Seja f um endomorfismo de um espaço vectorial E de dimensão finita.

Transcrição

1 6. Valores e Vectores Próprios 6.1 Definição, exemplos e propriedades Definição Seja f um endomorfismo de um espaço vectorial E, com E de dimensão finita, e seja B uma base arbitrária de E. Chamamos polinómio característico de f ao polinómio característico da matriz M(f ; B, B). Proposição Seja f um endomorfismo de um espaço vectorial E de dimensão finita. Seja B uma base arbitrária de E e A = M(f ; B, B). Tem-se: 1 u é vector próprio de f se, e só se, a matriz X M n 1 (K), cuja coluna é a sequência das coordenadas de u na base B, é um vector próprio de A. 2 α é valor próprio de f se, e só se, α é valor próprio de A. Dem. Note que u 0 E se, e só se, X 0 e que f (u) = αu é equivalente a AX = αx. Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 31 / 47

2 6. Valores e Vectores Próprios 6.1 Definição, exemplos e propriedades Proposição Seja α um valor próprio de A M n n (K). Tem-se mg(α) ma(α). Proposição Sejam α, β K valores próprios de A M n n (K), com α β. Se X 1,..., X k são os vectores próprios de A, linearmente independentes associados ao valor próprio α e Y 1,..., Y l são vectores próprios de A, linearmente independentes, associados ao valor próprio β, então são linearmente independentes. X 1,..., X k, Y 1,..., Y l Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 32 / 47

3 6. Valores e Vectores Próprios 6.1 Definição, exemplos e propriedades Proposição Sejam α 1,..., α r valores próprios, dois a dois distintos, de A M n n (K). Se X i1,..., X iki são os vectores próprios de A, linearmente independentes associados ao valor próprio α i, i = 1,..., r, então são linearmente independentes. X 11,..., X 1k1,..., X r1,..., X rkr Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 33 / 47

4 6. Valores e Vectores Próprios 6.2 Matrizes e endomorfismos diagonalizáveis Definição Seja A M n n (K). Dizemos que A é uma matriz diagonalizável se A é semelhante a uma matriz diagonal, isto é, se existe uma matriz invertível P M n n (K) e uma matriz diagonal D M n n (K) tal que P 1 AP = D. Diz-se, ainda, que P é uma matriz diagonalizante de A. Dado que os valores próprios de uma matriz diagonal são os elementos da sua diagonal principal (porquê?), conclui-se que Proposição Se A M n n (K) é uma matriz diagonalizável e D é uma matriz diagonal semelhante a A então os valores próprios de A são os elementos da diagonal principal de D. Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 34 / 47

5 6. Valores e Vectores Próprios 6.2 Matrizes e endomorfismos diagonalizáveis O resultado seguinte, é uma das caracterizações mais importantes das matrizes diagonalizáveis. Proposição A M n n (K) é diagonalizável se, e só se, A tem n vectores próprios linearmente independentes. Neste caso, se X 1,..., X n M n 1 (K) são n vectores próprios de A linearmente independentes correspondentes, respectivamente, aos valores próprios α 1,..., α n (não necessariamente distintos) então a matriz P = [X 1 X n ] M n n (K) é invertível e é uma matriz diagonalizante de A. Mais especificamente, tem-se P 1 AP = α α α n Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 35 / 47

6 6. Valores e Vectores Próprios 6.2 Matrizes e endomorfismos diagonalizáveis Dem. Suponhamos que A M n n (K) é diagonalizável e seja P M n n (K), invertível, tal que d 1 0 P 1 AP = = D. 0 d n Assim ou, ainda, AP = PD d 1 0 A [X 1 X n ] = [X 1 X n ] d n sendo X i M n 1 (K), i = 1,..., n, a i-ésima coluna de P. A igualdade anterior é equivalente a [AX 1 AX n ] = [d 1 X 1 d n X n ] e, portanto, AX 1 = d 1 X 1,, AX n = d n X n. Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 36 / 47

