L I S T A DE E X E R C Í C I O S CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

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1 U N E B D C E T I L I S T A DE E X E R C Í C I O S CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Prof. ADRIANO PEDREIRA CATTAI Somos o que repetidamente fazemos. A ecelência portanto, não é um feito, mas um hábito. Aristóteles Atualizada em de outubro de 04 NOME: DATA: / / Sumário Limite Intuitivo. Limites Laterais. Cálculo de Limites. Funções Contínuas. Teorema do Valor Intermediário. 7 Teorema do Confronto. Teorema do Anulamento. Limites Fundamentais. 9 4 Taas de Variação. Definição de Derivada e Derivadas Laterais. 5 Retas Tangentes e Retas Normais Pela Definição de Derivada Pelas Regras de Derivação Derivadas das Funções Elementares Regras Básicas de Derivação A Regra da Cadeia Derivada das Trigonométricas Inversas Derivadas de Ordem Superior (ou Sucessivas) Derivada Implícita Diferenciais e Cálculos Aproimados. 8 Taas Relacionadas. 9 A Regra de L Hôspital (ou Regra de Cauch?). 4 0 Teoremas Relativos às Funções Deriváveis Teorema de Rolle Teorema de Lagrange Etremos de Funções. 5. Problemas de Otimização Esboço de Gráficos. 7 Wolfram Alpha 9

2 Limite Intuitivo. Limites Laterais. Cálculo de Limites. Eercícios: uma pura diversão 4 Referências 0 5 Respostas dos Eercícios 0 Limite Intuitivo. Limites Laterais. Cálculo de Limites. Q Complete a tabela (use a calculadora e uma aproimação com, pelo menos, 4 casas decimais) e utilize os resultados para estimar o valor do ite da função quando tende a a ou eplicar por que ele não eiste. (a) (b) (c) (d) (e) 0, 9 0, 99 0, 999 0, 9999 f() =, 9, 99, 999, , 9 0, 99 0, 999 0, ,, 0, ,, 0, 00, 000,, 0, 00, 000 4,, 0, 00, 000 +, a =, a =, 9, 99, , a =, a = 0, 0 0, 00 0, 000 0, 0 0, 00 0, 000, a = (f) 0, 0 0, 00 0, , 0 0, 00 0, 000 +, a = 0 Q Considerando as equações ( ) f() =, ( ) f() = e ( ) + 5 (a) A partir de ( ) e ( ) o que se pode afirmar sobre f()? Por que? (b) Escreva como se lê ( ) e dê seu significado; (c) A partir de ( ) ou de ( ) podemos afirmar qual é a imagem de? Por que? f() = +, responda; Q Considerando as equações ( ) f() =, ( ) f() = e ( ) (a) A partir de ( ) e ( ) o que se pode afirmar sobre 5 f()? Por que? (b) Escreva como se lê ( ) e dê seu significado; (c) A partir de ( ) ou de ( ) podemos afirmar qual é a imagem de 5? Por que? f() =, responda; Q 4 Sejam f e g, duas funções tais que f() = 4 e g() = 7+. (a) Por que f e g não são iguais? (b) Mesmo tendo f e g diferentes, podemos dizer que f() = g()? Por que? Adriano Cattai

3 Limite Intuitivo. Limites Laterais. Cálculo de Limites. Eercícios: uma pura diversão Q 5 Em cada caso, para as funções f e g cujos gráficos são dados, determine o valor da quantidade indicada, se ela eistir. Se não eistir, eplique o por quê. (i) (a) f(), (b) f(), (c) + f(), (d) f(), (e) f(), (f) f(5) 5 (ii) (a) g(), (b) g(), (c) g(), (d) g(), (e) g(), (f) g(), (g) g(), (h) g(), (i) g(4) 4 = f() 4 = g() Q 6 Em cada caso, para as funções f, g e h cujos gráficos são dados, respectivamente, determine o valor da quantidade indicada, se ela eistir. Se não eistir, eplique o por quê. (i) (a) f(), (b) f(), (c) + (ii) (a) g(), (b) g(), (c) + (iii) (a) h(), (b) h(), (c) + f(), (d) g(), (d) h() (d), f(), (e) f(), (f) f(). + g(), (e) g(), (f) g(). + 4 h() (e), h(), (f) h(). + 0 = f() = g() = h() Q 7 A função sinal, denotada por sgn, está definida por sgn() =, se < 0 0, se = 0, se > 0 Esboce o gráfico dessa função. Encontre ou eplique por que não eiste cada um dos ites que se seguem. (a) sgn() (b) sgn() (c) sgn() Q 8 Seja f uma função definida em R tal que f() > 0 para todo = e f() =. Julgue, justificando, em verdadeiro ou falso as afirmativas abaio: (a) f() não eiste. (b) f() =. (c) Se eistir, f() é positivo. Q 9 Seja f() =. O que podemos afirmar sobre f()? Por que? 0 Adriano Cattai

4 Limite Intuitivo. Limites Laterais. Cálculo de Limites. Eercícios: uma pura diversão Q 0 Esboce o gráfico das funções abaio e determine f(), f() e, caso eista, f(). k k + k 4+, < (a) f() =,, > { (0, 5) (c) f() =, [k = ] ln(), > [k = ], < 0, 0 < (b) f() = [k = ], >, = { sen(), 0 < π (d) f() = [k = π] cos(), π π Q Determine, se possível, as constantes reais a e/ou b de modo que k f() eista, sendo: { a (a) f() = +, <,, > (b) f() =, = 5 a, < { 4+, (c) f() = +a, > [k = ] [k = ] [k = ] 5 (d) f() =, < [k = ] a, a cos(π+)+, < 0 (e) f() = 7 a, = 0 [k = 0] (f) f() = { b +, b, > b, > 0 [k = ] Q Dados a f() =, a g() = 4 e a h() = 0, obtenha os ites abaio. Justifique seu raciocínio. (a) a f()+g() (b) a h() g()+ (c) [g()] a (d) 6+ f() a 7g() (e) a f()+ g() (f) a f() 8g() h() Q Os gráficos das funções f e g são dados abaio. Use-os pra calcular cada ite, caso ele eista. (a) f()+ g() (b) f()+g() (c) 0 f() g() (d) f()/g() = f() (e) f() (f) + f() = g() Q 4 Calcule os ites a seguir, justificando cada passagem através das suas propriedades. (a) (b) ( + )( 5) (c) + 4 (d) (e) u ( u 4 + u+6 ) (f) t (t+)9 (t ) (g) e 9 + s + s+6 (h) s s v++ (i) v 0 v+ Q 5 Os gráficos de g e h são dados na figura abaio. Ache os ites laterais de f() = (h g)() = h(g()) no ponto em que =. Adriano Cattai 4

5 Limite Intuitivo. Limites Laterais. Cálculo de Limites. Eercícios: uma pura diversão 4 4 = h() = g() Q 6 Calcule os ites, envolvendo fatorações e indeterminação 0/0. (a) 4 (b) (c) + 4+ (d) 7 ( ) 4 (e) log 6 ( π( ) 8) (f) sen 4 (g) + 6 (h) 7+ a (i) a a (j) 5+6 (k) (l) (m) 4 (n) (o) 4 8 (p) (q) (r) (s) 0 (4+ ) 6 (t) (u) + / 8 Q 7 Calcule os ites, envolvendo conjugado de radicais e indeterminação 0/0. (a) (h) + 4 (o) (b) (i) (p) 9 (c) + 8 (j) + 9 (q) + 6 (d) (k) ++ 4 (r) 0 +5 (e) (l) a (s) + b a (f) (m) 6 4 (t) (g) 4 (n) (u) Q 8 Calcule os ites, envolvendo radicais, troca de variáveis e indeterminação 0/0. Adriano Cattai 5

