentos Portanto não têm área, mas omprimentos, e sua quantidade é infinita Assim, para a demonstração, preisamos de uma ténia que permita oter a área de uma região através da soma dos omprimentos de infinitos segmentos Essa ténia é forneida pela teoria de integração de funções reais, estudada nos ursos de Cálulo Diferenial e Integral Prinípio de Cavalieri para volumes Sejam P e Q sólidos limitados, e seja α um plano Suponha que, para todo plano β paralelo a α, as interseções de P e Q om β sejam vazias ou regiões tais que a razão entre suas áreas é onstante Então a razão entre os volumes de P e Q é essa onstante É possível provar esse prinípio desde que os sólidos não sejam muito ompliados Em partiular, o resultado vale para os sólidos que ostumam ser estudados no ensino médio, omo poliedros, esferas e elipsoides Para fazer uma demonstração, novamente a teoria de integração de funções reais fornee a ténia neessária para oter o volume de um sólido através da soma das áreas de infinitas regiões 3 Os prinípios omo teoremas As demonstrações dos dois prinípios de Cavalieri onstituem uma apliação direta da teoria de integração de funções reais Oservamos iniialmente que os enuniados desses prinípios feitos aima não se preoupam em definir ondições sore as fronteiras das regiões e dos sólidos Mas saemos que é neessário impor ondições de integrailidade Entendemos que isso não é feito nos livros tetos do ensino ásio, primeiro para não desviar a atenção do estudante, segundo por que, naqueles ontetos, os prinípios são apliados para regiões e sólidos muito simples, que satisfazem naturalmente as ondições de integrailidade Vejamos então omo podemos enuniar os prinípios de Cavalieri na forma de teoremas Se R é uma região do plano, indiaremos sua área por a(r) Prinípio de Cavalieri para áreas Consideremos em um plano um sistema de oordenadas artesianas O, e seja R a região delimitada por =, = > e pelos gráfios das funções ontínuas = f 1 () e = f (),, om f 1 () f () para todo Seja S a região delimitada por =, = e pelos gráfios das funções ontínuas = g 1 () e = g (),, om g 1 () g () para todo Suponhamos que eista k > tal que f () f 1 () = k [g () g 1 ()] para todo Então a(r) = ka(s)

3 Demonstração Da teoria de integração de funções reais temos: [ ] f () a(r) = dd = d d = [f () f 1 ()] d = = o que demonstra a afirmação R f 1 () k [g () g 1 ()] d = k Se P é um sólido, indiaremos seu volume por v(p) [g () g 1 ()] d = = ka(s) Prinípio de Cavalieri para volumes Consideremos um sistema de oordenadas artesianas Oz, e seja P um sólido finito delimitado por z =, z = > e por uma quantidade finita de gráfios de funções ontínuas do tipo = f(, z) e = g(, z) Para ada t tal que t, seja P t a interseção de P om o plano z = t Seja Q outro sólido finito delimitado por z =, z = > e por uma quantidade finita de gráfios de funções ontínuas do tipo = f(, z) e = g(, z) Para ada t tal que t, seja Q t a interseção de Q om o plano z = t Suponhamos que eista k > tal que a(p t ) = ka(q t ) para todo t Então v(p) = kv(q) Demonstração Da teoria de integração de funções reais temos: v(p) = dddz = dd dz = = P o que demonstra a afirmação 4 Duas apliações ka(q z )dz = k P z a(q z )dz = = kv(q) a(p z )dz = Nesta seção veremos dois eemplos não usuais de apliação dos prinípios de Cavalieri, um para áreas, e outro para volumes Suponhamos que já temos definido o número π e que já saemos que a área do diso de raio r é πr Uma forma de oter esse resultado é aproimar a irunferênia por polígonos regulares insritos (método geométrio de Arquimedes) Otida a fórmula πr para a área do diso de raio r, o Prinípio de Cavalieri para áreas permite alular a área de qualquer elipse Área da elipse A área da região elíptia de semieios a e é πa Demonstração Suponhamos a >, e onsideremos, em um sistema de oordenadas O, a região semielíptia R dada por /a + / 1 e 3

4 R a Figura 1: Área da região elíptia S Sejam f 1 () = a 1 / e f () = a 1 /, para Consideremos o semidiso S dado por + e Sejam g 1 () = e g () =, para Notemos que f () f 1 () = a 1 = a = a [g () g 1 ()] Estamos assim em ondições de apliar o Prinípio de Cavalieri para áreas, om k = a/, e sendo r a reta = Com isso temos a(r) = a a(s) = a π = πa Essa é a área da região semielíptia Dupliando, segue o resultado Volume do elipsoide O volume do elipsoide de semieios a, e é 4 3 πa Demonstração Suponhamos a >, e onsideremos o semielipsóide P definido por a + + z 1, z z z P a Q Figura : Volume do elipsoide Note que esse sólido é delimitado pelos planos z =, z = e pelos gráfios de duas funções ontínuas do tipo = f(, z) (ou do tipo = g(, z)) Além disso, para ada t tal que t, a interseção P t de P om o plano z = t é dada por a + + t 1 a + 1 t = t 4

5 Seja d = ( t )/ = (1/) t Então P t é uma região elíptia dada por e, em virtude do resultado anterior, sua área é (ad) + (d) 1 π(ad)(d) = πad = a π( t ) Consideremos agora a semiesfera Q definida por + + z, z É fáil ver que esse sólido é delimitado pelos planos z =, z = e pelos gráfios de duas funções ontínuas do tipo = f(, z) (ou do tipo = g(, z)) Além disso, para ada t tal que t, a interseção Q t de Q om o plano z = t é dada por Seja r = t Então Q t é dado por + + t + t + r e sua área é πr = π( t ) Notemos que, para ada t tal que t, a(p t ) = a π( t ) = a a(q t) Estamos assim em ondições de apliar o Prinípio de Cavalieri para volumes om k = a/, sendo α o plano z = Temos então v(p) = kv(q) = a π3 = πa Esse é o volume do semielipsoide Dupliando, segue o resultado desejado 5 Referênias iliográfias [1] Eves, H, Introdução à História da Matemátia Tradução de Domingues, H H Campinas, Editora UNICAMP, 4 [] Eves, H, Two surprising Theorems on Cavalieri ongruene The College Mathematis Journal Vol, n, marh 1991 [3] Guidorizzi, H L, Um Curso de Cálulo volumes 1 e 3, 5 ạ edição Rio de Janeiro, LTC Editora, [4] Lima, E L et alii, A Matemátia do Ensino Médio Volumes 1, e 3 Coleção do Professor de Matemátia Rio de Janeiro, Soiedade Brasileira de Matemátia, 1996 [5] Saraiva, J C V, O volume do elipsóide no ensino médio Revista do Professor de Matemátia, número 5 (3), páginas 1 a 4, Soiedade Brasileira de Matemátia 5