Matemática /09 - Produto Interno 32. Produto Interno

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1 Matemática /09 - Produto Interno 32 Produto Interno A noção de produto interno (ou escalar) de vectores foi introduzida no ensino secundário, para vectores com duas ou três coordenadass. Neste capítulo generaliza-se esta noção. Os espaços R n No ensino secundário foram estudados vectores no plano, da forma (x; y); e no espaço, da forma (x; y; z) : Denomina-se por espaço R 2 o conjunto dos vectores no plano e por espaço R 3 o conjunto dos vectores no espaço. Embora se perca a interpretação geométrica, é fácil generalizar estas de nições a dimensões maiores e de nir o espaço R n, para qualquer n 2 N: R n f(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) : x 1 ; x 2 ; :::; x n 2 Rg Os elementos de R n designam-se genericamente por vectores e as de nições de soma de vectores e de produto de um número real por um vector decorrem naturalmente das de nições análogas no plano e no espaço. 1. Espaço R 4 f(x 1 ; x 2 ; x 3 ; x 4 ) : x 1 ; x 2 ; x 3 ; x 4 2 Rg 2. ( 1; 0; 3; 1; 6) é um vector do espaço R 5 : 3. Soma de vectores: (1; 2; 3; 4; 5; 6) + (6; 5; 4; 3; 2; 1) (7; 7; 7; 7; 7; 7) 4. Produto de um numero real por um vector: Para 2 R, ( 1; 0; 3; 1; 6) ( ; 0; 3; ; 6) Produto interno euclidiano O produto interno ou escalar de dois vectores u e v em R 2 ou R 3 foi de nido pela expressão: u v cos ] (u:v) : Esta expressão pressupõe que se pode medir o comprimento dos vectores e a amplitude do ângulo por eles formado. Quando a dimensão aumenta e se perde a interpretação geométrica dos vectores, essas medições não são possíveis. Para generalizar a de nição de produto interno aos outros espaços R n utiliza-se a expressão, também já conhecida, do produto escalar usando as coordenadas dos vectores. No caso do espaço R 2, por exemplo, sendo u (u 1 ; u 2 ) e v (v 1 ; v 2 ) dois vectores o produto interno é: (u 1 ; u 2 ) (v 1 ; v 2 ) u 1 v 1 + u 2 v 2 Assim, se u (u 1 ; u 2 ; : : : ; u n ) e v (v 1 ; v 2 ; : : : ; v n ) são vectores de R n, o produto interno euclidiano (ou usual) u v 1 é de nido por u v u 1 v 1 + u 2 v u n v n 1 Para o produto interno de dois vectores u e v também se usam a notações ujv e hu; vi :

2 Matemática /09 - Produto Interno 33 Exemplo: Em R 5 ; (1; 2; 3; 4; 5) (5; 4; 3; 2; 1) : A partir da de nição obtêm-se sem di culdade as seguintes propriedades: Propriedades: Se u; v; w são vectores de R n e 2 R, então: 1. u v v u. 2. u (v + w) u v + u w: R; (u) v (u v) u (v) : 4. u u 0 e u u 0 se e só se u (0; 0; : : : ; 0). Nota: Pode-se de nir produto interno de uma forma ainda mais geral, como sendo qualquer aplicação que a um par de vectores faça corresponder um número real e satisfaça as quatro propriedades enunciadas. Um exemplo é o produto interno euclidiano com pesos que se de ne, para vectores de R n ; u (u 1 ; u 2 ; : : : ; u n ) e v (v 1 ; v 2 ; : : : ; v n ), e sendo k 1; k 2 ; : : : ; k n números reais positivos, pela fórmula: u v k 1 u 1 v 1 + k 2 u 2 v k n u n v n : Norma euclidiana Usando a de nição de produto interno em R n podem também ser generalizadas as noções de norma de vectores e de distância entre dois vectores. Sejam u (u 1 ; u 2 : : : ; u n ) e v (v 1 ; v 2 ; : : : ; v n ) vectores de R n : De ne-se: 1. Norma euclidiana de u, kuk p u u p u u u 2 n. 2. Distância entre os vectores u e v; d (u; v) ku vk k(u 1 v 1 ; u 2 v 2 ; : : : ; u n v n )k. Exemplo: Em R 5 : k(1; 2; 3; 4; 5)k p (1; 2; 3; 4; 5) (1; 2; 3; 4; 5) p p 55 d ((1; 2; 3; 4; 5) ; (5; 4; 3; 2; 1)) k(1; 2; 3; 4; 5) (5; 4; 3; 2; 1)k k( 4; 2; 0; 2; 4)k p 40 Propriedades: Sejam u e v vectores de R n e 2 R, então: 1. kuk 0 e kuk 0 se e só se u (0; 0; : : : ; 0) : 2. d (u; v) 0 e d (u; v) 0 se e só se u v: 3. kuk jj kuk : 4. ku + vk kuk + kvk (desigualdade triangular). 5. ju vj (desigualdade de Cauchy-Schwarz 2 ). 2 Augustin Louis Cauchy, matemático francês ( ). Hermann Amandus Schwarz, matemático alemão ( )

