CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I NOTAS DE AULAS Prof. Dr. Luiz Francisco da Cruz Departamento de Matemática UNESP/Bauru

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1 REGRA DE LHÔPITAL Teorema: Suponhamos que f (a) g(a) e que f (a) e g (a) eistam com g(a). Então: lim a f() g() f(a) g(a). in det er min ação. Forma mais avançada do Teorema de L Hospital: Suponhamos que f (a) g(a), que f e g sejam deriváveis em um intervalo aberto Ι contendo a e que g() em Ι se a. Então: lim a f() g() f() lim, desde que eista a g() lim a f() g(). OBS: Apesar de o teorema ser aplicado para a indeterminação, ele também é aplicado para as outras indeterminações:,,,, o e. Eemplos: ) Indeterminação. a) sen sen cos b) + + lim + c) sen sen cos OBS: (CUIDADO!) cos + cos. Então por LHôpital vem que: + sen Se derivarmos outra vez + cos sen + (Que não é o resultado do limite). Enquanto perdurar a indeterminação podemos derivar até obtermos a resultado do limite. Por eemplo:

2 ) Indeterminação : a) sec + tg sec tg sec tg sec sen cos cos lim ( sen) b) ln ) Indeterminação ( ) : (dica: quem tende a passar para o denominador) a) sen sen cos lim cos 4) Indeterminação ( ) : (dica: mmdc) a) sen sen sen cos sen+ cos sen cos sen 5) Indeterminação ( ): (dica: ln) a) lim( cos ) Faça f () (cos ) e aplique ln em ambos os lados da igualdade: ln ( f() ) ln( cos ) ln(cos ) lim ln( f() ) ln(cos ) lim

3 4 ln lim f() lim sen cos sen ln lim f() cos lim f() e 6) Indeterminação ( ): (dica: ln) a) lim Faça f () e aplique ln em ambos os lados da igualdade: ln ( f() ) ln ln( f() ) ln lim ln( f() ) lim( ln ) ln ln lim f() lim ln lim f() lim lim( ) ln lim f() lim f() e 7) Indeterminação ( ): (dica: ln) a) lim () Faça f () e aplique ln de ambos os lados da igualdade: ln ( f() ) ln ln( f() ) ln lim ln( f() ) ln ln lim f() lim ln lim f() lim f() e Eercícios: Resolver os limites abaio aplicando a Regra de LHôpital. sen(5) cos ) a) b) cos e) ( cos ) lim lim c) lim ( e + ) + f) + + g) lim( ln ) d) h) lim ( e ) i) lim( e ) j) e

4 5 APLICAÇÃO DE DEIVADA NO ESTUDO DA VARIAÇÃO DAS FUNÇÕES ) Máimos e Mínimos Definição: Seja y f() uma função definida num intervalo [a,b] e [a,b]. Então: a) f( ) b) f( ) é um máimo relativo (ou local) de y f( ) se () f( ), [a,b]. f é um mínimo relativo (ou local) de y f( ) se () f( ), [a,b]. f O ponto é chamado ponto etremo da função e f( ) em (a) e (b) na definição acima é chamado etremo relativo da função. [ ] a b Dizemos que f( ) é o máimo absoluto da função se D(f ) e ( ) f(), para todos os valores de D(f ). De forma análoga, dizemos que f( ) é o mínimo absoluto da função se D(f ) e ( ) f(), para todos os valores de D(f ). f f Eemplos: a) Seja f(). Então para, temos que f () é máimo absoluto. b) Seja f(). Então para, temos que f() é mínimo absoluto.

5 6 Teorema (Weierstrass): Seja f uma função contínua definida num intervalo fechado [a,b]. Então f possui ao menos um ponto de máimo e ao menos um ponto de mínimo neste intervalo. Teorema (Rolle): Seja y f() uma função contínua em [a,b], derivável em (a,b) e f f (a) f(b). Então eiste (a,b) tal que ( ). f OBS: Pode eistir mais que um ponto (a,b) tal que ( ). Neste caso, é chamado de ponto crítico de f(). f ( ) a b f ( ) O Teorema de Rolle é válido também no caso em que f(a) f(b). f ( ) a b ( ) f Proposição: Se f é uma função derivável num intervalo aberto (a,b) e se (a,b) é um f ponto de máimo ou de mínimo, então ( ). [Isso significa que nos pontos de máimos e mínimos a reta tangente a gráfico é paralela ao eio O.] f OBS: A recíproca não é verdadeira, isto é: se ( ) não implica que é ponto de máimo ou mínimo. Por eemplo. Considere a função f () (figura ). Então f () e f (). No entanto, f () não é ponto de máimo nem mínimo. Nos pontos onde a derivada ª não eiste poderá ocorrer máimo e mínimo ou