6 Limite Intuitivo. Limites Laterais. Cálculo de Limites. Eercícios: uma pura diversão (a) (b) 4 (c) (d) (e) a (f) 8 4 a a 8 (g) (h) (i) ( ) Q 9 Determine cada um dos ites (infinitos) dados a seguir, envolvendo impossibilidade k/0. 6 (a) (b) 5 5 (c) ( ) 8 (d) 0 (+) (e) + (+ ) (f*) ln( 5) (g) 4 ( 4) cos() (h) 0 sen() (i) 5 + ( 5) + 5 (j) 5+4 (k) (l) ( ) Q 0 Determine cada um dos ites (no infinito) dados a seguir, envolvendo indeterminação /. 4 5 (a) ( )(+5) (b) ( )(+4)( ) 4 (c) (d) (e) (f) ( )( ) (g) (h) Q Para cada função abaio determine, se eistirem, as assíntotas verticais e as assíntotas horizontais. Quando eistirem, além dos cálculos, faça esboço gráfico ilustrando o comportamento e, quando não, justifique com os cálculos. (a) f() = (b) f() = + 4 (c) f() = (d) f() = + (e) f() = 4 (f) f() = 9 4 (g) f() = + (h) f() = + 4 (i) f() = + 4 (j) f() = (k) f() = 4 (l) f() = Q Determine cada um dos ites (no infinito) dados a seguir, envolvendo indeterminação. (a) + ln( ) ln(+ ) (c) + (e) + + (b) + (d) + 4 (f) Q Determine as constantes a, b, c e d de modo que: (a) b a b = 4 (e) + a+ b b+ b + a (b) = 5 (c) a = 5 (d) = f() = e f() =, sendo f() = a + b + c+d f() f() f(+h) f() Q 4 Para cada uma das funções abaio, calcule os ites e. h 0 h (a) f() =, (b) f() =, (c) f() =, (d) f() =. Adriano Cattai 6

7 Funções Contínuas. Teorema do Valor Intermediário. Eercícios: uma pura diversão Funções Contínuas. Teorema do Valor Intermediário. Q 5 Escreva, ilustrando com gráficos, a definição de: (a) função contínua à direita num ponto = a; (b) função contínua à esquerda num ponto = a; (c) função contínua num ponto = a; (d) função contínua num conjunto; (e) função contínua. Função para a questão 6. se < 0 se 0 < < f() = se {, } 4 se < < 0 se < < Q 6 Faça o esboço gráfico da função f : [, 0) (0, ) (, ), definida acima. A parir do gráfico, responda cada item abaio. (a) Eiste f( )? Eiste f()? Eiste f()? f é contínua em =? E à direita em =? + (b) Eiste f(0)? Eiste f()? f pode ser contínua em = 0? 0 (c) Eiste f()? Eiste f()? f é contínua em =? (d) Eiste f()? Eiste f()? f é contínua em =? (e) Eiste f()? Eiste f()? f pode ser contínua em =? (f) Qual o valor que deve ser atribuído a f() e a f() para tornar f contínua nesses pontos? Por que? (g) Há como atribuir algum valor a f(0) para tornar f contínua em = 0? Q 7 Para cada item abaio, decida para quais intervalos cada função é contínua. (a) f() = + 4+ ; (b) g() = ln()+ + ; 4 (c) p() = cossec(); (d) q() = +4; (e) r() = (+) ; (f) s() = e + e. (g) h() = sen(); (h) v() = tg(). Q 8 Seja f a função dada abaio. Eiba seu esboço gráfico, determine os ites abaio e decida (justificando) se eiste algum ponto em que f é descontínua. se < f() = (a) se < < f() (c) f() (e) f() se > (b) se {, } f() (d) f() (f) f() { Q 9 Considere a função = f() abaio definida no domínio R π ; π }. Analisando o gráfico de f(), responda, justificando: π π 0 π π π Adriano Cattai 7

8 Funções Contínuas. Teorema do Valor Intermediário. Eercícios: uma pura diversão (a) f() 0 (b) f() π + (c) f() π (d) f() π (e) f() π + (f) π f() (g) π f() (h) (i) (j) π f() f() + π f() π (k) f() π (l) f() π (m) f() π + (n) π f() (o) f() (p) f() + (q) f( π) (r) f(0) (s) f(π) ( ) π (t) f (u) f é contínua em 0 = 0? (v) f é contínua em 0 = π? (w) f é contínua em 0 = π? () f é contínua em 0 = π? () f é contínua em 0 =? Q 0 (a) Eiba o gráfico de uma função tal que: () f() = 4 + () f() = () f() = (4) f( ) = e f() = (b) Eiba o gráfico de uma função f : [, 5] R + tal que: () f() = () f descontínua em = + () f() = 4 (4) f() = + 5 (c) Eiba o gráfico de uma função f : [, 6] R tal que: () f() = + () f() = 4 6 () f descontínua em = (4) f() = (5) f() (6) f( ) = (5) 4 f() (6) f(4) = 5 Q Por que cada umas das funções abaio é descontínua no ponto indicado? (a) f() =, = [ 0 = ] 8, = (c) f() =, = 4 4 [ 0 = 4], = 4 { (b) f() =, =, + [ 0 = ] (d) f() =, =, > [ 0 = ] Q Em cada item, determine a constante a para que a função f() seja contínua. (a) f() = {, < a, (b) f() = { +a, a, > 0 Q Defina f(), g(4) e h( 4) para que as funções f, g e h sejam contínuas, em que f() =, g() = 6 e h() = Q 4 A partir de f() = 5 podemos afirmar qual a imagem de? Qual propriedade f deve possuir para que, a partir de f() = 5, possamos afirmar o valor de f()? Q 5 (a) Dê eemplo de uma função f : R R contínua, para todo = e que seja possível redefinir (e redefina) f() para que f seja contínua; (b) Dê eemplo de uma função g : R R que seja contínua, para todo = 0 e que não seja possível redefinir g(0) para que g se torne contínua. Q 6 Em cada item, determine, justificando, se a afirmação é verdadeira ou falsa. Quando falsa, justifique eibindo um contra eemplo. (a) Se f() = 4, então f() = 4; (b) Se f() = L e a + a (c) Se f é uma função contínua = 0 com f(0) = 0, então 0 f() = 0; f() = L, então f(a) = L; (d) Se a f() = L, então a a f() f() = 0; + Adriano Cattai 8

