9 ạ Lista de Exercícios de Cálculo II Integrais Triplas: Coordenadas Retangulares, Cilíndricas e Esféricas; Mudança de Variáveis

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1 9 ạ Lista de Exercícios de Cálculo II Integrais Triplas: Coordenadas Retangulares, Cilíndricas e Esféricas; Mudança de Variáveis Professora: Michelle Pierri Exercício 1 Encontre o volume do sólido limitado pelo cilindro y = x 2 e pelos planos y + z = 4 e z = 0. Exercício 2 Considere o sólido do Exercício 1 e estabeleça uma integral tripla para o volume deste sólido com a primeira integração em relação a x. Exercício 3 Calcule cada integral iterada. (a) (x + 2y + 4z) dxdydz (b) 1 0 (c) 1 2x x+z 0 x+1 z x dydzdx (d) z (6x2 z + 5xy 2 ) dzdxdy x z x+z z dydxdz Exercício 4 Em cada item esboce a região limitada pelos gráficos das equações e use uma integral tripla para achar seu volume. (a) z + x 2 = 4, y + z = 4, y = 0, z = 0 ; (b) x 2 + z 2 = 4, y 2 + z 2 = 4; (c) y = 2 z 2, y = z 2, x + z = 4, x = 0; (d) y 2 + z 2 = 1, x + y + z = 2, x = 0; (e) z = 9 x 2, z = 0, y = 1, y = 2; Exercício 5 Cada integral iterada representa o volume de uma região Q em um sistema coordenado xyz. Descreva Q. (a) 1 4 z z 2 dxdydz (b) 2 0 2x x+y x 2 0 dzdydx Exercício 6 Descreva o gráfico da equação em 3 dimensões. (a) (1) r = 4, (2) θ = π/2, (3) z = 1 (b) z = 4r 2 1

2 (c) r = 3 sec θ (d) (1) ρ = 3, (2) φ = π/6, (3) θ = π/3 (f) ρ cos φ = 3 (d) r = 6 sin θ (e) ρ = 4 cos φ (g) ρ = 6 sin φ cos θ Exercício 7 Transforme as coordenadas esféricas (4, π/6, π/2) e (1, 3π/4, 2π/3) em coordenadas retangulares e coordenadas cilíndricas. Exercício 8 Transforme as coordenadas retangulares (1, 1, 2 2) e (1, 3, 0) em coordenadas esféricas e coordenadas cilíndricas. Exercício 9 Transforme a equação para coordenadas cilíndricas e para coordenadas esféricas. (a) x 2 + y 2 + z 2 = 4 (b) 3x + y 4z = 12 (c) y = x (d) x 2 = 4 y 2 Observação 1 (Determinação de Massa de um Sólido) Se um sólido tem massa m e volume V e se a massa é distribuida uniformemente por todo o sólido, dizemos que o sólido é homogêneo. A densidade de massa δ se define como δ = m/v. Assim, δ é massa por unidade de volume. Consideremos agora um sólido não-homogêneo em que a densidade de massa não é a mesma em todo ele. Por exemplo, um objeto pode consistir em metais diferentes, tais como cobre, ferro e ouro, formando um todo único. Introduzindo um sistema de coordenadas-xyz, consideremos um sólido Q em R 3. Para definir a densidade de massa δ(x, y, z) em um ponto P = (x, y, z), consideremos uma sub-região Q k em forma de cubo que contenha P e tenha volume V k e massa m k. Se a maior diagonal V k do cubo é pequena, é de se esperar que m k / V k seja uma aproximação de δ(x, y, z). Isto motiva a seguinte definição. δ(x, y, z) := m k lim. V k 0 V k Se o limite existe e V k 0, então m k δ(x, y, z) V k. Em alguns casos podemos conhecer a massa δ(x, y, z) e querer achar a massa. Se δ é uma função contínua e Q é uma região conveniênte, então consideramos uma partição interior Q k de Q, escolhemos um ponto (x k, y k, z k ) em cada Q k e formamos a Soma de Riemann k δ(x k, y k, z k ) V k. Podemos definir a m de Q como o limite dessas somas. Logo definimos a massa de um sólido por m = δ(x, y, z) dv. Q Observação 2 (Determinação de Massa de uma Lâmina) A mesma discução da Observação acima vale para uma lâmina com a forma de uma região R do plano-xy. Consideremos uma sub-região retangular R k que contenha o ponto P = (x, y) e que tenha área A k. Neste caso a densidade de massa por área em P é dada por δ(x, y) := m k lim, A k 0 A k 2

