22/Fev/2018 Aula Queda livre 2.2 Movimento 2 e 3-D Vetor deslocamento Vetor velocidade Vetor aceleração

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1 22/Fev/2018 Aula2 2.1 Queda livre 2.2 Movimento 2 e 3-D Vetor deslocamento Vetor velocidade Vetor aceleração 2.3 Lançamento de projétil Independência dos movimentos Forma vetorial ângulo de lançamento Alcance 26/Fev/2018 Aula 3 3. Leis de Newton (leis do movimento) 3.1 Conceitos básicos 3.2 Primeira lei (inércia) Referenciais de inércia 3.3 Segunda lei (F=ma) 3.4 Terceira lei (reação) 1

2 Aula anterior 2.1 Queda livre Queda livre a partir do repouso: v x = v 0x + a x t = 0 + gt x = 1 2 a x t2 + v 0x t + x 0 = 1 2 gt Método de resolução: 1) Determinar o que é pedido (tempo, distância, velocidade, aceleração, ) 2) Desenhar o objeto nas posições inicial e final. Definir o sistema de eixos. 3) Selecionar as equações relevantes e resolvê-las. Só no fim, substituir os valores dados e calcular o resultado. 4) Verificar se o resultado tem as dimensões certas e o valor esperado. 2

3 Aula anterior 2.2 Movimento 2 e 3-D! e x = ˆx = î = (1,0,0) = versor da direção +x! e y = ŷ = ĵ = (0,1,0) = versor da direção + y! e z = ẑ = ˆk = (0,0,1) = versor da direção +z! A = A x! ex + A y! ey + A z! ez =! A x +! A y +! A k = A x ˆx + A y ŷ + A z ẑ = (A x, A y, A z ) 3

4 Aula anterior 2.3 Lançamento de projétil A aceleração é independente da direção da velocidade. A resistência do ar é desprezada. g = 9,80 m/s 2, dirigida para baixo. x(t) = x 0 + v 0x t y(t) = y 0 + v 0 y t 1 2 gt2 v x = v 0x v y = v 0 y gt 2 v x = 2 v0x 2 v y = 2 v0 y 2gΔy 4

5 Aula anterior Ângulo de lançamento Ângulo de lançamento: direção da velocidade inicial, relativamente à horizontal. Exemplo: em qual destes casos a velocidade de chegada à água é maior? 2 v água = v gh 2 v água = v gh 5

6 Ângulo zero Se o ângulo de lançamento for igual a zero, a velocidade inicial na direção de y é zero. x 0 = 0 y 0 = h x = v 0 t y = h 1 2 gt2 v x = v 0 = constante v y = gt v x 2 = v0 2 = constante v y 2 = 2gΔy 6

7 Ângulo zero Se o ângulo de lançamento for igual a zero, a trajetória é o ramo de uma parábola. x = v 0 t t = x v 0 y = h 1 2 g x v 0 2 = h g 2v 0 2 x2 Esta equação é da forma y = a + bx 2, que representa uma parábola. O ponto de chegada ao solo pode ser encontrado fazendo y = 0: x = v 0 2h g 7

8 Ângulo diferente de zero Se o ângulo de lançamento for diferente de zero: x 0 = 0 y 0 = 0 v 0x = v 0 cosθ v 0 y = v 0 senθ x(t) = ( v 0 cosθ)t y(t) = ( v 0 senθ) 1 2 gt2 v x = v 0 cosθ v y = v 0 senθ gt v x 2 = v0 2 cos 2 θ v y 2 = v0 2 sen 2 θ 2gΔy 8

9 Ângulo diferente de zero Se o ângulo de lançamento for diferente de zero, a trajetória continua a ser uma parábola. t = x x y(x) = v v 0 y 0x v 0x 1 2 g x v 0x 2 = v 0 y v 0x x g 2 2v 0x x2 ( ) x y(x) = tgθ 0 g 2 2v 0 cos 2 θ 0 x2 Esta equação é da forma y = ax + bx 2, que representa uma parábola. 9

10 Ângulo diferente de zero Se o ângulo de lançamento for diferente de zero, a trajetória continua a ser uma parábola. ( ) x y(x) = tgθ 0 g 2 2v 0 cos 2 θ 0 x2 Projétil 1 simulação y x 10

11 Ângulo diferente de zero Simetria no movimento: Mesmos y e v Mesmos y e v 11

12 2.3.4 Alcance Alcance é a distância percorrida na horizontal. y(t) = ( v 0 senθ) 1 2 gt2 y = 0 0 = t v 0 y 1 2 gt t = 0 ou t = 2 g v 0 y = 2 g v 0 senθ R = x = v 0x t = v 0 cosθ 2 g v 0 senθ = v 0 2 Como g ( 2senθ cosθ) 2senθ cosθ = sen 2θ R = x = v 0 2 sen 2θ g 12

13 2.3.4 Alcance Para a mesma velocidade inicial, o alcance máximo verifica-se quando dx dθ = 0 d ( sen 2θ ) dθ = 0 senθ = cosθ θ = 45 Projétil 2 filme 13

14 3.1 Conceitos básicos O que causa uma aceleração? Uma força. A força é uma grandeza vetorial: tem uma amplitude e um sentido. 14

15 3.1 Conceitos básicos A massa pode ser encarada como uma medida da quantidade de matéria do objeto dificuldade em mudar a velocidade do objeto inércia do objeto 15