9 Teorema do Confronto. Teorema do Anulamento. Limites Fundamentais.Eercícios: uma pura diversão Q 7 Em cada item, determine, justificando, se a afirmação é verdadeira ou falsa. Quando falsa, você pode justificar eibindo um contra eemplo. (a) Se f é um função contínua tal que f( ) =, então f() = ; (b) Sabe-se que f() = 5. Então, f() > 0 para todo (, ); f() (c) Se é finito, então f() pode ser qualquer valor; (d) Seja f : R R uma função tal que f() > 0 para todo = com f() =, então f(). Q 8 Se uma função f muda de sinal quando varia de um ponto = a para o ponto = b, eistirá, obrigatoriamente, um ponto entre a e b em que a função f se anula? Por que? Q 9 Enuncie o Teorema do Valor Intermediário (TVI). Com apoio de ilustrações gráficas, eplique por que é necessária a hipótese da função ser contínua. Q 40 Verifique que = e = 4 são duas raízes da equação =. Use o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para mostrar que esta equação admite outra raiz real. Qual o menor intervalo, de comprimento inteiro, que esta raiz pertence? Q 4 Mostre, fazendo uso do TVI, que: (a) A função f() = + possui pelo menos uma raiz no intervalo [0, ]; (b) A função f() = + 5 possui pelo menos uma raiz no intervalo[, ]; (c) A função f() = + cos(π/) possui pelo menos uma raiz no intervalo[/, /]; (d) A função f() = possui três raízes: uma no intervalo ( 4, ), outra no intervalo (, 0) e a outra no intervalo(0, ). Q 4 Considere equação = 0. Verifique que = ± é solução desta equação. Utilizando o TVI, mostre que esta equação possui mais duas raízes: uma no intervalo (, 0) e a outra no intervalo (0, ). Q 4 Eiste algum arco cujo cosseno seja igual ao próprio arco? Ou seja, eiste algum R tal que cos() =? Utilize o TVI para mostrar que sim. Q 44 Com auílio do TVI, mostre que a equaçãos possuem raízes reais: (a) = cos() (b) e = +. Q 45 É verdade que todo polinômio, definido em R, de grau ímpar possui, pelo menos, uma raiz real? Por que? Teorema do Confronto. Teorema do Anulamento. Limites Fundamentais. Teorema do Confronto (ou do Sanduíche): Se g() f() h() quando está próimo de a (eceto possivelmente em a) e g() = L = h(), então f() = L. a a a Adriano Cattai 9

10 Teorema do Confronto. Teorema do Anulamento. Limites Fundamentais.Eercícios: uma pura diversão Q 46 Uma função g : R R é tal que f() g() h(). Supondo que f() = +4 e h() = 4+9, construa, num mesmo sistema de coordenadas, os gráficos de f e h para determinar g(). Em seguida, justifique analiticamente. Q 47 Use o teorema do confronto para determinar os ites abaio. sen() (a) + (b) 4 ( ) ( ) cos (c) sen() sen (d) Q 48 É verdade que se g() f() h() quando está próimo de a (eceto possivelmente em a) e g() = L = M = h(), então o f() eiste? a a a Teorema do Anulamento: Se f() é uma função itada e a g() = 0, então a f() g() = 0. Q 49 Use o teorema do anulamento para determinar os ites abaio. ( ) sen() (a) (c) sen + 0 (e) (b) 0 4 cos ( ) (d) sen()+ 6 + (f) cos()+ + e sen() (g) 0 + sen(π/) (h) 0 + e cos(π/) Dica (g) e (h): verifique que as funções sen(π/) e e cos(π/) são itadas Q 50 É verdade que: (a) Se f() é ma função qualquer e a g() = 0, então o a f() g() = 0? (b) Se f() é ma função qualquer e a g() = 0, então o a f() g() eiste? (c) Se f() é ma função itada em torno de a e a g() eiste, então o a f() g() também eiste? Limite Fundamental Trigonométrico: sen() Se é medido em radianos, então =. 0 Q 5 Calcule os seguintes ites envolvendo o ite fundamental trigonométrico. cos() (a) 0 cos() (b) 0 (c) 0 tg() sen() (d) 0 sen(5) (e) 0 sen(7) (f) 0 sen( ) (g) 0 tg(π) tg() (h) 0 sen () 4 (i) π sen() π (j) cos () (k) 0 cos() sen() (l) 0 sen() sen() sen(5) tg() tg(4) tg(6) Limite Fundamental ( Eponencial: + = e =, ± ) 0 (+) / = e Adriano Cattai 0

11 4 Taas de Variação. Definição de Derivada e Derivadas Laterais. Eercícios: uma pura diversão Q 5 Calcule os seguintes ites envolvendo o ite fundamental eponencial. ( (a) + a ) ( b+c 5 ) + (b) + ( + ) (c) (d) + (e) ( ) (f) sec() [+cos()]5 π/ ) + ( + Limite Fundamental Logarítmico: a = ln(a), 0 < a = 0 Q 5 Calcule os seguintes ites envolvendo o ite fundamental logarítmico. (a) 0 e (b) e e (c) 0 e sen() (d) h 0 e +h e h (e) 5 5 (f) h 0 +h h 4 Taas de Variação. Definição de Derivada e Derivadas Laterais. Q 54 Escreva a definição, para uma função qualquer = f(), de taa de variação média e taa de variação instantânea. Eiba alguns eemplos e faça ilustração gráfica. Q 55 Taa média para a função = a+b, em que a, b R e a = 0. (a) No caso de f() =, o que acontece com a taa de variação média para diferentes valores da variável independente? (Para responder, escolha alguns valores iniciais para a variável e as respectivas variações, tanto positivas como negativas. Em cada caso, calcule e eamine o quociente ). A que conclusão você chegou? É possível estabelecer um argumento geométrico que comprove a veracidade de sua conclusão? (b) No caso de f() = +, o que acontece com a taa de variação média para diferentes valores da variável independente? A que conclusão você chegou, em termos do sinal do coeficiente a? Eiba o esboço gráfico de f. (c) No caso de f() = +, o que acontece com a taa de variação média para diferentes valores da variável independente? A que conclusão você chegou, em termos do sinal do coeficiente a? Eiba o esboço gráfico de f. (d) Eamine o caso da função polinomial de primeiro grau mais geral = f() = a+b. Encontre a taa de variação média a partir de um ponto 0 qualquer. Dê uma interpretação para o resultado a que você chegou, levando em conta as três possibilidades para o coeficiente angular a, a saber: a < 0, a > 0 e a = 0. Q 56 Sabendo que um objeto movimenta-se ao longo de uma linha, de acordo com a equação s(t) = t, em que s(t) é medida em metros e t em segundos. Faça uma análise deste movimento, no intervalo de tempo que vai de seg a 7 seg, determinando: (a) t; (b) s; Adriano Cattai

12 4 Taas de Variação. Definição de Derivada e Derivadas Laterais. Eercícios: uma pura diversão (c) a velocidade média do objeto quando este se desloca do ponto em que está aos seg do início do movimento, ao ponto em que está aos 7 seg. Q 57 Suponha que a posição de uma partícula em movimento sobre uma reta r seja dada por s(t) = t t, em que s(t) é medida em metros e t em segundos. (a) Determine a velocidade média entres os instantes t = e t = 5; (b) Determine a velocidade da partícula nos instantes: t = 0, t = 4 e em t = w qualquer; (c) Em quais instantes a velocidade é nula? Q 58 No decorrer de uma eperiência, derrama-se um líquido sobre uma superfície plana de vidro. Se o líquido vertido recobre uma região circular e o raio desta região aumenta uniformemente, qual será a taa de crescimento da área ocupada pelo líquido, em relação à variação do raio, quando o raio for igual a 5cm? Interprete o resultado obtido. Atenção: () A taa de crescimento da área é a sua taa de variação; () A área do círculo, de raio r, é A(r) = πr. Q 59 O volume V = V(r) = 4 πr de um balão esférico muda de acordo com o valor do raio. Qual a taa de variação de volume em relação ao raio, quando r = cm? Interprete o resultado obtido. Q 60 Próimos à superfície da Terra, todos os corpos caem com a mesma aceleração constante. Os eperimentos de Galileu sobre queda livre levaram à equação s(t) = gt, em que s é a distância e g é a aceleração da gravidade da Terra. Com t em segundos (unidade usual), o valor de g será 9, 8m/s. Supondo que uma pedra cai em queda livre partindo do repouso no instante t = 0s, determine: (a) Quantos metros a pedra cairá nos primeiros segundos? (b) Qual a velocidade neste instante? Q 6 Dada uma função f(), escreva: (a) A definição da derivada de f, num ponto 0 ; (b) A definição da derivada à direita de f, num ponto 0 ; (c) A definição da derivada à esquerda de f, num ponto 0. Q 6 Cada ite abaio representa a derivada de alguma função primitiva f em algum ponto 0. Estabeleça a primitiva f e o ponto 0 em cada caso. + h (a) 9 tg(π/4+ ) sen(π/+t) (g) (c) (e) 0 h 0 h t 0 t (+ h) 8 cos()+ (b) (d) (f) h 0 h π π 0 (h) 4 4 Q 6 Usando a definição de derivada, calcule f ( ) para cada uma das funções dadas a seguir. (a) f() = + (b) f() = (c) ( ) Q 64 Calcule, caso eista, a derivada da função f() = sen, = 0 0, = 0 no ponto 0 = 0. Adriano Cattai