7 6. Valores e Vectores Próprios 6.2 Matrizes e endomorfismos diagonalizáveis Como P M n n (K) é invertível, tem-se r(p) = n e, portanto, as n linhas de P são linearmente independentes. Como P = P 0 tem-se que r ( P ) = n. Assim, as n linhas de P são linearmente independentes e logo as n colunas de P são linearmente independentes. Conclui-se que X 1,..., X n são n vectores próprios de A linearmente independentes. A implicação recíproca obtém-se de forma idêntica pois, como A tem n vectores próprios X 1,..., X n linearmente independentes, basta considerar P = [X 1 X n ] para se concluir que P é invertível e P 1 AP é uma matriz diagonal. Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 37 / 47

8 6. Valores e Vectores Próprios 6.2 Matrizes e endomorfismos diagonalizáveis Proposição A M n n (K) é diagonalizável se, e só se, r mg(α i ) = n, i=1 sendo α 1,..., α r os valores próprios, dois a dois distintos, da matriz A. Dem. Seja A M n n (K) e sejam α 1,..., α r os valores próprios, dois a dois distintos, da matriz A. Sabemos que o número máximo de vectores próprios de A linearmente independentes, existentes em M αi, i = 1,..., r, é dim M αi = mg(α i ). Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 38 / 47

9 6. Valores e Vectores Próprios 6.2 Matrizes e endomorfismos diagonalizáveis Seja B 1 = (u 11,..., u 1k1 ) uma base de M α1 B r = (u r1,..., u rkr ) uma base de M αr. Os vectores u 11,..., u 1k1,..., u r1,..., u rkr são ainda linearmente independentes. Proposição Se A M n n (K) tem n valores próprios, dois a dois distintos, então A é diagonalizável. Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 39 / 47

10 6. Valores e Vectores Próprios 6.2 Matrizes e endomorfismos diagonalizáveis Exemplos 1 Seja A = estudada num exemplo anterior. M 3 3 (R), A tem os valores próprios 2 com mg(2) = 1 e 1 com mg(1) = 1. Concluímos que A não é diagonalizável. De facto, sendo α 1 = 2 e α 2 = 1 os valores próprios de A, tem-se 2 mg(α i ) = 2 3. i=1 Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 40 / 47

11 6. Valores e Vectores Próprios 6.2 Matrizes e endomorfismos diagonalizáveis Exemplos 2 Seja A = x x x M 3 3 (K), cujo polinómio característico é Lapl. = l3 (3 x) x 1 1 x = (3 x)(x 2 + 1). Se K = R então A tem apenas o valor próprio 3 com ma(3) = 1. O subespaço próprio correspondente é: M 3 = {X M 3 1 (R) : (A 3I 3 ) X = 0} = { a b c M 3 1 (R) : a b c = }. Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 41 / 47

12 6. Valores e Vectores Próprios 6.2 Matrizes e endomorfismos diagonalizáveis Cálculo auxiliar para resolver o sistema (A 3I 3 ) X = 0: 1 10 l l 1 l l 1 + 3l l 2 + 3l (f.e.r.). Então M 3 = = { { a b c c M 3 1 (R) : a = 0 b = 0 : c R } = } = { 0 0 c : c R } Assim mg(3) = 1 e, portanto, A M 3 3 (R) não é diagonalizável (para K = R). Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 42 / 47

13 6. Valores e Vectores Próprios 6.2 Matrizes e endomorfismos diagonalizáveis Se K = C então A tem os valores próprios 3, i e i. Se determinarmos os subespaços próprios correspondentes a cada um desses valores próprios obteremos, respectivamente, M 3 = 0 0 1, M i = i 1 0 Assim, para K = C, A é diagonalizável, pois e M i = mg(3) + mg(i) + mg( i) = 3 Um exemplo de matriz diagonalizante de A é a matriz P = 0 i i e, de acordo com o Teorema anterior, obteremos P 1 AP = i i. i 1 0. Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 43 / 47

14 6. Valores e Vectores Próprios 6.2 Matrizes e endomorfismos diagonalizáveis Note que se considerarmos a matriz, também diagonalizante de A, Q = i i então Q 1 AQ = 0 i 0 i Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 44 / 47