3 e a massa de uma lâmina é dada por m = R δ(x, y) da. Exercício 10 Uma lâmina com densidade δ(x, y) = y 2 tem a forma da região {y = e x ; x = 0; x = 1; y = 0}. Estabeleça uma integral dupla iterada para encontrar a massa da lâmina. Exercício 11 Um sólido com densidade δ(x, y) = x 2 + y 2 tem a forma da região {x + 2y + z = 4; x = 0; y = 0; z = 0}. Estabeleça uma integral tripla iterada para encontrar a massa do sólido. Exercício 12 Uma lâmina tem a forma de um triângulo retângulo isóceles com lados iguais de comprimento a. Ache a massa, se a densidade de massa por área em um ponto P = (x, y) é diretamente proporcional ao quadrado da distância de P ao vértice oposto à hipotenusa. Exercício 13 Um sólido tem a forma de um cilindro circular reto com raio da base a e altura h. Ache a massa se a densidade em um ponto P = (x, y, z) é diretamente proporcional à distância de uma das bases a P. Observação 3 (Momentos e Centros de Massa) Podemos usar integrais duplas para encontrar os momentos e o centro de massa de uma lâmina não homogênea L que tenha a forma de uma região R do plano-xy. A partir de uma partição interior de R podemos estabelecer a seguinte definição. Definição 1 Seja L uma lâmina com a forma de uma região R do plano-xy. Se a densidade de massa por área em (x, y) é δ(x, y) e se δ é contínua em R, então os momentos M x e M y e o centro de massa ( x, ȳ) são dados por (a) M x = R yδ(x, y) da, M y = R xδ(x, y) da. (b) x = My m, ȳ = Mx m. Note que se L é homogênea, então a densidade δ(x, y) é constante e pode ser cancelada na Definição 2(b). Assim, o centro de massa de uma lâmina homogênea depende apenas de sua forma. ( x, ȳ) é o centróide da região R. Exercício 14 Uma lâmina tem a forma de um triângulo retângulo isóceles com lados iguais de comprimento a. A densidade de massa por área no ponto P = (x, y) é diretamente proporcional ao quadrado da distância de P ao vértice oposto à hipotenusa. Ache o centro de massa. Observação 4 (Momentos de Inércia de uma Lâmina) Os momentos M x e M y na Definição 2 também são chamados primeiros momentos de L com relação aos eixos coordenados. Tomando os quadrados das distâncias dos eixos coordenados, obtemos os segundos momentos. Definição 2 Seja L uma lâmina com a forma de uma região R do plano-xy. Se a densidade de massa por área em (x, y) é δ(x, y) e se δ é contínua em R, então os segundos momentos ou momentos de Inércia I x e I y e o momento de inércia com relação à origem I 0 são dados por 3

4 (a) I x = R y2 δ(x, y) da, I y = R x2 δ(x, y) da. (b) I 0 = R (x2 + y 2 )δ(x, y) da = I x + I y. Exercício 15 Uma lâmina tem a forma semi-circular {x 2 + y 2 = a 2 ; y 0}. A densidade de massa por área é diretamente proporcional à distância do eixo-x. Ache o momento de inércia em relação ao eixo-x. Observação 5 (Momentos e Centros de Massa em três dimensões) Suponhamos agora um sólido com a forma de uma região tridimensional Q. Suponhamos que a densidade de massa em P = (x, y, z) seja δ(x, y, z) e que δ seja contínua em Q. Usando uma partição interior de Q podemos estabelecer a seguinte definição Definição 3 Os momentos do sólido Q M xy, M xz e M yz em relação aos planos xy, xz e yz, respectivamente e o centro de massa ( x, ȳ, z) são dados por (a) M xy = Q zδ(x, y, z) dv, M xz = Q yδ(x, y, z) dv, M yz = Q xδ(x, y, z) dv. (b) x = Myz m, ȳ = Mxz Mxy m, z = m. Note que se o sólido é homogêneo, então a densidade δ(x, y, z) é constante e pode ser cancelada na Definição 3(b). Assim, o centro de massa de um sólido homogêneo depende apenas de sua forma Q. Como para 2 dimensões o ponto ( x, ȳ, z) correspondente para sólidos geométricos é chamado centróide do sólido Q. Observação 6 (Momentos de Inércia de Sólidos) Se uma partícula de massa m está no ponto (x, y, z), então sua distância ao eixo-z é (x 2 + y 2 ) 1/2 e seu momento de inércia I z em relação ao eixo x define-se como (x 2 + y 2 )m. Da mesma forma os momentos de inércia I x e I y em relação aos eixos x e y são (y 2 + z 2 )m e (x 2 + z 2 )m, respectivamente. Para um sólido Q empregamos limites e somas de maneira usual para obter a seguinte definição. Definição 4 Seja Q um sólido tridimensional. Os momentos de inércia I x, I y e I z em relação aos eixos x, y e z são dados respectivamente por (a) I x = Q (y2 + z 2 )δ(x, y, z) dv (b) I y = Q (x2 + z 2 )δ(x, y, z) dv (c) I z = Q (x2 + y 2 )δ(x, y, z) dv Exercício 16 Um sólido tem a forma da região do primeiro octante limitada pelo parabolóide z = 4 9x 2 y 2 e os planos y = 4x, z = 0 e y = 0. A densidade em P = (x, y, z) é proporcional à distância da origem a P. Estabeleça integrais iteradas para calcular x. Exercício 17 Um sólido tem a forma de um cilindro circular reto com raio da base a e altura h. A densidade em um ponto P = (x, y, z) é diretamente proporcional à distância de uma das bases a P. Ache o centro de massa do sólido. Em seguida, ache o momento de inércia, em relação ao eixo de simetria deste sólido. 4