13 4 Taas de Variação. Definição de Derivada e Derivadas Laterais. Eercícios: uma pura diversão Q 65 A função f() =, <, é diferenciável em 0 =? Em caso afirmativo, determine f (). Q 66 Usando a definição de derivada, verifique se as funções a seguir são deriváveis em 0. Se eistir, determine f ( 0 ). (a) f() = 6, 0 = (b) f() = 4, 0 = (c) f() = +, 0 = 5 (d) f() =, 0 = 0 (e) f() =, 0 = 0 (f) f() = cos(), 0 = π/6 (g) f() = +, 0 = 0 (h) f() = +, 0 = 8 {, (i) f() = 8, >, 0 = Q 67 Para cada função abaio mostre que f não é suave nos pontos indicados. Para tanto, analise analiticamente (via definição de derivada) e, depois, geometricamente (eibindo o esboço gráfico de f e localizando as quinas no gráfico). (a) f() =, = e = (b) f() =, = / (c) f() =, = 0 e = (d) f() =, = 0 (e) f() = sen(), = π (f) f() = cos(), = π/ e = π/ Q 68 O gráfico da função f é dado abaio. (a) Em quais pontos f não é diferenciável? (b) Em quais pontos f tem derivada nula? (c) Em quais intervalos f tem derivada negativa e/ou positiva? Por que? 5 4 = f() Q 69 Usando a definição de derivada, mostre que: (a) f () =, em que f() =, = 0; (b) f () =, em que f() =, = 0; (c) f () =, em que f() =, ; (d) f () = 4, em que f() = 4, ; (e) f () =, em que f() =, = 0; (f) f () =, em que f() =, = 0; (g) f () = cos(), em que f() = sen(), ; (h) f () = sen(), em que f() = cos(),. Q 70 Associe o gráfico de cada função em (a)-(d) com o grráfico de sua derivada em ()-(4). (a) (b) (c) (d) Adriano Cattai

14 5 Retas Tangentes e Retas Normais. Eercícios: uma pura diversão () () () (4) 5 Retas Tangentes e Retas Normais. 5. Pela Definição de Derivada Q 7 Se a reta tangente ao gráfico da função = f() no ponto(4; ) Graf( f) passa pelo ponto (0; ), calcule f(4) e f (4). Q 7 Quantas retas tangentes ao gráfico de = + são paralelas à reta = 6+? Determine as equações dessas tangentes. Q 7 Para cada função abaio, determine as equações das retas tangente e normal no ponto P( p, p ), dado. Após, num mesmo sistema de coordenadas, eiba o esboço gráfico de f e das retas. (a) f() = +, p = (c) f() =, p = (b) f() = + +, p = (d) f() =, p = 4 (e) f() = sen(), p = π/4 (f) f() = sen(), p = π/ Q 74 Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f() = 6 e que seja perpendicular à reta r : + =. Q 75 Dada a função f() = determine a equação da reta tangente e a equação da reta normal ao gráfico de f no ponto de abscissa. Desenhe, num mesmo sistema de coordenadas, o gráfico de f e as duas retas. Q 76 Dada a função f() = +, caso eista, determine a equação da reta tangente a esta curva que seja normal à reta r : = 6. Desenhe, num mesmo sistema de coordenadas, o gráfico de f e a da reta tangente. Q 77 Seja f() = uma curva. Determine, caso eistir: (a) a equação da reta tangente no ponto no ponto da abscissa =. (b) o ponto da curva em que a reta tangente tem ângulo de inclinação de Pelas Regras de Derivação Q 78 Resolva todas as questões da seção Retas tangentes e retas normais (com o uso da definição de derivada) deiando de utilizar a definição de derivada para utilizar as regras de derivação. Q 79 Determine as constantes a e b em que: (a) f() = a + +, sendo f () = 9 e (b) f() = + a+b, sendo f() = 4 e f () = 5. Q 80 Seja f() = uma curva. Se possível, determine, tanto a equação da reta tangente quanto a equação da reta normal a curva no ponto P(; ). Q 8 Mostre que a função f() = + 7 não possui uma reta tangente com inclinação igual a 4. Adriano Cattai 4

15 5 Retas Tangentes e Retas Normais. Eercícios: uma pura diversão Q 8 Encontre os pontos do gráfico da função = + em que a reta tangente é horizontal. Q 8 Ache uma parábola com equação = a + b cuja reta tangente em (; ) tenha equação t : =. Q 84 Calcule as abscissas dos pontos do gráfico de = + 4 nos quais a reta tangente é: (a) horizontal; (b) Paralela à reta r : +8 5 = 0 Q 85 Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f() = que é perpendicular à reta de equação r : + =. Q 86 Seja f() = k 4. Determine a constante k de modo que a reta que passa pelos pontos M(0, 5) e 6 N(5/, 0) seja tangente ao gráfico de f. Q 87 Calcule a área do triângulo retângulo ABC, de ângulo reto em B, indicado na figura. Sabe-se que a reta r é normal à curva f() = no ponto C, cuja abscissa é. A Note que a área é a metade do produto da ordenada do ponto A com a distância entre os pontos C e B. B C Q 88 Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico de f no ponto de abscissa 0 : (a) f() = ( )(+), 0 = (b) f() = + +, 0 = Aviso: Para esta questão é necessário o uso das regras da derivada produto e do quociente. Q 89 Considere a curva dada por f() = 4 4. Caso eista, escreva a equação da reta tangente a curva, tal que seja paralela a reta r : + = 0. Aviso: Para esta questão é necessário o uso da regra da Cadeia. Q 90 Considere a curva dada por f() = 4 4. Caso eista, escreva a equação da reta tangente a curva, tal que seja paralela a reta r : + = 0. Aviso: Para esta questão é necessário o uso da regra da Cadeia. Q 9 Seja f() = paralela à reta r : =. uma curva. Caso eista, escreva a equação da reta normal a curva, tal que seja Q 9 Mostre que as tangentes à curva f() = π sen() em 0 = π e em 0 = π, se cortam formando ângulos retos. Q 9 Seja f() = + ln(+) uma curva. Caso eista, determine os pontos do gráfico de f em que a reta tangente a esta curva seja normal à reta r : + = 6. Q 94 Mostre que a reta normal à curva = arcsen() ln(+ ), no ponto 0 = 0, faz com o eio um ângulo de 90. Q 95 Determine a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico da função = arctg () no ponto de abscissa =. Adriano Cattai 5

