Valores e vectores próprios

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1 ALGA - Eng Civil e EngTopográ ca - ISE - / - Valores e vectores próprios 5 Valores e vectores próprios Neste capítulo, sempre que não haja especi cação em contrário, todas as matrizes envolvidas são quadradas Se nada for dito em contrário, quando se fala de uma matriz A estamos a falar de uma matriz n n: De nição Seja um número real Diz-se que é um valor próprio da matriz A se existe uma matriz coluna não nula X n tal que AX = X À matriz coluna X chama-se vector próprio da matriz A associado ao valor próprio Exemplo: = = {z} ; pelo que é vector próprio de {z } {z } {z } A X X associado ao valor próprio : Determinação dos valores próprios de uma matriz Pretende-se determinar R para o qual exista X = n tal que AX = X: Tem-se que : AX = X,, AX X = n,, AX I n X = n,, (A I n ) X = n () A expressão () é um sistema homogéneo cuja matriz é A I n : Como se procura uma solução X = n ; o sistema tem de ter soluções não nulas, isto é, tem de ser indeterminado É sabido que um sistema homogéneo é indeterminado se e só se a característica da matriz do sistema é menor que n ou, ainda, se o determinante da matriz é nulo Assim, os valores próprios da matriz são os valores tais que car (A I n ) < n; ou tais que det (A I n ) = : É esta última equação, chamada equação característica de A; que se utiliza para o cálculo dos valores próprios O determinante de A I n é um polinómio na incógnita denominado polinómio característico da matriz A: Resumindo: Os valores próprios da matriz A são as soluções da equação det (A I n ) = ; ou seja, as raizes do polinómio característico de A; det (A I n ) : À matriz A I n chama-se matriz característica de A: Quando um valor próprio tem multiplicidade k como raiz do polinómio característico, diz-se que tem multiplicidade algébrica k:

2 ALGA - Eng Civil e EngTopográ ca - ISE - / - Valores e vectores próprios Observações: O polinómio característico de A tem grau n; pelo que tem no máximo n raizes Uma matriz de ordem n tem, portanto, no máximo, n valores próprios Uma matriz real pode não ter valores próprios reais Por exemplo, as raizes do polinómio característico da matriz que é + são i e i: Seja A = : A matriz característica de A é A I = pelo que o polinómio característico de A é det = ; cujas raizes são e : Os valores próprios de A são = e = ; ambos com multiplicidade algébrica Seja A = 5 : O polinómio característico de A é det 5 = ; Como = ( ) vê-se facilmente que as suas raizes são ; p p e : Os valores próprios de A são = ; = p e = p ; todos com multiplicidade algébrica A matriz 5 tem polinómio característico det + = ( +), pelo que os seus valores próprios são = ; com multiplicidade algébrica, e = ; com multiplicidade algébrica 5 = Valores próprios da matriz identidade: A matriz identidade I n tem como matriz característica a matriz I n I n ; que é uma matriz escalar em que os elementos da diagonal principal são todos iguais a : O polinómio característico de I n é ( ) n e o único valor próprio de I n é =, com multiplicidade algébrica n:

3 ALGA - Eng Civil e EngTopográ ca - ISE - / - Valores e vectores próprios 5 Valores próprios de uma matriz diagonal: Se A = [a ij ] nn é uma matriz diagonal, a sua matriz característica é também diagonal, pelo que o polinómio característico é (a ) (a ) (a nn ) e os valores próprios são a ; a ; ; a nn Valores próprios de uma matriz triangular: Se A = [a ij ] nn é uma matriz triangular (superior ou inferior), a sua matriz característica é também triangular, pelo que o polinómio característico é (a ) (a ) (a nn ) e os valores próprios são a ; a ; ; a nn Valores próprios da transposta de uma matriz A: det A T I n = det A T I T n = det h (A I n ) T i = det (A I n ) : Conclui-se que as matrizes A e A T têm o mesmo polinómio característico e, portanto, os mesmos valores próprios Determinação dos vectores próprios de uma matriz Depois de determinados os valores próprios de A; para determinar os vectores próprios associados a um determinado valor próprio basta resolver o sistema homogéneo indeterminado (A I n ) X = : As soluções não nulas deste sistema são os vectores próprios da matriz A associados a : Nota: Para um valor próprio ; o sistema (A I n ) X = tem garantidamente soluções não nulas, pois foi determinado de modo a que o sistema fosse indeterminado A matriz A = (exemplo da página ) tem valores próprios e : Vamos calcular a expressão geral dos vectores próprios associados a cada um dos valores próprios = : Os vectores próprios de A associados a são as soluções não nulas do sistema (A ( ) I ) X = ; ou seja, as soluções não nulas de do sistema homogéneo cuja matriz simples é + A ( ) I = = + e que tem por solução geral X = y ; y R Os vectores próprios associados a são da forma y ; y Rn fg

