Meu nome: Minha Instituição:

Transcrição

1 Meu nome: Minha Instituição:

2 1. André, Samuel e Renan desenvolveram três desafios matemáticos relacionados à geometria para uma competição entre eles. Desse modo, cada um teria que resolver os dois desafios que não são de sua própria autoria. A seguir temos os três desafios criados por eles. Você agora faz parte da competição e terá que resolver os três desafios. a) O desenho a seguir representa circunferências cujos raios formam a sequência dos números naturais ímpares. Elas foram ordenadas de forma que seus centros então alinhados e o centro de uma pertence à circunferência posterior na sequência, conforme a figura: Continuemos assim indefinidamente. Se em determinado instante chamarmos de n o número de circunferências assim construídas, qual será o valor da soma dos segmentos DA + EB + FC +? 1

3 b) Sabendo que o triângulo CDE é equilátero, calcule a área sombreada da figura, onde os raios dos círculos maior e menor medem, respectivamente, R e r. 2

4 c) Considere um triângulo retângulo ABC com ângulo reto em C. A reta r intercepta os segmentos AC e AB nos pontos D e E, respectivamente, e a reta s intercepta os segmentos BC e AB nos pontos F e G, respectivamente. Sendo H a interseção de r e s, mostre que se os triângulos ADE e BFG são isósceles, então o ângulo EH G = 45. TOTAL 3

5 2. Os números figurados são assim chamados por estarem associados a padrões geométricos. A seguir, temos a sequência dos números triangulares (T 1, T 2, T 3, ) e também a sequência dos números quadrangulares (Q 1, Q 2, Q 3, ). a) Desenhe o T 7 e o Q 6, ou seja, o 7º número triangular e o 6º número quadrangular. 4

6 b) Quantos pontinhos ( ) terá o número triangular T 10 e o número quadrangular Q 10? c) Quantos pontinhos ( ) terá o n-ésimo número triangular, ou seja, T n? 5

7 d) Mostre que um número quadrangular, a partir do segundo, é o resultado da adição de um número triangular, que tenha a mesma posição do quadrangular considerado e o seu antecessor triangular. TOTAL 6

8 3. O número de ouro é uma constante irracional denotada pela letra grega φ (Phi), em homenagem ao escultor Phidias. Dizemos que quando um ponto divide um segmento em média e extrema razão significa que este foi seccionado de forma notável, dando origem a dois segmentos desiguais. Partindo desses segmentos temos o número de ouro, ou seja, a relação que a define como: na figura abaixo, onde a > b > 0. AB AC = AC CB = φ a) Mostre que φ =

9 b) O número de ouro é o aporte para determinarmos um retângulo áureo. Para definirmos se um retângulo é áureo, a razão do lado maior pelo lado menor será sempre igual a φ. Determine a área do retângulo áureo abaixo. TOTAL 8

10 4. O Triângulo de Pascal é um triângulo numérico infinito formado pelos coeficientes binomiais. Ele foi descoberto pelo matemático chinês Yang Hui ( ) e, posteriormente, várias de suas propriedades foram estudadas por Blaise Pascal ( ). A numeração das linhas e colunas começa em zero. a) Mostre que, ao longo das linhas do Triângulo de Pascal, os elementos destacados, distantes uma posição dos extremos, correspondem a sequência dos números naturais a partir de um. 9

11 b) Mostre que no Triângulo de Pascal os algarismos em cada linha, a partir da linha 1, formam um múltiplo de

12 c) Os números figurados são assim chamados por estarem associados a padrões geométricos. A seguir, temos a sequência dos números triangulares (T 1, T 2, T 3, ). Mostre que a coluna 2 e também a diagonal 2 em destaques são formadas por números triangulares ao longo de todo o Triângulo de Pascal. 11

13 d) Observe os números nas diagonais marcadas pelas linhas tracejadas. A soma de cada uma das diagonais formam a Sequência de Fibonacci: os dois primeiros elementos dessa sequência são iguais a 1 e a partir do terceiro, cada elemento é igual a soma dos dois anteriores. Encontre o n-ésimo Número de Fibonacci no Triângulo de Pascal, ou seja, o número Fib(n) em função dos números binomiais do Triângulo de Pascal. TOTAL 12

14 5. Um grupo de n amigos está brincando de "telefone sem fio", ou seja, a primeira pessoa passa uma informação à segunda pessoa que repassa à terceira, e assim por diante. A probabilidade de sucesso na transmissão da informação de uma pessoa qualquer ao seu vizinho é independente e constante igual a p. O jogo é considerado bem sucedido quando a informação emitida pelo primeiro jogador chega corretamente ao último. a) Determine a probabilidade da n-ésima pessoa receber a informação corretamente. b) Obtenha n em função de p de modo que a probabilidade de sucesso do jogo seja igual a 10%. 13

15 c) Encontre a probabilidade do jogo ser bem sucedido pelo menos uma vez se for repetido t vezes. TOTAL 14