Chama-se evento todo subconjunto de um espaço amostral. PROBABILIDADE. Introdução

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1 Introdução PROBABILIDADE Há certos fenômenos (ou experimentos) que, embora sejam repetidos muitas vezes e sob condições idênticas, não apresentam os mesmos resultados. Por exemplo, no lançamento de uma moeda perfeita, o resultado é imprevisível; não se pode determiná-lo antes de ser realizado. Aos fenômenos (ou experimentos) desse tipo damos o nome de fenômenos aleatórios (ou casuais). Pelo fato de não sabermos o resultado exato de um fenômeno aleatório é que buscamos os resultados prováveis, as chances, as probabilidades de um determinado resultado ocorrer. A teoria das probabilidades é um ramo da Matemática que cria, elabora e pesquisa modelos para estudar experimentos ou fenômenos aleatórios. Espaço amostral Em um experimento (ou fenômeno) aleatório, o conjunto formado por todos os resultados possíveis é chamado espaço amostral, que vamos indicar por U. Exemplos: ) No lançamento de uma moeda: U cara, coroa ) No lançamento de um dado: U,,,,, 6 Evento Chama-se evento todo subconjunto de um espaço amostral. Exemplos: ) No lançamento de um dado, por exemplo, em relação à face voltada para cima, podemos ter os eventos: O número é par: O número é menor que : U,,, O número é 8: ) Uma urna contém 0 bolas numeradas de a 0. Retira-se uma bola ao acaso e observa-se o número indicado. Descrever de forma explícita os seguintes conjuntos e dar o número de elementos cada um: O espaço amostral U O evento ímpar O vento : o número da bola é múltiplo de B,, A : o número da bola é Solução: O conjunto de todos os resultados possíveis é representado pelo seguinte espaço amostral: U,,,,, 6,, 8,, 0. O número de elementos desse conjunto é n U 0 Se o número da bola é ímpar, temos o evento: A,,,,. O número de elementos desse conjunto é n A Se o número da bola é múltiplo de, temos o evento: B, 6,. O número de elementos desse conjunto é n B Eventos mutuamente exclusivos 6

2 Dizemos que dois eventos A e B são mutuamente exclusivos quando a realização de um exclui a possibilidade de realização do outro. Exemplo Uma urna contém 0 bolas numeradas de a 0. Retira-se uma bola ao acaso e observa-se o número indicado. Descrever de forma explícita os seguintes eventos: O evento múltiplo de O evento : o número da bola é múltiplo de A : o número da bola é B Temos que seu espaço amostral é U,,,,, 6,, 8,, 0. Observe que os eventos A, 6, e B, 0 são mutuamente exclusivos, pois, ao acontecer o evento exclui-se a possibilidade de acontecer o evento B e, ao acontecer o evento exclui-se a possibilidade de acontecer o evento A. Probabilidade de um evento em um espaço amostral finito. Dado um experimento aleatório, sendo U o seu espaço amostral, vamos admitir que todos os elementos de tenham a mesma chance de acontecer, ou seja, que U é um conjunto equiprovável. Chamamos de probabilidade de um evento A A U o número real P A, n tal que: A P A, onde: n A é o n U número de elementos do conjunto A; e B A U é o número de elementos do conjunto U. Em outras palavras, n U P( A) número de número total casos favoáveis de casos possíveis. Exemplo No lançamento de dois dados, qual a probabilidade de a soma nos dois dados ser maior que 8? Observe o espaço amostral desse evento: Como é um espaço equiprovável e n U 6, a probabilidade U. de cada evento simples é 6 Vamos chamar de o evento a soma nos dois dados é maior que 8. n E 0. A probabilidade do evento E é n dada por: E 0 P E n U 6 PROBABILIDADE DE UM EVENTO EM UM ESPAÇO AMOSTRAL FINITO. E EXERCÍCIOS U

3 0- Entre os voluntários que trabalharão na Olimpíada do Rio 06, considere que 60% residem no Rio de Janeiro, que o restante reside fora do Rio de Janeiro, que o número de homens é igual ao número de mulheres e que 0% dos homens residem no Rio de Janeiro. Tomando ao acaso um desses voluntários, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a probabilidade de ser uma mulher e de ela morar fora do Rio de Janeiro Em uma central de atendimento, cem pessoas receberam senhas numeradas de até 00. Uma das senhas é sorteada ao acaso. Qual é a probabilidade de a senha sorteada ser um número de a 0? O gráfico de barras abaixo exibe a distribuição da idade de um grupo de pessoas. Mostre que, nesse grupo, a média de idade dos homens é igual à média de idade das mulheres. Escolhendo ao acaso um homem e uma mulher desse grupo, determine a probabilidade de que a soma de suas idades seja igual a anos. 0- Uma caixa contém luminárias coloridas, sendo que cada uma delas possui duas cores diferentes, uma cor na cúpula e outra na base. A tabela mostra as cores das luminárias e suas respectivas quantidades. Retirando-se aleatoriamente uma luminária dessa caixa, a probabilidade de que ela tenha a cor amarela ou a cor verde em uma de suas partes é