4 ALGA - Eng Civil e EngTopográ ca - ISE - / - Valores e vectores próprios 8 = : Os vectores próprios de A associados a são as soluções não nulas do sistema (A I ) X = ; ou seja, as soluções não nulas do sistema homogéneo cuja matriz é que tem por solução geral X = y A I = ; y R Os vectores próprios associados a são da forma y Para a matriz A = associados a = p são as soluções não nulas do sistema A p I X = em que A p I = A forma condensada desta matriz é procurados têm a expressão geral z Para a matriz ; y Rn fg 5 (do exemplo da página ), os valores próprios p p p p p ao valor próprio têm a expressão geral p p + 5 : 5 ; pelo que os vectores próprios 5 ; z Rn fg : 5, (exemplo da página ) os vectores próprios associados y 5 + z com y; z R, não simultaneamente nulos 5 ;

5 ALGA - Eng Civil e EngTopográ ca - ISE - / - Valores e vectores próprios 9 Multiplicidade geométrica Chama-se multiplicidade geométrica de um valor próprio ao grau de indeterminação do sistema (A I n ) X =, ou seja à dimensão do núcleo da matriz A I n : Como é sabido, o grau de indeterminação dum sistema é o número de variáveis livres na solução geral do sistema e, portanto, a multiplicidade geométrica de um valor próprio é o número de parâmetros livres na expressão geral dos vectores próprios associados a : Todos os valores próprios calculados nos exemplos anteriores têm multiplicidade geométrica, excepto no exemplo da da página, em que o valor próprio tem multiplicidade geométrica ; como se pode veri car através do exemplo da página 8 A matriz A = com multiplicidade algébrica : 5, triangular superior, tem um único valor próprio, = 5; Os vectores próprios associados a 5 são as soluções não nulas do sistema cuja matriz simples é A 5I = Como esta matriz tem característica ; o grau de indeterminação do sistema é e, portanto, = 5 tem multiplicidade geométrica : 5 : Neste último exemplo constata-se que as multiplicidades algébrica e geométrica de um valor próprio podem ser diferentes Pode-se, no entanto, provar a seguinte relação entre as multiplicidades: Teorema A multiplicidade geométrica de um valor próprio de uma matriz é menor ou igual à sua multiplicidade algébrica [ou: se é valor próprio de uma matriz A; m:g: () m:a: ()] Considerando que a multiplicidade geométrica de uma valor próprio é no mínimo, conclui-se facilmente, a partir deste teorema, o seguinte corolário: Corolário: Se um valor próprio tem multiplicidade algébrica ; a sua multiplicidade geométrica é também :

6 ALGA - Eng Civil e EngTopográ ca - ISE - / - Valores e vectores próprios Subespaços próprios Se é um valor próprio da matriz A, chama se subespaço próprio associado a ao conjunto U formado pela matriz coluna nula e por todos os vectores próprios associados ao valor próprio ; isto é: U = fx n : AX = Xg : O subespaço próprio de um valor próprio é constituído pela solução geral do sistema (A I n ) X = n e a multiplicidade geométrica de é o número de parâmetros livres nessa solução Veri ca-se facilmente que U é um subespaço vectorial de R n : Se X ; X U então X + X U X ; X U =) AX = X ^ AX = X =) AX + AX = X + X =) A (X + X ) = (X + X ) =) X + X U Se X U e R, então X U : X U =) AX = X =) AX = X =) A (X) = (X) =) X U Para A = Para A = Para A = tem-se U = ( y 5 tem-se U p = 8 >< 5 tem-se U = >: y 8 >< >: z ; y R ) p p z e U = ( y 9 >= 5 ; z R >; : 9 >= 5 ; y; z R >; ; y R ) : Nota: A dimensão de um subespaço próprio U é exactamente a multiplicidade geométrica do valor próprio Valores próprios e invertibilidade Se uma matriz A admite o valor próprio, então é raiz do polinómio característico de A; isto é, det (A I n ) = e a matriz tem determinante nulo, pelo que não é invertível Por outro lado se A não é invertível, car (A) < n e o sistema AX = n tem soluções não nulas, ou seja, existe X = tal que AX = n e, portanto, é valor próprio de A: Acabámos de mostrar que:

7 ALGA - Eng Civil e EngTopográ ca - ISE - / - Valores e vectores próprios Teorema: Uma matriz A não é invertível se e só tem como valor próprio ou Teorema: Uma matriz A é invertível se e só se não tem como valor próprio Pode-se então enunciar o seguinte resultado: Teorema: Seja A uma matriz quadrada de ordem n São equivalentes as a rmações: (a) car (A) < n: (b) A matriz A não é invertível (c) det A = (d) O sistema AX = é indeterminado (e) A matriz A admite o valor próprio : Diagonalização de matrizes Uma matriz A diz-se semelhante a uma matriz B se existir uma matriz P; invertível, tal que B = P AP: Note-se que se A é semelhante a B, então também B é semelhante a A B = P AP =) P BP = A Proposição: Se uma matriz A é semelhante a uma matriz B, então A e B têm o mesmo polinómio característico e, portanto, os mesmos valores próprios Demonstração: Se A é semelhante a B, existe P; invertível, tal que B = P AP: Então: det (B xi n ) = det P AP xi n = = det P AP xp P = = det P (A xi n ) P = = det P det (A xi n ) det P = = (det P ) det (A xi n ) det P = = det (A xi n ) : Uma matriz A diz-se diagonalizável se é semelhante a uma matriz diagonal, isto é, se existirem matrizes D; diagonal, e P; invertível, tais que D = P AP: À matriz P chama-se matriz diagonalizante