6 7 nem um e nem outro. Considere a função f (). Então não eiste f (), mas temo um ponto de mínimo. Figura Figura Eercícios: Encontrar se possível, os máimos e mínimos relativos das seguintes funções: a) f() ( ) b) f () c) e f() ( ) Teorema do Valor Médio (Lagrange): Se y f() é uma função contínua em [a,b] e derivável em (a,b), então eiste c (a,b) tal que f (c) f(b) f(a). b a Geometricamente isso significa que eiste um ponto P (c,f(c)) pertencente ao gráfico da f, este ponto entre A (a,f(a)) e B (b,f(b)) em que a reta tangente (t) ao gráfico da f é paralela a reta secante (s) passando por A e B. Assim, retas (t) e (s). f (c) f(b) f(a) é coeficiente angular das b a f(b) f(c) (t) P B f(a) A (s) a c b

7 8 Teorema: Seja f uma função contínua em [a,b] e c (a,b) um ponto onde a derivada ª se anula ou não eiste. Suponhamos que f seja derivável em (a,b), eceto possivelmente em c. a) Se f passa de positiva para negativa em c, então c é um ponto de máimo e f(c) é máimo relativo (ou local) de f. b) Se f passa de negativa para positiva em c, então c é um ponto de mínimo e f(c) é mínimo relativo (ou local) de f. c c c) Se f () > ou f () < para todo (a,b), eceto em c, então f (c) não é etremo local de f ou se o sinal da derivada ª não muda quando passa por c, então c não é ponto etremo de f. ) Crescimento e Decrescimento. Teorema: Seja f uma função contínua num intervalo [a,b] e derivável em (a,b). a) Se f () para todo (a,b), então f é crescente em [a,b]. b) Se f () para todo (a,b), então f é decrescente em [a,b]. Eemplo: Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função f() + 9. Temos que f () f () para < < f () para < < e < < +

8 Logo: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 9 f() é crescente em < < e < < + f() é decrescente e < < Eercícios: Determine os intervalos de crescimento e decrescimento, máimos e mínimos relativos das funções: a) f() e b) f() c) f () + sen() em [,]. + d) (+ ) 4, se f() (+ 8), se > e) f () + ) Concavidade e Ponto de Infleão. Seja y f() uma função derivável em (a,b). Se o gráfico da f se situa totalmente acima das tangentes ao gráfico da f em qualquer ponto de (a,b), então dizemos que a curva é côncava para cima, ou tem concavidade voltada para cima. Analogamente, se o gráfico da f está totalmente abaio das tangentes em (a,b), então a curva é côncava para baio, ou tem concavidade voltada para baio. Teorema: Seja f uma função contínua no intervalo [a,b] e derivável até ª ordem no intervalo (a,b). a) Se f () >, para todo (a,b), então f é côncava para cima em (a,b). b) Se f () <, para todo (a,b), então f é côncava para baio em (a,b).

9 4 Eercícios: Estudar a concavidade das seguintes funções: a) e y b) y Definição: Seja f uma função contínua em (a,b) e c (a,b). Um ponto P (c,f(c)) do gráfico de f é um Ponto de Infleão, se neste ponto o gráfico da f muda de concavidade. f(c) c Teorema: Seja f uma função contínua no ponto c. Se (c) e f f muda de sinal no ponto c ou se f (c) infleão. não eiste e f muda de sinal no ponto c, então P (c,f(c)) é ponto de Eercícios: Determine a concavidade e os pontos de infleão: a) d) f() e b) f() 4 c) f() e) f () sen() em [,] + f () + Teorema (teste da derivada ª): Sejam f uma função derivável em (a,b) e c (a,b), tal que f (c) e f (c). a) Se (c) <, então f(c) é um máimo relativo. f b) Se (c) >, então f(c) é um mínimo relativo. f Eercícios: Determine os máimos e mínimos pelo teste da derivada ª: a) f() e b) 5 f() c) f () ln()