16 6 Derivadas das Funções Elementares. Eercícios: uma pura diversão Q 96 Encontre todos os pontos sobre o gráfico da função f() = sen()+sen () nos quais a reta tangente é horizontal. Q 97 Calcule a equação da reta tangente à curva f() = sen( + ) cos( )+ no ponto p = 0. Q 98 Mostre que a reta tangente à reta f() = a+b é ela mesmo, em qualquer ponto ( p, p ). Q 99 Mostre que a tangente à parábola f() =, no ponto ( p, p ) diferente do vértice, corta o eio das abscissas no ponto = p. Q 00 Considere a parte da hipérbole f() = ponto arbritário( p, p ) dessa curva. que fica no primeiro quadrante e desenhe a tangente num (a) Mostre que a porção da reta tangente compreendida entre os eios coordenados tem cmo ponto médio o ponto de tangência; (b) Ache a área do triângulo formado pelos eios e pela tangente e verifique que essa área é independente da localização do ponto de tangência. 6 Derivadas das Funções Elementares. 6. Regras Básicas de Derivação. Q 0 Verifique, determinando f ( 0 ), se as funções a seguir são deriváveis em 0. (a) f() = 6, 0 = (b) f() = 4, 0 = (c) f() = +, 0 = 5 (d) f() =, 0 = 0 (e) f() =, 0 = 0 (f) f() = cos(), 0 = π/6 (g) f() = +, 0 = 0 (h) f() =, 0 = 8 {, (i) f() = 8, >, 0 = Q 0 Sejam f e g funções diferenciáveis tais que f(5) =, f (5) = 6, g(5) = e g (5) =. Encontre: (a)( f g) (5); (b)( f /g) (5); (c)(g/ f) (5). { Q 0 Seja f() =, a+b, >. Ache os valores de a e b que faça f diferenciável em R. Q 04 Determine as constantes a e b de modo que f seja derivável em =, sendo f() = { a + b,, >. Q 05 Para cada função abaio mostre que f não é suave nos pontos indicados. Para tanto, analise analiticamente (determinando as derivadas laterais) e, depois, geometricamente (eibindo o esboço gráfico de f e localizando as quinas no gráfico). (a) f() =, = e = (b) f() =, = / (c) f() =, = 0 e = (d) f() = + +, = (e) f() = sen(), = π (f) f() = cos(), = π/ e = π/ Adriano Cattai 6

17 6 Derivadas das Funções Elementares. Eercícios: uma pura diversão Q 06 Derive cada uma das funções dadas abaio: (a) f() = 4 + ; (b) f() = ; (c) f() = ; (d) f() = / ( / ); (e) f() = a+ b c+d ; (f) f() = + 4 ; (g) f() = 8 6 ; (h) f() = e ; (i) f() = e ; (j) f() = e + ; (k) f() = + ; (l) f() = ( + 6)( /4); (m) f() = + c ; (n) f() = ( + + ) tg(); (o) f() = cos() tg(); (p) f() = sen() cos()+8 tg() sec(); (q) f() = sen()+9 sec(); 5 (r) f() = sen()+cos(); (s) f() = ( + ) ; (t) f() = tg() sec() ; (u) f() = sen() cos(). Q 07 Se h é uma função diferenciável com h() = 4 e h () =, calcule d d ( ) h(). = Q 08 A partir dos gráficos das funções f e g, eibidos abaio, esboce o gráfico de f e de g. 4 f 4 g Dom( f) = (, 7) Dom(g) = R e g() =, [, ] Q 09 Os gráficos das funções f e g são dados na figura abaio. Se p() = f() g() e q() = f()/g(), calcule p () e q (5). 4 f g Q 0 Para cada caso abaio, determine os intervalos onde a função é crescente e os intervalos onde a função é decrescente. (a) f() = a+b; (b) f() = a + b+c; (d) f() = + ; (e) f() = ; (g) f() = + ; (h) f() = ; (c) f() = + ; (f) f() = ; (i) f() = +. Adriano Cattai 7

18 6 Derivadas das Funções Elementares. Eercícios: uma pura diversão 6. A Regra da Cadeia. Q Derive cada uma das funções abaio: (a) f() = ( + 5 8) ; (b) f() = (5 + ) ( ) ; (c) f() = 4 ++ ; (d) f() = ; (e) f() = ( + 4) 7 ; (f) f() = + ; (g) f() = ( )4 ( + ) 5 ; (h) f() = ( + ) ; (i) f() = e +6+7 ; (j) f() = sen (); (k) f() = ln( + ); (l) f() = cos( + ); (m) f() = ln(sec()+tg()); (n) f() = ( 5)4 (8 5) ; [ ] 4 (o) f() = ; + 5 (p) f() = cos(e + ); (q) f() = (+ 4 ) ; (r) f() = +tg(); (s) f() = ( 4 ) ( + ) 4 ; (t) f() = 5 ; (u) f() = e a ; (v) f() = 0 ; (w) f() = ( ) (5 ) ; () f() = ( 4 + ). Q Derive cada uma das funções abaio: (a) f() = (+4) 5 (+ ) 8 ; (b) f() = + ; (c) f() = cos(a + ); (d) f() = a + cos( ); (e) f() = 4 sec(5); (f) f() = ( + ) + ; (g) f() = sen(sen(sen())); (h) f() = sen(tg( sen())); (i) f() = cos() ; sen(5) (j) f() = sen() ln( ) ; (k) f() = log ( ); (l) f() = sen( ) cos(+ ); (m) f() = e sen() ; (n) f() = e ( 5); (o) f() = e ; (p) f() = e 5 cos(); (q) f() = e cos() ; [ (r) f() = sen() ln ]; + (s) f() = tg(cos()); (t) f() = sen () cos() ; (u) f() = sen(π) ; (v) f() = tg (); (w) f() = ln() ; () f() = ln(ln()); () f() = + ; (z) f() = + + ; (α) f() = +. Q A tabela ao lado apresenta valores para f, g, f e g. Se h() = f(g()), H() = g( f()), F() = f(f()) e G() = g(g()), calcule h (), H (), F () e G (). f() g() f () g () Q 4 Sejam f e g duas funções diferenciáveis. Se F() = f(g()), g() = 6, g () = 4, f () = e f (6) = 7, calcule F (). Q 5 A derivada segunda de f (ou derivada de segunda ordem de f ), indicada por f, é a derivada da derivada de f, ou seja, f () = [ f ()]. Assim, responda os itens abaio. (a) Seja g uma função duas vezes derivável e f dada por f() = g(+ cos()). Sabendo que g () = e que g () = 8, determine f () e f (0). (b) Seja f uma função duas vezes derivável e g dada por g() = cos() [f()]. Sabendo que f (0) = f (0) = e que f(0) =, determine g () e g (0). Q 6 Uma função hiperbólica é uma das seguintes funções: seno hiperbólico, cosseno hiperbólico, tangente hiperbólica, secante hiperbólica, cossecante hiperbólica e cotangente hiperbólica. Essas funções são definidas Adriano Cattai 8