16 3.1 Conceitos básicos Forças de contacto Forças de campo 16

17 3.1 Conceitos básicos A inércia pode ser definida como a tendência que uma massa tem de resistir a uma aceleração. Na figura (a), o avião move-se com uma velocidade constante, pelo que a bola não se move (no referencial do avião). Na figura (b), o avião está a ser acelerado, pelo que a bola tende a deslocar-se (a acelerar) para a parte de trás do avião. 17

18 3.1 Conceitos básicos Força normal: quando um objeto empurra uma superfície, esta empurra-o como reação, perpendicularmente à superfície. É uma força de contacto. Força de fricção: para além da força normal, pode existir uma força (de fricção), paralelamente à superfície e no sentido contrário ao do movimento. É uma força de contacto. 18

19 3.1 Conceitos básicos Força de tensão: força exercida por um fio ou uma corda, sobre um objeto. É uma força de contacto. Peso: força da gravidade exercida sobre um objeto. É uma força de campo, de longo alcance. 19

20 3.1 Conceitos básicos Qualquer força pode ser expressa nas suas componentes, segundo cada eixo ortogonal x, y e z.! F = F x! ex + F y! ey + F z! ez 20

21 3.1 Conceitos básicos Várias forças aplicadas num ponto de um objeto têm o mesmo efeito que a força resultante, igual à soma vetorial das várias forças.! F res =! F 1 +! F 2 +! = n i=1 " F i! F res! F =! F res F res y F res x 21

22 3.1 Conceitos básicos 22

23 3.2 Primeira Lei de Newton (Lei da Inércia) Primeira Lei de Newton: se a resultante das forças que atuam numa partícula for nula, então essa partícula livre ou se move sempre em linha reta com velocidade constante (sem aceleração), ou está em repouso. 23

24 3.2.1 Referenciais de inércia Referencial de inércia: qualquer sistema de coordenadas que esteja em repouso ou que se desloque em qualquer direção, com velocidade constante. Exemplo: a velocidade do passageiro, relativamente ao chão, depende dos sentidos relativos das velocidades do passageiro e do comboio. 24

25 3.2.1 Referenciais de inércia Referencial de inércia: qualquer sistema de coordenadas que esteja em repouso ou que se desloque em qualquer direção, com velocidade constante.! v passageiro, chão =! v passageiro, comboio +! v comboio, chão 25

26 3.2.1 Referenciais de inércia Amy, Bill e Carlos medem a velocidade do corredor. Os vetores velocidade (a verde) são mostrados no referencial da Amy. Qual é a velocidade do corredor? A resposta depende do referencial do observador: Amy: v corredor = 5 m/s Bill: v corredor = 0 m/s Carlos: v corredor =-10 m/s 26

27 3.2 Segunda Lei de Newton A aceleração de um objeto é proporcional à resultante das forças nele aplicadas: a F A aceleração é inversamente proporcional à massa: a 1 m 27

28 3.2 Segunda Lei de Newton Segunda lei de Newton: o vetor aceleração de uma partícula é proporcional ao vetor força resultante, que nela atua. a F a 1 m a = F m! F = m! a! F = m! a F = Newton = kg m/s2 Exemplo: uma força de 3 N provoca uma aceleração de 2 m/s 2 num objeto. Qual é a massa do objeto? m 1 = F (3 N) = a 1 (2 m/s 2 ) =1,5 kg m 1 28

29 3.2 Segunda Lei de Newton Como a massa é positiva, a força e a aceleração têm o mesmo sentido.! F = m! a Diagrama de forças separar o sistema em partes (partículas ou pontos) representar as forças que atuam em cada uma escolher um sistema de coordenadas conveniente representar as componentes de cada força aplicar as leis de Newton. 29

30 3.2 Segunda Lei de Newton Exemplo de um diagrama de forças! F = m! a Diagrama de forças separar o sistema em partes (partículas ou pontos) representar as forças que atuam em cada uma escolher um sistema de coordenadas conveniente representar as componentes de cada força aplicar as leis de Newton. 30

31 Exemplo O semáforo da figura tem um peso de 122 N. Está ligado a um fio que, por sua vez, liga a dois outros fixos a um suporte vertical. Calcule as tensões T 1 e T 2 nos dois fios de suporte T 3 T 1 y T 2 T 1 T x T 3 F g T 3 Equilíbrio (b) Figure 5.10 (Example 5.4) (a) A traffic light suspended by cables. (b) Free-body diagram for the traffic light. (c) Free-body diagram for the knot where the three cables are joined. F x = 0, F y = 0 (c) F x = T 1 cos37 +T 2 cos53 = 0 F y = T 1 sen37 +T 2 sen53 T 3 = 0 T 1 = 73,4 N T 2 = 97,4 N 31

32 3.3 Terceira Lei de Newton Terceira lei de Newton: se uma partícula exercer noutra uma força então a segunda partícula exerce na primeira uma força R, de igual módulo e de sentido contrário:! F =! R!! F, 32

33 3.3 Terceira Lei de Newton Exemplos 33

34 3.3 Terceira Lei de Newton Exemplo: puxar uma corda 1 2 A corda, presa à parede, é puxada com uma força de 100 N. A corda é puxada, em sentidos opostos, com duas forças de 100 N cada. Qual é a maior tensão? a. T 1 >T 2 b. T 1 =T 2 c. T 1 <T 2 34