10 4 4) Assíntotas. Definição: Considere uma função y f() e M um ponto deslocando-se continuamente sobre o gráfico desta função. Se a distância entre o ponto M e uma reta (r) tende a zero quando cresce ou decresce, esta reta (r) recebe o nome de assíntota do gráfico da f. a) Assíntotas Verticais: A reta a é uma assíntota vertical do gráfico da f, se pelo menos umas das seguintes afirmações for verdadeira: Lim f() ± ou Lim f() ±. + a a b) Assíntotas Horizontais: A reta y b é uma assíntota horizontal do gráfico da f, se pelo menos umas das afirmações for verdadeira: Lim f() b ou + c) Assíntotas Oblíquas (em relação aos eios coordenados): a A reta y a+ b é uma assíntota oblíqua à direita da f se: b a A reta y a+ b é uma assíntota oblíqua à esquerda da f se: b Lim f() b. f() Lim + Lim [f() a] + f() Lim Lim [f() a] + Eemplo: Determine as assíntotas da curva f(). Vemos D(f ) R {}. Então (o eio y) é uma assíntota vertical. Lim f() + + Como: não possui assíntotas horizontais Lim f() Como: f() Lim a ± Lim [f() a] b ± y + é assíntota oblíqua

11 Eercícios: Fazer um estudo completo e construir o gráfico das seguintes funções: a) y 4 b) y + c) y arcsen() d) e) y y ( ) f) y g) y 4 + 5

12 4 ROTEIRO PARA ESBOÇAR O GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO ) Determine o domínio da y f(), observando os pontos onde a função não está definida. Esses pontos são os pontos de descontinuidade da função e suas assíntota verticais. Se eistirem: ) Determine os pontos onde a função intercepta ou toca o eio O, ou seja, determine as raízes da função, fazendo f(). ) Determine os pontos onde a função intercepta o eio Oy, fazendo na epressão da y f(), ou seja, calcule f(). 4) Determine a derivada ª e a derivada ª. 5) Determine os pontos críticos da função, ou seja, os pontos onde f () ou onde f () não eiste. 6) Determine os máimos e mínimos da função pelo teste da derivada ª, ou seja: a) Se f (c) e f (c) >, então c é ponto de mínimo. b) Se f (c) e f (c) <, então c é ponto de máimo. OBS: Cuidado! Nem sempre é possível aplicar os testes da derivada ª e ª, nestes casos temos que usar a definição de máimo e mínimo. 7) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função, fazendo: a) Se f () > para todo em (a,b), então a função é crescente em [a,b]. b) Se f () < para todo em (a,b), então a função é decrescente em [a,b]. OBS: Geralmente, os intervalos de crescimento e decrescimento da função estão compreendidos entre os pontos críticos. 8) Determine os pontos de infleão da função, fazendo: a) Se f (c) e f muda de sinal em c, então c é ponto de infleão. b) Se f (c) não eistir e f muda de sinal em c, então c é ponto de infleão. 9) Determine as concavidades da função, fazendo: a) Se f () > para todo em (a,b), então f é côncava para cima em (a,b). b) Se f () < para todo em (a,b), então f é côncava para baio em (a,b). OBS: Geralmente, os pontos de infleão determinam os intervalos (a,b) da concavidade da função. ) Determine as assíntotas da função, fazendo:

13 44 a) Assíntotas Verticais Lim a Lim a + f() ± f() ± b) Assíntotas Horizontais Lim f() a + Lim f() b c) Assíntotas Oblíquas ) Esboçar o gráfico da y f(). f() Lim a ± Lim [f() a] b ± y a+ b é assíntota oblíqua FÓRMULA DE TAYLOR Definição: Seja f : I R uma função que admite derivadas até ordem n num ponto c I. O Polinômio de Taylor de ordem n de f no ponto c, denotado por P n () é dado por: P (n) f (c) f (c) n n () f(c) + f (c) ( c) + ( c) ( c).! n! OBS: Numa vizinhança de c I, podemos aproimar (substituir) a função f() pelo polinômio de Taylor P n () de grau menor ou igual a n. Quanto maior o grau n, melhor será a aproimação. P () P () P () Pn () ( c )

14 45 Por melhor que seja a aproimação eiste uma diferença entre f() e P n () chamado de Resto de Lagrange e denotado por R n (), ou seja: f() P () R (). n + n f (c) f (c) n Como f() f(c) + f (c) ( c) + ( c) ( c) + Rn() ( )! n! (n) Pode-se demonstrar que: R (n+ ) f (z) n+ n () ( c) para z entre c e. (n+ )! Assim, a fórmula ( ) é chamada de Fórmula de Taylor com resto de Lagrange. f() P n () f(c) R n () P n () f() P n () ( c ) Quando c a fórmula de Taylor terá a seguinte forma, conhecida como Fórmula ou Série de Mac-Laurin. Eemplos: f () f() f() + f () +! f (n) () n! n (n+ ) f (z) + (n+ )! ) Obtenha o polinômio de Taylor de grau n com resto de Lagrange no valor a indicado: a) f () ln(cos ), em a e n. n+ b) f() e, em a e n. ) Obtenha a série de Mac-Laurin das funções: a) f () sen() b) f () cos() c) 5 f () n Resp: a) sen () ( )! 5! 7! (n+ )! n n b) ( ) cos( ) c) e n (n)! n n 7 n n! e n+ n n+ ( ) (n+ )!