19 6 Derivadas das Funções Elementares. Eercícios: uma pura diversão em termos das funções eponenciais e, portanto, suas derivadas se resumem na derivação de funções eponenciais: senh() = e e, cosh() = e + e e as demais a partir destas. Assim, usando a regras de derivação, mostre que: (Atenção: cosh () senh () = ) (a)[senh()] = cosh(); (b)[cosh()] = senh(); (c)[tgh()] = sech (); (d)[coth()] = cossech (); (e)[sech()] = sech() tgh(); (f)[cossech()] = cossech() coth(). Q 7 Para cada um dos itens a seguir, determine: (a) f (), sendo f(5+)+ f( + ) = ; ( ) (b) f (0), sendo f sen() = f( π)+ π, [ π/, π/]; (c)(g f h) (), em que f(0) =, h() = 0, g () = 5, f (0) = h () = ; (d) a função g, em que ( f g) () = 4+4, f() = + e g () =. Q 8 Use a regra da cadeia para mostrar que (a) a derivada de uma função diferenciável par é uma função ímpar e (b) a derivada de uma função diferenciável ímpar é uma função par. (c) Eiba alguns eemplos comprovando o que você acabou de mostrar. Lembre-se que f é par se f( ) = f(), Dom( f) e f é ímpar se f( ) = f(), Dom( f). Q 9 Para cada uma das funções seguintes, determine as derivadas indicadas: (a) f(u) = u, u() = 4: ( f u) () e( f u) (); (b) = u sen(u), u = d : d e d d 0 = π; (c) f(u) = u, u() = + + : ( f u) () e( f u) (); (d) f() = + : f () e f (4); ( π ) (e) f() = sen cos ( π ) 5 + : f () e f (0); (f) f(t) = t + t : f (t) e f (0); ( ) +sen() (g) f() = ln : f () e f (4π/); sen() (h) f() = ln [ tg( +e ) ] : f () e f (0). 6. Derivada das Trigonométricas Inversas. Q 0 Derive cada função abaio: (a) = arccos(+); (g) = arctg(+); (b) = arccossec(e ); (h) = arcsen( ); (c) = arcsen (); (i) = + arctg() ; (d) = e arcsec(); (j) = ln ( arccos( + ) ) ; (e) = arctg( 7 [ ] ); (k) = log arccotg( ) ; (f) = arccotg(ln()); (l) = arctg(); (m) = arctg( ); (n) = arcsen(); (o) = (+ ) arctg(); (p) = arctg( + ); (q) = arccos() ; (r) = arctg(cos()). Adriano Cattai 9

20 6 Derivadas das Funções Elementares. Eercícios: uma pura diversão 6.4 Derivadas de Ordem Superior (ou Sucessivas). Q Calcule as derivadas sucessivas até a ordem n indicada. (a) f() = 4 9, n = ; (f) f() = +, n =. (b) f() = a + b + c+d, n = ; (g) f() = e, n = ; (c) f() = e, n = 4; (h) f() = ln( ), n = ; (d) f() = sen(), n = 76; (i) f() = sen() cos(), n = ; (e) f() = tg(), n = ; (j) f() = +, n = ; (k) f() = sen( + ), n = ; (l) f() =, n = 5. (m) f() = ln(+), n = 6. (n) f() = +, n = 5. (o) f() = e + e, n =. Q Uma equação diferencial é uma equação que envolve uma função e suas derivadas. Quando a função contém apenas uma variável esta equação é chamada de equação diferencial ordinário (EDO). Em cada item, verifique se a função = f() é solução da EDO indicada. (a) = e e + = 0; (b) = sen() e + = 0; (c) = a sen()+b cos() e + = 0; (d) = + e 4+6 = 0; (e) = /+e e + = ; (f) = [ln()+ln ()] e + 4 = 0 (g) = e e = ( ); (h) = [+ ln()] e + + =. Q Mostre que: (a) Se f() =, então f(n) () = ( )n n! n+, n N, em que n! = n (n ) (n )... ; (b) Se f() = e a, então f (n) () = a n e a, n N; (c) Se f() = a b, então f (n) () = [b ln(a)] n a b, n N; (d) Se f() = a e + b e, então f (n) () = a e+b e, se n for par e f (n) () = a e b e, se n for ímpar; (e) Se f() = ln(a+b), então f (n) () = ( )n+ an (n )! (a+b) n, n N; cos(), n = +4k (f) Se f() = sen(), então f (n) sen(), n = +4k () =, k N. cos(), n = +4k sen(), n = 4k Q 4 A partir de que ordem a derivada de um polinômio de grau n será indenticamente nula? Q 5 Determine a epressão da segunda derivada de (a) h() = f() g() e de (b) h() = ( f g)(). 6.5 Derivada Implícita. Q 6 Determine a derivada das curvas dadas implicitamente por: (a) + = 4; (b) + = ; (c) + sen() = 0; (d) e = + ; (e) = + ; (f) tg() =. Q 7 Calcule a epressão e o valor no ponto dado das derivadas indicadas abaio: Adriano Cattai 0

21 7 Diferenciais e Cálculos Aproimados. Eercícios: uma pura diversão (a) + d = 4: d no ponto P(, ) e d d no ponto Q(, ); (b) d = 5+ : no ponto P(0, ); d (c) d sen() = 0: 4 d no ponto de ordenada π ; (d) e + = e: no ponto de ordenada ; (e) + = 6: no ponto de abscissa e ordenada possuem o mesmo valor. Q 8 Retas tangentes e retas normais, via derivada implícita: (a) Mostre que as retas tangentes às curvas C : = 0 e C : = 0 na origem, são perpendiculares. (b) Seja C a circunferência de raio centrada na origem e t a reta tangente à C no ponto de abscissa 0 = Determine a área da região compeendida entre a reta t, a circunferência C, o eio e o eio.. (c) Determine a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico de cada curva abaio, nos pontos indicados. (c) 6 + = 9 (elipse), nos pontos em que a normaç é paralela à reta 6 7 = 0; (c) ln() = +, no ponto P(, ); (c) =, no ponto em que a normal é vertical. (c4) = ( ) no ponto (, ); (c5) + = 4 no ponto (, ); (c6) ( + ) = 5( ) no ponto (, ); (c7) = (+) (4 ) no ponto (0, ). Q 9 Considere a circunferência + = r (de centro (0, 0) e raio r) e desenhe a reta normal num ponto arbitrário qualquer ( p, p ) dessa curva. Derivando implicitamente, mostre que a normal, em qualquer ponto arbritário( p, p ) da circunferência, passa pelo centro. Q 0 Considere a elipse a + b = e desenhe a reta tangente num ponto arbitrário qualquer( p, p ) dessa curva. Derivando implicitamente, mostre que a tangente, em qualquer ponto arbritário( p, p ) da elipse, tem equação p a + p b =. Q Seja = f() uma função definida implicitamente pela equação sec (+) cos (+) = 0. Determine. Q Seja = f() uma função definida implicitamente pela equação + = 0. Encontre a equação da reta normal ao gráfico da função f no ponto (, 4). Q Seja = f() uma função definida implicitamente pela equação 4 + =. Calcule f (), sabendo que f() > 0. R. 7 Diferenciais e Cálculos Aproimados. Q 4 Seja = f() uma função. Adriano Cattai