3 Matemática /09 - Produto Interno 34 Ângulo de dois vectores A noção de ângulo entre dois vectores pode também ser generalizada a vectores de R n, usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz. Através desta desigualdade, tem-se, para u e v não nulos, ju vj,, ju vj 1,, 1 u v 1: (1) Como é sabido, se é um ângulo cuja medida varia entre 0 e, então cos percorre todos os valores entre 1 e 1. Este facto e as desigualdades (1) permitem a seguinte de nição: Ângulo de dois vectores não nulos u e v; ] (u; v) ; é o ângulo ; 0 ; tal que cos u v ; isto é, o ângulo tal que cos ] (u; v) u v (2) Esta era a de nição já conhecida anteriormente para ângulo entre vectores de R 2 ou de R 3. De (2) obtém-se também a fórmula, já conhecida, para o produto interno de dois vectores: u v cos ] (u; v) : 1. Em R 5 ; vamos calcular o ângulo dos vectores (1; 1; 1; 0; 1) e 1; 1; 1; p 6; 0 cos ] (1; 1; 1; 0; 1) ; 1; 1; 1; p 6; 0 (1; 1; 1; 0; 1) 1; 1; 1; p 6; 0 k(1; 1; 1; 0; 1)k 1; 1; 1; p 6; 0 3 p p O ângulo cujo co-seno é 2 e tal que 0 é 2 : Assim, 3 ] (1; 1; 1; 0; 1) ; 1; 1; 1; p 6; : 2. Os vectores (1; 2; 1; 0; 1) e ( 1; 2; 1; 0; 1) são simétricos. Embora sem representação geométrica podemos imaginar que representam vectores com a mesma direcção e sentidos contrários e que, portanto, formam entre si um ângulo de 180 o. De facto cos ] ((1; 2; 1; 0; 1) ; ( 1; 2; 1; 0; 1)) (1; 2; 1; 0; 1) ( 1; 2; 1; 0; 1) k(1; 2; 1; 0; 1)k k( 1; 2; 1; 0; 1)k 7 p p O ângulo cujo co-seno é 1 e tal que 0 é ( 180 o )

4 Matemática /09 - Produto Interno Em R 6 ; vamos calcular o ângulo dos vectores (1; 0; 3; 0; 1) e (0; 2; 0; 3; 0) : cos ] ((1; 0; 3; 0; 1) ; (0; 2; 0; 3; 0)) (1; 0; 3; 0; 1) (0; 2; 0; 3; 0) k(1; 0; 3; 0; 1)k k(0; 2; 0; 3; 0)k 0 p p O ângulo cujo co-seno é 0 e tal que 0 é 2 ( 90o ) Ortogonalidade Como vimos no último exemplo, o cálculo do ângulo de dois vectores permite determinar quais os vectores de R n que são ortogonais (ou perpendiculares), isto é, quais os vectores que formam entre si um ângulo de : Da igualdade (2) veri ca-se que se u e v são dois 2 vectores não nulos então cos ] (u; v) 0 se e só se u v 0: Isto motiva a seguinte de nição: De nição: Dois vectores u e v de R n dizem-se ortogonais se u v 0: Nota: De acordo com a de nição o vector nulo é ortogonal a qualquer vector pois u (0; 0; : : : ; 0) 0; 8u 2 R n : 1. Em R 4 os vectores u (2; 1; 3; 4) e v (2; 12; 4; 1) são ortogonais pois (2; 1; 3; 4) (2; 12; 4; 1) 0: 2. Os vectores (1; 2; ; 3) e (2; 1; 2; 0) ; 2 R, são ortogonais para 0 ou 2 pois (1; 2; ; 3) (2; 1; 2; 0) 0, 2 2 0, 0 ou 2 A noção de ortogonalidade permite generalizar o teorema de Pitágoras ao espaço R n : Teorema (Pitágoras): Se u e v são vectores ortogonais de R n ; então Demonstração: ku + vk 2 ku + vk 2 kuk 2 + kvk 2 : (u + v) (u + v) (u u) + (u v) + (v u) + (v v) {z } {z } 0 0 kuk 2 + kvk 2

5 Matemática /09 - Produto Interno 36 Conjuntos ortogonais e ortonormados de vectores Um conjunto de vectores de R n diz-se ortogonal se os vectores do conjunto forem ortogonais dois a dois. Um conjunto ortogonal diz-se ortonormado se a norma de cada vector do conjunto é 1. Se nenhum dos vectores de um conjunto ortogonal é o vector nulo, pode-se obter um conjunto ortonormado efectuando o produto de cada vector pelo inverso da sua norma, dado que, 8v 2 R n n f(0; 0; : : : ; 0)g ; 1 kvk v 1 kvk kvk 1 kvk 1; kvk A este processo de multiplicar um vector pelo inverso da norma (ou seja, dividindo cada coordenada do vector pela norma do vector) chama-se normalização do vector v: 1. O conjunto de vectores f(0; 1; 0) ; (1; 0; 1) ; (1; 0; 1)g é ortogonal, pois (0; 1; 0) (1; 0; 1) 0 (0; 1; 0) (1; 0; 1) 0 (1; 0; 1) (1; 0; 1) 0: 2. Para obter um conjunto ortonormado a partir do conjunto do exemplo 1, basta normalizar os vectores. Como k(0; 1; 0)k 1; k(1; 0; 1)k p 2 k(1; 0; 1)k p 2 multiplicando cada vector pelo inverso da norma respectiva obtém-se o conjunto 1 1 (0; 1; 0) ; p (1; 0; 1) ; p (1; 0; 1) ; 2 2 que é ortonormado. 3. Um referencial ortonormado é um referencial no qual os vectores que o constituem formam um conjunto ortonormado.