15 46 ) Usando o polinômio de Taylor, determine com 4 casas decimais o valor aproimado para 7 e sen(5 ). Solução: Faça f () f (7) 7, n e c 9 na fórmula de Taylor: f() f (c) f(c) + f (c) ( c) + ( c)! f (c) + ( c) n! f(7) 7 f (9) f(9) + f (9) (7 9) + (7 9)! f (9) + (7 9)! f (9) f (9) 7 f(9) + f (9) ( ) + ( ) + ( ) 6 Como: f () ; f () ; f 4 () ( ) + ( ) + ( ) ,,85, 7, 646 Faça f () sen() f(5 ) sen(5 ), n, 7 e 6 c na fórmula de Taylor: 6 sen(5 ) sen + sen 6 6 sen ! Como: sen cos, sen 6 +! sen 6 sen,5 6 sen(5 sen(5 sen 6 cos 6 7, ,866,5,866 ) +,866, (,87) + (, ) ),5 +,755,9, sen(5 ), 576

16 47 PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO ) Um retângulo deve ser inscrito em uma semi-circunferência de raio. Qual é a maior área que o retângulo pode ter e quais suas dimensões? + y 4 y Para o retângulo: 4 baseb alturah 4 área A 4 4 A função que devemos otimizar é a área do retângulo: f() f () f () ± (pontos críticos) f () f ( ) < é ponto de máimo. (4 ) 4 Assim, A 4 A 4 ( ) A 4 (maior área) Logo as dimensões do retângulo são: baseb alturah 4 área A 4 ) Pediram para você projetar uma lata de óleo com capacidade de litro com a forma de um cilindro reto que eija a menor quantidade de material para sua fabricação, supondo que a espessura já é padrão da fábrica. Quais as dimensões desta lata de óleo? r r h rh h r Área total: A r h+ r

17 48 Como a lata contém litro: L cm Temos que considerar o volume: V r h Logo: f(r) A r + r r + r. r h r A + r. Esta é a função que devemos otimizar: r Então: f (r) + 4r f (r) + 4r r r r 5 (ponto crítico). 4 f (r) + 4 r 5 f > r 5 é ponto de mínimo. Assim: h r h 5 h r. 5 r Logo as dimensões são: r 5 e h r ) Você está preparando um cartão retangular para conter 5 cm de material impresso, com margens superior e inferior de 4 cm e margens esquerda e direita de cm. Que dimensões gerais minimizarão a quantidade de papel a ser utilizado? 4 5 cm y 4 Área de impressão: A y 5 5 y

18 49 5 Área total: A T (+ 4) (y+ 8) f () (+ 4) + 8 que é função que devemos minimizar. 8 f () f 8 () ± 5 (pontos críticos) f () f (5) > 5 (ponto de mínimo). Então: y. 5 5 Dimensões: comprimento: C cm e altura C y cm 4) Uma folha de papelão mede 5 polegadas. Dois quadrados iguais são recortados dos vértices de um lado que tem polegadas. Dois retângulos iguais são recortados dos outros dois vértices de modo que as abas possam ser dobradas para formar uma caia retangular com tampa. Determine o valor de para que o volume seja máimo. base tampa 5 z z + z 5 Função volume: 5 z f() 5 ( ) f() f () raízes: 6, 7 e, 96 f () 5 f (,96) < (ponto de máimo) e (6,7) > (ponto de mínimo). Portanto:, f

19 5 5) Uma folha de papelão medido 46 polegadas é dobrada ao meio para formar um retângulo de 4X8 polegadas, como mostra a figura. Depois, quatro quadrados iguais de lado são recortados dos vértices do retângulo dobrado. A folha é desdobrada e seis abas são dobradas para cima, formando uma caia com laterais de uma tampa. Determine o valor de para que o volume seja máimo. Qual será o valor de para que o volume seja de. pol? ou 6-4 V (4 )(6 4) V f() f () f f () 48 6 f (7+ (7 ) 7,7> mínimo ) 7,8 7 Portanto, para que o volume seja máimo deve ocorrer, 9.,9 é máimo Para V Como é raiz da equação, então: Logo as raízes são:, 5 e 4 Note que 4 não satisfaz, pois Portanto, as soluções são: ou > 4 pol 5 4