22 8 Taas Relacionadas. Eercícios: uma pura diversão (a) Defina o incremento ou acréscimo de, ; (b) Defina o incremento ou acréscimo de,, quando eiste algum incremento em ; (c) Interprete, geometricamente, a razão ; (d) Defina os diferenciais d e d; (e) Estabeleça uma fórmula para cálculos aproimados, com o uso da derivada e dos diferenciais; (f) Com uma aproimação de seis casas decimais, use a fórmula obtida no item anterior, para obter as seguintes aproimações: (f) 9, ; (f) 8, 9; (f) 8, ; (f4) 7, 9; (f5) sen( ); (f6) sen( ); (f7) cos( ); (f8) tg( ); (g) Em cada subitem, do item acima, compare o resultado obtido com o resultado obtido a partir de uma calculadora. 8 Taas Relacionadas. Um problema envolvendo taas de variação de variáveis relacionadas é chamado de problema de taas relacionadas. Assim, se uma variável é função do tempo t, a taa de variação de em relação ao tempo é dada por d. Quando duas ou mais dt variáveis, todas função de t, são relacionadas por uma equação, a relação entre suas taas de variação pode ser obtida diferenciando a equação em relação a t. Em problemas com taas relacionadas, as variáveis têm uma relação específica para os valores de t, onde t é a medida do tempo. Essa relação é usualmente epressa na forma de uma equação. Os valores das variáveis e as taas de variação das variáveis em relação à t são frequentemente dados num determinado instante. Diretrizes para Resolver Problemas envolvendo Taas Relacionadas. Faça uma figura, se isso for possível;. Defina as variáveis. Em geral defina primeiro t, pois as outras variáveis usualmente dependem de t;. Escreva todos os fatos numéricos conhecidos sobre as variáveis e suas derivadas em relação à t; 4. Obtenha uma equação envolvendo as variáveis que dependem de t; 5. Derive em relação a t ambos os membros da equação encontrada na etapa acima; 6. Substitua os valores de quantidades conhecidas na equação da etapa acima e resolva em termos da quantidade desejada. Q 5 Um balão está subindo verticalmente acima de uma estrada a uma velocidade constante de / m/s. Quando ele está a 7m acima do solo, uma bicicleta que se desloca a uma velocidade constante de 5 m/s passa por baio dele. A que taa a distância entre a bicicleta e o balão aumentará s depois? Q 6 Uma lâmpada colocada num poste está a 4m de altura. Se uma criança de 90cm de altura caminha afastando-se do poste à razão de 5 m/s, com que rapidez se alonga sua sombra? (Dica: use semelhança entre triângulos) Q 7 Um balão de ar quente, subindo na vertical a partir do solo, é rastreado por um telêmetro (dispositivo de precisão destinado à medição de distâncias em tempo real) colocado a 500m de distância do ponto de decolagem. No momento em que o ângulo de elevação do telêmetro é π/4, e se o ângulo aumenta à razão de 0, 4 rad/min, a que velocidade o balão sobe nesse momento? Q 8 Um míssel é lançado verticalmente para cima de um ponto que está a 8 km de uma estação de rastreamento, e à mesma altura desta. Durante os primeiros 0 segundo de vôo, seu ângulo de elevação θ varia à razão constante de graus por segundo. Determine a velocidade do míssel quando o ângulo de elevação for 0 graus. Adriano Cattai

23 8 Taas Relacionadas. Eercícios: uma pura diversão Q 9 Um bote é puado em direção ao atracadouro por uma corda que está atada na proa do bote e que passa por uma polia sobre o ancoradouro (que está m mais alto do que a proa do bote). Se a corda é puada a uma taa de m/s, quão rápido está se aproimando o bote do ancoradouro quando ele estiver a 8 m dele? Q 40 A medida de um dos ângulos agudos de um triângulo retângulo está diminuindo a taa de π 6 rad/seg. Se o comprimento da hipotenusa é constante e igual a 40m, com que velocidade a área está variando, no tempo em que a medida desse ângulo for igual π 6? Q 4 Um meliante foge sobre uma muralha reta a uma velocidade de 4 m/s. Um holofote localizado a 0 metros de distância da muralha, e mesma altura que esta, focaliza o homem em fuga. A que taa o holofote está girando quando o fujão se encontra a 5 metros do ponto da muralha que está mais próimo do holofote? Q 4 Um observador vê um avião afastando-se em vôo horizontal a uma altura constante de, 4km e velocidade de.600km/h, sob um ângulo θ. Determine a variação de θ em relação ao tempo no instante em que θ = π rad. Desconsidere a altura do observador. Q 4 Uma câmera de televisão no nível do solo está filmando a subida de um ônibus espacial que está subindo verticalmente de acordo com a equação s = 5t, sendo s a altura e t o tempo. A câmera está a 600 m do local de lançamento. Encontre a taa de variação da distância entre a câmera e a base do ônibus espacial, 0 segundos após o lançamento (suponha que a câmera e a base do ônibus estão no mesmo nível no tempo t = 0). Q 44 Dois carros começam a se mover a partir de um mesmo ponto. Um deles viaja para o sul com velocidade constante de 60 km/h e outro viaja para o oeste com velocidade constante de 5 km/h. Qual é a taa de variação da distância entre eles duas horas depois? Q 45 As 8h o navio A está a 5 km ao sul do navio B. Se o navio A está navegando para o oeste à 6 km/h e o navio B está navegando para o sul a 0 km/h então determine a razão em que a distância entre os navios está variando às 8h 0min. Q 46 Uma escada de 5 m de comprimento está recostada em uma parede. A base da escada escorrega, afastando-se da parede a uma taa (velocidade) de cm/s. Com que velocidade cai o topo da escada, no momento em que a base da escada está a m da parede? Q 47 Deia-se cair uma pedra em um lago de águas tranquilas, ocasionando ondas na forma de círculos concêntricos. O raio r da onda eterior está aumentando à razão constante de cm/s. Quando o raio é igual a 4 cm, a que taa está variando a área total A da água agitada? Q 48 O ar está sendo bombeado para dentro de um balão esférico à razão de 4, 5 cm /min. Determine a taa de variação do raio quando este é de cm. Q 49 Um farol giratório completa uma volta a cada 5 segundos. O farol está a 60 m de P, o ponto mais próimo em uma praia retilínea. Determine a razão em que um raio de luz do farol está se movendo ao longo da praia em um ponto, Q, a 50 m de P. (Dica: volta = π, dθ dt = π 5 rad/seg) Q 50 Suponha que uma bola de neve esteja se derretendo, com raio decrescendo à razão constante, passando de 0 cm para 0 cm em 45 minutos. Qual a variação do volume quando o raio está com 5 cm. (Dica: dr/dt = 0/45cm/min) Adriano Cattai

24 0 Teoremas Relativos às Funções Deriváveis. Eercícios: uma pura diversão 9 A Regra de L Hôspital (ou Regra de Cauch?). Q 5 (a) Enuncie a regra de L Hôspital. (b) Para que serve esta regra? (c) Quando podemos utilizá-la? Q 5 Identificando a indeterminação, calcule cada ite abaio usando a regra de L Hôspital. (a) sen() + (b) 4 (c) e e e (d) 0 sen() ( ) 5 (e) sen (f) + (e ) (g) 64 (γ) + 5 (δ) 0 [cos()] (ε) 0 ( + ) (h) 0 + tg() sen() (i) e + (j) 0 e e (k) 0 tg(64) (l) 0 tg() (m) 0 + ln() (n) (ζ) 0 + (π/) + cos() sen() (η) [ ] 0 (θ) [+/+5/ ] + ln() (o) + (p) ln() 0 + (q) + ln(ln()) 5 (r) 0 ln() (s) sen(π) (t) e (u) sen() ln() 0 + (ι) (κ) + ln()/(+ln()) + [e + ] (λ) 0 +[cos()] (v) 0 + sen() + cos() (w) sen() π/ cossec() () 0 sen() senh() arcsen() () 0 (z) tg + ( ) (α) 0 cotg() sen(6) (β) 0 cossec() cotg() [ (µ) + ] + (ν) [+] / 0 (ξ) + Alfabeto grego: Alpha (α), Beta (β), Gamma (γ); Delta (δ); Epsilon (ε); Zeta (ζ); Eta (η); Theta (θ); iota (ι); Kappa (κ); Lambda (λ); Mu (µ); Nu (ν); Xi(ξ). 0 Teoremas Relativos às Funções Deriváveis. 0. Teorema de Rolle Teorema de Rolle (relativo às raízes da derivada): Se f() é contínua intervalo fechado[a, b], derivável no aberto(a, b) e se anula nas etremidades deste segmento ( f(a) = f(b) = 0), eiste, então, pelo menos, um ponto c (a, b) tal que a derivada se anula, isto é, f (c) = 0. Q 5 Comprove que as três condições das hipóteses do Teorema de Rolle estão satisfeitas pela função dada no intervalo indicado. Ache, então, um valor para c que satisfaça a conclusão do teorema. (a) f() = 4+, [, ]; (b) f() = +, [, ]; (c) f() = 4 9, [ /, /]; (d) f() = sen(), [π, π]; (e) f() = cos(), [π/, π/]; (f) f() = cos (), [ π/, π/]. Q 54 Em cada item faça o esboço do gráfico da função no intervalo indicado. Teste as três condições das hipóteses do teorema de Rolle e determine quais entre elas são satisfeitas. Se as três forem satisfeitas determine um ponto no qual a reta tangente seja horizontal. (a) f() =, [, ]; { + 4 se < (b) f() =, [, 4]; 4 se (c) f() =, [, 4]; (d) f() = 4, [, ]. Adriano Cattai 4