15 6. Valores e Vectores Próprios 6.2 Matrizes e endomorfismos diagonalizáveis Definição Uma aplicação linear f : E E com E de dimensão finita, diz-se diagonalizável se existe uma base B de E tal que é uma matriz diagonal. M(f ; B, B) Proposição Se f : E E é uma aplicação linear com dim(e) = n, então f é diagonalizável se, e só se, f tem n vectores próprios linearmente independentes. Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 45 / 47

16 6. Valores e Vectores Próprios 6.2 Matrizes e endomorfismos diagonalizáveis Exemplo Seja f um endomorfismo de R 3 dado por (a,b,c) R 3 f (a, b, c) = (a, 2b + c, c). Determinar se existe uma base B, de R 3, tal que M(f ; B, B) é uma matriz diagonal e, em caso afirmativo, indicar uma base nessas condições. Seja B a base canónica de R 3 obtemos A = M(f ; B, B ) = A matriz A tem os valores próprios 1 e 2 e os subespaços próprios M 1 = 1 0 0, e M 2 = Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 46 / 47

17 6. Valores e Vectores Próprios 6.2 Matrizes e endomorfismos diagonalizáveis Exemplo Logo, A é diagonalizável, pois tem 3 (= ordem de A) vectores próprios linearmente independentes. Como A = podemos afirmar que, A = e A = f (1, 0, 0) = 1(1, 0, 0), f (0, 1, 1) = 1(0, 1, 1) e f (0, 1, 0) = 2(0, 1, 0). Assim, se tomarmos B = ( (1, 0, 0), (0, 1, 1), (0, 1, 0) ) concluímos que M(f ; B, B) = Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 47 / 47

18 Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 7 - Produto Interno, Externo e Misto Departamento de Matemática FCT/UNL Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 1 / 47

19 Programa 1 Matrizes 2 Sistemas de Equações Lineares 3 Determinantes 4 Espaços Vectoriais 5 Aplicações Lineares 6 Valores e Vectores Próprios 7 Produto Interno, Produto Externo e Produto Misto 8 Geometria Anaĺıtica Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 2 / 47

20 7. Produto Interno, Produto Externo e Produto Misto 7.1 Noções básicas Neste capítulo identificaremos o plano com R 2 o espaço com R 3. Um vector é um ente matemático caracterizado por uma direcção; um sentido; um comprimento. Dois vectores são iguais se tiverem a mesma direcção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento. Os vectores representam-se, habitualmente por letras minúsculas e os pontos por letras maiúsculas. Assim A(a 1, a 2, a 3 ) representa o ponto de coordenadas (a 1, a 2, a 3 ). u(a 1, a 2, a 3 ) ou u = (a 1, a 2, a 3 ) representa o vector que tem como origem a origem do referencial, O, e cuja extremidade é o ponto de coordenadas (a 1, a 2, a 3 ). Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 3 / 47

21 7. Produto Interno, Produto Externo e Produto Misto 7.1 Noções básicas A adição de dois vectores AB e AC é dada pela regra do paralelogramo: AB + AC = AD C... D. A B A multiplicação de um vector AB por um número real α é o vector α AB cuja direcção é a do vector AB, o sentido é o de AB se α > 0 e é o contrário se α < 0 (se α = 0 então AB = 0 ) e cujo comprimento é o produto de α pelo comprimento do vector AB. Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 4 / 47

22 7. Produto Interno, Produto Externo e Produto Misto 7.1 Noções básicas A soma de um ponto P com um vector AB é o ponto extremidade do vector AB aplicado no ponto P: P+ AB = Q Q AB P Dois vectores u e v dizem-se colineares ou paralelos se existe k R tal que u = kv. Assim, dois vectores são colineares, se e só se, as suas coordenadas são vectores linearmente dependentes. Se as suas coordenadas são vectores linearmente independentes podemos afirmar que os vectores não são colineares. Chamamos vector nulo a um vector com comprimento zero e, consequentemente, sem sentido definido ou direcção definida. Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 5 / 47