20 5 Eercícios: ) Quais as dimensões de um retângulo de perímetro igual a cm para que sua área seja máima? ) Uma lata cilíndrica deve conter litro de óleo. Quais suas dimensões para que se use o mínimo de material possível na sua fabricação? ) Um fabricante possui uma chapa retangular de 8 m e pretende construir uma caia como mostra a figura. Quais devem ser as dimensões da largura e comprimento para que o volume seja máimo? DIFERENCIAL DE UMA FUNÇÃO Dada uma função y f(), derivável num ponto, às vezes é conveniente, devido à simplicidade aproimá-la por uma função linear numa vizinhança de. A diferencial de f num ponto é a melhor aproimação linear de f numa vizinhança de. Definição: A função linear dy f ( ) d é chamada diferencial de f no ponto, onde d (diferencial da variável ) é a variável independente e dy (diferencial da variável y) a variável dependente de e de d. Eemplo: Se y, então dy d. Considere a função y f() e seu gráfico correspondente. No triângulo PRS, temos que RS RS tgα RS tgα PS Mas, tgα f ( ) e d RS f ( ) d RS dy.

21 5 Logo, geometricamente, a diferencial dy f ( ) d é a variação na altura da tangente, correspondente à variação de para +. Assim, y é a variação na altura do gráfico da função, correspondente a esta variação de.. f( + ) Q R y f( ) P α d dy S + Para fins de cálculos aproimados podemos fazer y dy, mas sempre temos que y> dy. Por menor que seja d sempre haverá uma diferença, mas quando, esta diferença é insignificante. Considerando + f() f( + ) e y f() f( ) Fazendo, temos que y dy. Assim, dy f ( ) d y f ( ) f f () f( ) f ( ) ( ) () f( ) + f ( ) ( ). Eemplos: ) Determine uma função linear como aproimação linear de f () sen numa vizinhança de e dê uma aproimação para sen. 6 f Resolução: Temos que () f( ) + f ( ) ( ) para. 6 Então: f sen 6 6 f e ( ) cos( ) f cos 6 6

22 Logo: f() f( ) + f ( ) ( ) f () + a função aproimação. 6 Em particular para Temos: f( ) f( ), ) Uma caia cúbica tem aresta medindo 4 cm. Com um erro máimo de,5 cm. Qual é o erro máimo possível no volume da caia? Resolução: O volume da caia é y com 4 cm e d,5 cm. Como dy f () d dy d 4, 5 dy, 4. A variação real é: V e ( d) V +, então V (+ d) V (4+,5) 4 V, 4 ) O diâmetro de uma árvore era de pol. Durante o ano seguinte, a circunferência aumenta pol. Quanto variou, aproimadamente, o diâmetro da árvore? E a área da seção transversal? Resolução: Podemos considerar que a seção transversal da árvore é um círculo de raio R e diâmetro D R, cujo perímetro da circunferência é D p R p D. Como durante o tempo de ano houve um aumento da circunferência de pol, então dp pol / ano. dt O perímetro p f(d) é uma função do diâmetro D, ou seja, p D. O diâmetro é uma função do tempo, ou seja, D g(t), cuja epressão não temos. dd Mas queremos determinar a variação do diâmetro em função do tempo, ou seja,. dt Logo temos uma função composta: p f(d) D g(t) Pela regra da derivada da função composta: dp dt dp dd dd dt dp dt dp dd dd dt dd dd pol / ano dt dt

23 54 da Para área da seção transversal queremos determinar. dt D A R e 4 da dt da dd dd dt da dt D 4 da dt D pol / ano 4) Estime o volume de material presente em uma embalagem cilíndrica de pol de altura, 6 pol de raio e,5 pol de espessura. Resolução: O volume interior é,5 6 VI r h 5,5 97, 5 pol Usando diferencial: V dv. dv Mas, se V r h rh dv rh dr dr dv 5,5,5 dv 65 pol A variação real implica no volume eato: V E (r+ r) h r h V E (5,5 +,5) 5,5 V E 8 97, 5 V E 7, 5 pol Eercícios: ) Usando diferencial, determine, aproimadamente os valores de: a), b), 7 c) log(,5 ) ) O raio de um círculo aumenta de m para, m. Utilize diferencial para estimar o aumento na área do círculo. Qual o aumento real? ) Uma janela tem a forma de um retângulo encimado por um semi-círculo. Achar as dimensões da janela de modo que o perímetro seja, m e a área a maior possível.