5 Observação 7 Para um estudo mais detalhado sobre Momentos e Centros de Massa veja, por exemplo, Swokowski pgs: Exercício 18 Um sólido é limitado pelo cône z = x 2 + y 2 e pelo plano z = 2. A densidade em P = (x, y, z) é proporcional ao quadrado da distância da origem a P.Use coordenadas cilíndricas para encontrar sua massa. Exercício 19 Use coordenadas cilíndricas para encontrar o centróide de um sólido hemisférico Q de raio a. Exercício 20 Um sólido é limitado pelo parabolóide z = x 2 + y 2, pelo cilindro x 2 + y 2 = 4 e pelo plano-xy. Use coordenadas cilíndricas para encontrar seu volume e seu centróide. Exercício 21 Um cilindro circular reto homogêneo de densidade δ tem altura h e raio de base a. Encontre seu momento de inércia, em relação ao eixo do cilindro e em relação a um diâmetro da base. Exercício 22 Um sólido é limitado pelo cône z = x 2 + y 2 e pelo plano z = 2. A densidade em P = (x, y, z) é proporcional ao quadrado da distância da origem a P.Use coordenadas esféricas para encontrar sua massa. Exercício 23 Encontre o volume e o centróide da região Q limitada acima pela esfera ρ = a e abaixo pelo cône φ = c, com 0 < c < π/2. Exercício 24 Use coordenadas esféricas para encontrar a massa e o centro de massa de um sólido hemisférico Q de raio a se a densidade em um ponto P é diretamente proporcional à distância do centro da base a P. Em seguida encontre o momento de inércia em relação ao eixo de simetria. Exercício 25 Seja T (x, y) = (u, v) a transformação do plano-xy para o plano-uv definida pelas fórmulas dadas. Em cada item, descreva as curvas-u e as curvas-v e em seguida estabeleça fórmulas x = F (u, v), y = G(u, v) que definam T 1. (a) u = 3x, v = 5y (b) u = x y, v = 2x + 3y Exercício 26 Seja T (x, y) = (u, v) a transformação do plano-xy para o plano-uv definida pelas fórmulas dadas (Veja o Exercício anterior). Em cada item, encontre a curva do plano-uv que corresponde à curva do plano-xy especificada. (a) u = 3x, v = 5y (i) o retângulo de vértices (0, 0), (0, 1), (2, 1), (2, 0); (ii) o círculo x 2 + y 2 = 1 (b) u = x y, v = 2x + 3y (i) o triângulo de vértices (0, 0), (0, 1), (2, 0); (ii) a reta x + 2y = 1 5

6 Exercício 27 Em cada caso, expresse a integral como uma integral dupla iterada sobre uma região S no plano-uv fazendo a mudança de variáveis indicada. (a) R (y x) dxdy, onde a fronteira de R é {y = 2x, y = 0, x = 2} e a mudança de variáveis é x = u + v, y = 2v. (b) R ( x2 4 + y2 x2 9 ) dxdy, onde a fronteira de R é { x = 2u, y = 3v. 4 + y2 9 = 1} e a mudança de variáveis é Exercício 28 Em cada caso, calcule a integral fazendo a mudança de variáveis indicada. (a) R (x y)2 cos 2 (x + y) dxdy, onde a fronteira de R é o quadrado de vértices (0, 1), (1, 2), (2, 1), (1, 0) e a mudança de variáveis é u = x y, v = x + y. 2y+x (c) R y 2x dxdy, onde a fronteira de R é o trapézio de vértices ( 1, 0), ( 2, 0), (0, 4), (0, 2) e a mudança de variáveis é u = y 2x, v = 2y + x. Exercício 29 Se x = f(u, v, w), y = g(u, v, w) e z = h(u, v, w), defina o Jacobiano (x,y,z) (u,v,w). Exercício 30 (Mudança de Variáveis para o Caso Tridimensional) De forma análoga ao caso de funções de 2 variáveis temos o seguinte Teorema de mudança de variáveis para uma função de 3 variáveis. Teorema 1 Se x = f(u, v, w), y = g(u, v, w) e z = h(u, v, w) é uma transformação de coordenadas de uma região S em um sistema coordenado-uvw em uma região R em um sistema coordenado-xyz e se o Jacobiano (x,y,z) (u,v,w) não muda de sinal em S, então F (x, y, z) dxdydz = G(u, v, w) (x, y, z) (u, v, w) dudvdw, R onde G(u, v, w) é a expressão obtida pela substituição de x, y, z em F (x, y, z). Senóides elípticas constituem boas aproximações da forma do fundo de muitos lagos. Suponha que a borda de um lago tenha a forma da elipse x2 + y2 = 1, com a > 0 e b > 0. Se a a 2 b 2 profundidade máxima da água é h M, então uma senóide elíptica é dada por ( ) π x 2 f(x, y) = h M cos 2 a 2 + y2 b 2, onde x2 + y2 1. Encontre o volume V e a profundidade média h a 2 b 2 med da água no lago. (Sugestão: veja Swokowski pag Exemplo6). S 6