25 Etremos de Funções. Eercícios: uma pura diversão Q 55 Dada a função f() = 5 4 (a) verifique que ela anula-se nas etremidades do intervalo[, ] e (b) que não eiste c (, ) tal que f (c) = 0, ou seja, a derivada não se anula neste intervalo. (c) Eplique por que o teorema de Rolle não pode ser aplicado. 0. Teorema de Lagrange Teorema de Lagrange (dos crescimentos finitos): Se f() é contínua intervalo fechado [a, b] e derivável no aberto (a, b), eiste, então, pelo menos, um ponto c (a, b) tal que f(b) f(a) = f (c) (b a). Q 56 A interpretação geométrica do teorema de Lagrange é que para um valor adequado c no intervalo aberto (a, b), a reta tangente à curva = f() no ponto P(c, f(c)) é paralela à reta secante que passa pelos pontos A(a, f(a)) e B(b, f(b)). Em cada item, ache um valor de c que satisfaça a conclusão do teorema, faça um esboço do gráfico no intervalo indicado e coloque no gráfico as retas tangente e secante. (a) f() = 4, [, ]; (b) f() = sen(), [0, π/]. Q 57 Suponha que s = s(t) seja a equação do movimento de uma partícula sobre uma reta, em que s(t) satisfaz as hipóteses do teorema de Lagrange. É verdade que a conclusão deste teorema assegura que sempre eistirá um certo instante em qualquer intervalo de tempo, no qual a velocidade instantânea será igual à velocidade média para o intervalo dado? Q 58 Se a equação do movimento de uma partícula sobre uma reta for s(t) = t t+4, t [0, 4], ache o valor de t em que a velocidade instantânea é igual à volocidade média para o intervalo dado. Q 59 Em que ponto a tangente à curva = ln() é paralela à secante que passa pelos pontos A(, 0) e B(e, )? Q 60 Use o teorema de Lagrange para mostrar que e +. Etremos de Funções. Q 6 Em cada caso, verifique se a função f possui etremos globais no conjunto A indicado. Em caso afirmativo, calcule estes etremos. (a) f() =, A = [ ; ]; (b) f() = cos()+sen(), A = [0; 4π]; (c) f() = 5 5 +, A = [ ; ]. Q 6 Mostre que f() = ln() tem máimo absoluto em = e. É verdade que π e < e π? Q 6 Mostre que + para todo > 0.. Problemas de Otimização. Os problemas cujas soluções eigem a determinação de valores máimos e/ou mínimos das funções que os representam são chamados de problemas de otimização. Damos esta terminologia pelo fato de que as soluções encontradas são as melhores possíveis para cada caso, ou seja, resolver estes problemas com as técnicas de máimos e mínimos significa encontrar a solução ótima para eles. Diretrizes para Resolver Problemas de Otimização Adriano Cattai 5

26 Etremos de Funções. Eercícios: uma pura diversão. Atribuir símbolos a todas as grandezas dadas e a todas as grandezas a serem determinadas. Quando cabível, fazer um diagrama;. Estabelecer uma equação fundamental para a grandeza a ser maimizada ou minimizada;. Reduzir a equação fundamental a uma equação com uma única variável independente; isto pode envolver a utilização de uma equação secundária que relacione as variáveis independentes da equação fundamental; 4. Determinar o domínio viável da equação fundamental, isto é, determinar os valores para os quais o problema tem sentido; 5. Aplicar o Cálculo para o achar o valor máimo ou mínimo desejado. Q 64 Ache os pontos do gráfico de = 4 que estão mais próimos do ponto (0, ). (Dica: Fórmula da distância entre dois pontos num plano d = ( ) +( ) e para minimizar f() = g() basta minizar g()) Q 65 Prove que se o produto de dois números positivos é constante, a soma é mínima quando os dois números são iguais. Q 66 Dado um fio de arame de comprimento L como devemos moldá-lo, em forma de um retângulo, para que tenhamos a maior área possível? Qual a área deste retângulo? Q 67 Uma reta variável passando pelo ponto P(, ) intersecta o eio em A(a, 0) e o eio em B(0, b). Determine o triângulo OAB, de área mínima, para a e b positivos. Q 68 Dentre os retângulos com base no eio e vértices superiores sobre a parábola =, determine o de área máima. Q 69 Um caia com fundo quadrado e sem tampa deve ser formada com couro. Quais devem ser as dimensões da caia que requerem a quantidade mínima de couro, sabendo que a sua capacidade é litros? (Lembre-se que l = dm ) Q 70 Um industrial deseja construir uma caia aberta de base quadrada e área de superfície de 08 m. Que dimensões darão uma caia com volume máimo? Q 7 Um cartaz deve conter 50cm de matéria impressa com duas margens de 4cm em cima e embaio e duas margens laterais de cm cada. Determine as dimensões eternas do cartaz de modo que a sua área total seja mínima. Q 7 Um tanque de base quadrada, sem tampa, deve conter 5cm. O custo, por metro quadrado, para a base é de R$8, 00 e para os lados R$4, 00. Encontre as dimensões do tanque para que o custo seja mínimo. Q 7 Desejamos fazer uma caia retangular aberta com um pedaço de papelão de 8cm de largura e 5cm de comprimento, cortando um pequeno quadrado em cada canto e dobrando os lados para cima. Determine as dimensões da caia de volume máimo. Q 74 Corta-se um pedaço de arame de comprimento L em duas partes; com uma das partes faz-se uma circunferência e com a outra um quadrado. Em que ponto deve-se cortar o arame para que a soma das áreas compreendidas pelas duas figuras seja mínima? Q 75 Um fabricante deseja construir um recipiente, na forma de um cilindro circular reto, que deverá armazenar.000π cm de petróleo (o recipiente possui as tampas circulares). O custo de produção do recipiente é medido pela área total do recipiente. Determine a altura h e o raio da base r do cilindro (ambos medidos em cm) que minimizam o custo de produção. Q 76 Considereando a questão anterior e considerando que o volume é V 0 cm, mostre que o custo de produção do recipiente será mínimo quando r = V0 π cm e h = 4V0 π cm. Adriano Cattai 6