23 7. Produto Interno, Produto Externo e Produto Misto 7.2 Produto Interno 7.2 Produto interno de vectores de R 3 Definição Sejam A e B dois pontos de R 3. Designa-se por norma ou comprimento do vector u = AB, e representa-se por u, o comprimento do segmento de recta [AB]. Um vector u diz-se unitário se u = 1. Recorde que: 1 u = 0 se, e só se, u = 0. 2 Se α R então αu = α u, em que α = { α se α 0 α se α < 0. Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 6 / 47

24 7. Produto Interno, Produto Externo e Produto Misto 7.2 Produto Interno Definição Sejam u = OA e v = OB dois vectores não nulos. Designa-se por ângulo formado pelos vectores u e v, e representa-se por (u, v), o menor dos ângulos definido pela semi-recta com origem em O que passa pelo ponto A e pela semi-recta com origem em O que passa pelo ponto B. Se O = A ou O = B, isto é, se u = 0 ou v = 0, convenciona-se que (u, v) = 0. Notemos que 0 (u, v) = (v, u) π. Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 7 / 47

25 7. Produto Interno, Produto Externo e Produto Misto 7.2 Produto Interno Exemplo Seja θ = (u, v) = (v, u). Tem-se θ 1 v u θ = π v 2 3 u θ = 0 v u Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 8 / 47

26 7. Produto Interno, Produto Externo e Produto Misto 7.2 Produto Interno Definição Sejam u e v vectores de R 3 e θ = (u, v). Chamamos produto interno ou produto escalar dos vectores u e v ao número real u v = u v cos θ. Definição Sejam u e v vectores de R 3. Dizemos que u e v são perpendiculares, e escrevemos u v, se (u, v) = π 2. Dizemos que u e v são ortogonais se u v = 0. Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 9 / 47

27 7. Produto Interno, Produto Externo e Produto Misto 7.2 Produto Interno Sendo u e v vectores de R 3 e θ = (u, v), notemos que são equivalentes as afirmações: 1 u v = 0. 2 u v cos θ = 0. 3 u = 0 v = 0 cos θ = 0. 4 u = 0 v = 0 θ = π 2. 5 u = 0 v = 0 u v. Tem-se pois: 1 Se u e v são perpendiculares então u e v são ortogonais. 2 u e v podem ser ortogonais e não serem perpendiculares (basta que um deles seja o vector nulo). 3 Se u e v são ambos não nulos então u e v são ortogonais se, e só se, são perpendiculares. Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 10 / 47

28 7. Produto Interno, Produto Externo e Produto Misto 7.2 Produto Interno Notemos que u v pode tomar qualquer valor real. Se u e v são não nulos então u v > 0 se, e só se, cos θ > 0 ou equivalentemente e ou equivalentemente 0 θ < π 2 u v < 0 se, e só se, cos θ < 0 π 2 < θ π. Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 11 / 47

29 7. Produto Interno, Produto Externo e Produto Misto 7.2 Produto Interno Como u u = u u cos 0 = u 2 tem-se u = u u. Se u = 0 ou v = 0 então θ = (u, v) = 0. Caso contrário, tem-se cos θ = u v u v = u v u u v v e, portanto, θ = arccos u v u u v v. Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 12 / 47

30 7. Produto Interno, Produto Externo e Produto Misto 7.2 Produto Interno Proposição Sejam u, v e w vectores de R 3 e α R. Tem-se: 1 u v = v u. 2 α (u v) = (αu) v = u (αv). 3 (u + v) w = u w + v w e w (u + v) = w u + w v. Observação Dados um vector u de R 3 e uma base B = (e 1, e 2, e 3 ) de R 3, sabemos que existem escalares, únicos, α 1, α 2, α 3 tais que u = α 1 e 1 + α 2 e 2 + α 3 e 3. Aos vectores α 1 e 1, α 2 e 2, α 3 e 3 chamamos as componentes do vector u na base B e à sequência (α 1, α 2, α 3 ) chamamos a sequência das coordenadas de u na base B. Assim, fixa uma base B de R 3, o vector u pode ser representado por u(α 1, α 2, α 3 ) ou por u = α 1 e 1 + α 2 e 2 + α 3 e 3. Departamento de Matemática (FCT/UNL) Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 13 / 47