4 0- Em uma urna vazia foram colocadas fichas iguais, em cada uma das quais foi escrito apenas um dos anagramas da palavra HOSPITAL. A probabilidade de que, ao sortear-se uma única ficha dessa urna, no anagrama nela marcado as letras inicial e final sejam ambas consoantes é 06- Em uma urna são depositadas x bolas pretas e 0 bolas brancas. Em uma segunda urna são colocadas 0 bolas a mais que na primeira, das quais x são pretas. Retira-se, ao acaso, uma única bola de cada urna. Se a probabilidade P da bola retirada ser preta for a mesma para cada urna, o valor de P é: 0% % 0% % 0% 0- Seis médicos M, M, M, M, M e M 6 participam de um sorteio para compor a equipe de três médicos de um plantão de sábado em uma clínica. A probabilidade de que M seja sorteado e M não seja sorteado é de: Em um curso de computação, uma das atividades consiste em criar um jogo da memória com as seis cartas mostradas a seguir. Inicialmente, o programa embaralha as cartas e apresenta-as viradas para baixo. Em seguida, o primeiro jogador vira duas cartas e tenta formar um par. A probabilidade de que o primeiro jogador forme um par em sua primeira tentativa é 6 0- Um dado convencional e uma moeda, ambos não viciados, serão lançados simultaneamente. Uma das faces da moeda está marcada com o número, e a outra com o número 6. A probabilidade de que a média aritmética entre o número obtido da face do dado e o da face da moeda esteja entre e é igual a (A) (B)

5 (C) (D) (E) 0- Foi feita uma pesquisa sobre o estado onde nasceu cada professor de uma escola. Os resultados estão representados no gráfico abaixo. Analisando o gráfico, marque V para verdadeiro ou F para falso e, em seguida, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta. ( ) A escola tem um total de 0 professores. ( ) Escolhendo ao acaso um desses professores, a probabilidade de ter nascido no Paraná é 0,. ( ) 0 professores não nasceram na Bahia. ( ) A probabilidade de escolher ao acaso um desses professores e ele ser da região Sul do Brasil é 0,. ( ) A porcentagem dos professores que nasceram em São Paulo é de 0%. V/ F/ V/ V/ F V/ V/ F/ F/ F F/ F/ V/ F/ V V/ V/ V/ F/ F V/ F/ F/ V/ V - Um dado é lançado ao acaso. Qual é a probabilidade de que o número da face superior seja um divisor de 6? 6 - Um caixa eletrônico de certo banco dispõe apenas de cédulas de 0 e 0 reais. No caso de um saque de 00 reais, a probabilidade do número de cédulas entregues ser ímpar é igual a / / / / - As esferas metálicas M, N, P e Q ilustradas a seguir são idênticas, mas possuem temperaturas diferentes. Duas dessas esferas serão escolhidas ao acaso e colocadas em contato até que o equilíbrio térmico seja atingido. A probabilidade de que a temperatura no equilíbrio não seja negativa é

6 6 6 - Estão, em uma repartição, pessoas, entre elas, Ricardo e José. Escolhendo-se ao acaso um grupo de pessoas, a probabilidade de que Ricardo ou José, apenas um deles, pertença ao grupo é de: - O gamão é um jogo de tabuleiro muito antigo, para dois oponentes, que combina a sorte, em lances de dados, com estratégia, no movimento das peças. Pelas regras adotadas, atualmente, no Brasil, o número total de casas que as peças de um jogador podem avançar, numa dada jogada, é determinado pelo resultado do lançamento de dois dados. Esse número é igual à soma dos valores obtidos nos dois dados, se esses valores forem diferentes entre si; e é igual ao dobro da soma, se os valores obtidos nos dois dados forem iguais. Supondo que os dados não sejam viciados, a probabilidade de um jogador poder fazer suas peças andarem pelo menos oito casas em uma jogada é 6 6- Sandra comprou uma caixa de balas sortidas. Na caixa, havia 8 balas de sabor menta, 6 balas de sabor morango, 6 balas de sabor caramelo e balas de sabor tangerina. A probabilidade de Sandra escolher na caixa, ao acaso, uma bala de tangerina é 6 - Dois dados são jogados simultaneamente. A probabilidade de se obter soma igual a 0 nas faces de cima é Pretende-se colocar, sobre um tabuleiro como o da figura acima, nove peças de mesma forma e tamanho, das quais quatro são brancas e cinco são pretas. 6

7 Cada casa do tabuleiro será ocupada por uma só peça. Supondo que as peças são colocadas ao acaso, a probabilidade de os quatro cantos do tabuleiro serem ocupados por quatro peças pretas é: Paula ganhou de Felipe doze colares, cinco deles de pena e sete deles de contas. Paula ganhou de Samir dezoito colares, dez deles de pena e oito deles de contas. Paula guarda todos esses colares e somente esses em sua caixa de jóias. Paula resolveu retirar, ao acaso, um colar de sua caixa de jóias. A probabilidade de que seja um colar de pena dado por Felipe é de: / /6 / / 0- Dois dados cúbicos, não viciados, com faces numeradas de a 6, serão lançados simultaneamente. A probabilidade de que sejam sorteados dois números consecutivos, cuja soma seja um número primo, é de - Uma caixa contém bolas azuis, brancas e amarelas, indistinguíveis a não ser pela cor. Na caixa existem 0 bolas brancas e 8 bolas azuis. Retirando se ao acaso uma bola da caixa, a probabilidade de ela ser amarela é amarelas é A 0- C 0-. Então, o número de bolas GABARITO Para que a soma das idades seja igual a anos, as escolhas são: um homem de anos e uma mulher de anos, com possibilidade, ou um homem de anos e uma mulher de anos, com 6 possibilidades. Temos então 6 possibilidades e, como o total de pares possíveis é igual a 6, a probabilidade requerida é dada por. 6

8 0- C 0- A 06- A 0- E 08- D 0- A 0- E - C - B - E - C - C 6- B - B 8- B - B 0- A - B PROBABILIDADE COMPLEMENTAR DO EVENTO EXERCÍCIO 0- No lançamento simultâneo de dois dados honestos, a probabilidade de não sair soma, é igual a: A GABARITO 8