Derivadas das Funções Hiperbólicas Inversas
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- Clara de Paiva Cesário
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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Derivaas as Funções Hiperbólicas Inversas Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
2 Derivaas as Funções Hiperbólicas Inversas.Introução.Derivaa a função senh - 3.Derivaa a função cosh - 4.Derivaa a função tgh - 5.Derivaa a função cotgh - 6.Derivaa a função sech - 7.Derivaa a função cossech - 8.Resumo as erivaas as funções hiperbólicas inversas 9.Eemplos
3 . Introução Devemos lembrar que, para eistir a erivaa a função hiperbólica inversa, é necessária que ela seja biunívoca. Portanto, atenção especial eve ser aa às funções cosh e sech, pois evemos restringir o omínio as mesmas para que possamos erivá-las corretamente. A seguir, mostraremos uas formas e erivação para as funções hiperbólicas inversas. 3
4 . Derivaa a função senh - Demonstração : Seja y = senh - y = senh senh y = 4
5 . Derivaa a função senh - Derivano ambos os laos a equação, obteremos: y cosh y = [ senh y ] = [ ] y = cosh y 5
6 . Derivaa a função senh - Lembrano que: cosh y senh y = Teremos: cosh y = ± + senh y Porém: cosh y 6
7 . Derivaa a função senh - Então: cosh y = + senh y Assim seno: y = + senh senh y = y + 7
8 . Derivaa a função senh - Demonstração : ( ) senh = ln + + ( ) senh ln = + + senh = senh =
9 . Derivaa a função senh - senh = senh = senh = senh =
10 3. Derivaa a função cosh - Demonstração : Seja y = cosh - y = cosh cosh y = 0
11 3. Derivaa a função cosh - Derivano ambos os laos a equação, obteremos: y senh y = [ cosh y ] = [ ] y = senh y
12 3. Derivaa a função cosh - Lembrano que: cosh y senh y = Teremos: senh y = ± cosh y Porém: cosh y senh y 0
13 3. Derivaa a função cosh - Então: senh y = cosh y Assim seno: y = cosh y cosh y = 3
14 3. Derivaa a função cosh - Demonstração : ( ) cosh = ln + ( ) cosh ln = + cosh = + + cosh = + + 4
15 3. Derivaa a função cosh - cosh = cosh = + cosh = cosh = + + 5
16 4. Derivaa a função tgh - Demonstração : Seja y = tgh - y = tgh tgh y = 6
17 4. Derivaa a função tgh - Derivano ambos os laos a equação, obteremos: y sech y = [ tgh y ] = [ ] y = sech y 7
18 4. Derivaa a função tgh - Lembrano que: sech y = tgh y Teremos: y = tgh y tgh = y 8
19 4. Derivaa a função tgh - Demonstração : tgh + = ln + tgh ln = tgh ln ln = + tgh = + + ( ) ( ) 9
20 4. Derivaa a função tgh ( + ) ( ) tgh = ( + ) ( ) tgh = tgh = 0
21 5. Derivaa a função cotgh - Demonstração : Seja y = cotgh - y = cotgh cotgh y =
22 5. Derivaa a função cotgh - Derivano ambos os laos a equação, obteremos: y cossech y = [ cotgh y ] = [ ] y = cossech y
23 5. Derivaa a função cotgh - Lembrano que: cossech y = cotgh y Teremos: y y = cotgh y = cotgh y cotgh y = 3
24 5. Derivaa a função cotgh - Demonstração : cotgh + = ln + cotgh ln = cotgh ln ln = + cotgh = + ( ) ( ) 4
25 5. Derivaa a função cotgh - ( + ) ( ) cotgh = cotgh = cotgh = cotgh = 5
26 6. Derivaa a função sech - Demonstração : Seja y = sech - y = sech sech y = 6
27 6. Derivaa a função sech - Derivano ambos os laos a equação, obteremos: [ sech y ] = [ ] y sech y tgh y = y = sech y tgh y 7
28 6. Derivaa a função sech - Lembrano que: tgh y = sech y Teremos: tgh y = ± sech y Porém: y 0 tgh y 0 8
29 6. Derivaa a função sech - Então: tgh y = sech y Assim seno: y = sech y sech y y = 9
30 6. Derivaa a função sech - Demonstração : sech + = ln + sech ln = ( ) sech ln ln( ) = + ( ) sech =
31 6. Derivaa a função sech - + sech = ( ) + + sech = sech = ( ) 3
32 6. Derivaa a função sech - sech = + ( ) ( ) ( ) sech = sech = + + ( ) + 3
33 6. Derivaa a função sech - + sech = + sech = 33
34 7. Derivaa a função cossech - Demonstração : Seja y = cossech - y = cossech cossech y = 34
35 7. Derivaa a função cossech - Derivano ambos os laos a equação, obteremos: [ cossech y ] = [ ] y cossech y cotgh y = y = cossech y cotgh y 35
36 7. Derivaa a função cossech - Lembrano que: cotgh y = cossech y Teremos: cotgh y = ± + cossech cotgh y = ± + y 36
37 7. Derivaa a função cossech - Porém: Se > 0 cotgh y > 0 Se < 0 cotgh y < 0 37
38 7. Derivaa a função cossech - Então: cotgh y = ± + Assim seno: y = ± cossech y + cossech y y = + 38
39 7. Derivaa a função cossech - Demonstração : Caso ( > 0) cossech cossech cossech + = ln + + = ln = ln 39
40 7. Derivaa a função cossech cossech ln = ( ) cossech ln ln = + + ( ) cossech = cossech =
41 7. Derivaa a função cossech cossech = cossech = ( ) ( ) ( ) cossech =
42 7. Derivaa a função cossech - cossech = + ( ) cossech = ( ) + + cossech =
43 7. Derivaa a função cossech - cossech = + 43
44 7. Derivaa a função cossech - Demonstração : Caso ( < 0) cossech cossech cossech + = ln + + = ln + = ln 44
45 7. Derivaa a função cossech - + cossech ln = ( ) cossech ln ln = + ( ) cossech = cossech = 45
46 7. Derivaa a função cossech cossech = cossech = ( ) ( ) ( ) + + cossech =
47 7. Derivaa a função cossech - cossech = ( ) cossech = + + ( ) cossech =
48 7. Derivaa a função cossech - cossech = + 48
49 7. Derivaa a função cossech - Agrupano os casos e, teremos: cossech = + 49
50 8. Resumo as erivaas as funções hiperbólicas inversas A seguir, são apresentaas as versões a Regra a Caeia para as regras e iferenciação e toas as seis funções hiperbólicas. senh u = u + u u = > u cosh u, u u u u = < u tgh, 50
51 8. Resumo as erivaas as funções hiperbólicas inversas A seguir, são apresentaas as versões a Regra a Caeia para as regras e iferenciação e toas as seis funções hiperbólicas. u = > u cotgh u, u u = < < u u sech u, 0 u u cossech =, u 0 u + u [ u] 5
52 9. Eemplos Eemplo : Determine tgh ( sen ) tgh ( sen ) = sen sen tgh = ( sen ) tgh = ( sen ) ( ) cos sen cos cos ( ) 5
53 9. Eemplos tgh = ( sen ) = ( ) cos tgh sen sec 53
54 9. Eemplos Eemplo : Determine tgh cos ( ) tgh cos cos cos ( ) = ( ) ( ) tgh ( cos ) = ( sen ) cos sen tgh ( cos ) = sen 54
55 9. Eemplos = ( ) tgh cos sen tgh ( cos ) = cossec 55
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