8 ALGA - Eng Civil e EngTopográ ca - ISE - / - Valores e vectores próprios Qualquer matriz diagonal é diagonalizável, pois qualquer matriz é semelhante a si própria De facto A = In AI n : A matriz A = é diagonalizável, pois = Observações: Se uma matriz A é diagonalizável os seus valores próprios são as entradas diagonais da matriz D a que A é semelhante; pois, pela proposição acima, os seus valores próprios são os mesmos da matriz D, ou seja, as suas entradas diagonais: Quando uma matriz é diagonalizável, torna-se fácil o cálculo de potências de qualquer ordem da matriz: Para uma matriz D diagonal, D = diag fd ; : : : ; d n g tem-se, D k = diag d k ; : : : ; d k n ; 8k N: Sendo A diagonalizável, existem D; diagonal, e P, invertível, tais que D = P AP e, portanto, A = P DP : Para k N; A k = P DP k = P DP P DP : : : P DP {z } = k vezes = P D P P D P P : : : P P {z } {z } {z } =I n =I n =I n DP = P D k P Teorema Seja A uma matriz quadrada de ordem n: A matriz A é diagonalizável se e só se existe uma matriz invertível P cujas colunas são vectores próprios de A: Demonstração: Mostrar uma a rmação envolvendo se e só seé provar uma equivalência entre duas condições, ou seja, provar duas implicações, uma em cada sentido =) Suponhamos que A é diagonalizável Então existem matrizes p p p n D = 5 e P = p p p n n p n p n p nn 5 ; invertível tais que P AP = D Daqui sai que AP = P D:Temos então: p p p n p p p n AP = P D = 5 5 = p n p n p nn n p p n p n p p n p n 5 p n p n n p nn ()

9 ALGA - Eng Civil e EngTopográ ca - ISE - / - Valores e vectores próprios Por outro lado, designando as colunas de P por P ; : : : ; P n ; veri ca-se que Igualando () e () obtém-se: AP = [AP AP : : : AP n ] () AP = P ; AP = P ; : : : ; AP n = n P n Como P é invertível, todas as suas colunas são não nulas e, portanto, cada P i ; para i = ; : : : ; n; é um vector próprio de A associado ao valor próprio i : (= Suponhamos agora que existe uma matriz invertível P cujas colunas P ; : : : ; P n são vectores próprios de A associados, respectivamente, a valores próprios ; : : : ; n : Tem-se: AP = P ; AP = P ; : : : ; AP n = n P n Utilizando () obtém-se AP = [AP AP : : : AP n ] = [ P P : : : n P n ] = p p n p n p p n p n = 5 = p n p n n p nn p p p n p p p n = 5 5 = P D; p n p n p nn n em que D é uma matriz diagonal cujas entradas diagonais são os valores próprios de A: Como AP = P D implica que P AP = D; A é diagonalizável Coloca se agora a questão de saber quando existe uma matriz invertível P cujas colunas são vectores próprios de A: A resposta é dada no seguinte teorema: Teorema: Sendo A uma matriz quadrada de ordem n; existe uma matriz invertível P cujas colunas são vectores próprios de A se e só se a soma das multiplicidades algébricas dos valores próprios de A é n e as multiplicidades algébrica e geométrica de cada valor próprio de A coincidem: Dos dois últimos teoremas conclui-se: Corolário : Uma matriz quadrada A; de ordem n; é diagonalizável se e só se a soma das multiplicidades algébricas dos valores próprios de A é n e as multiplicidades algébrica e geométrica de cada valor próprio de A coincidem:

10 ALGA - Eng Civil e EngTopográ ca - ISE - / - Valores e vectores próprios Corolário : Se uma matriz quadrada A; de ordem n; tem n valores próprios distintos, então é diagonalizável Nota: Este último corolário não é se e só se Há matrizes diagonalizáveis que não têm n valores próprios distintos A matriz 5 tem um único valor próprio real, : As multiplicidades algébrica e geométrica de coincidem (são ambas ), mas a soma das multiplicidades algébricas dos valores próprios não é e A não é diagonalizável A matriz 5, tem dois valores próprios: com multiplicidade algébrica e com multiplicidade algébrica A soma das multiplicidades algébricas é ; mas, como o subespaço próprio de 8 9 < = U = : 5 ; com R ; ; a multiplicidade geométrica de de não coincidem, A não é diagonalizável A matriz 5 tem dois valores próprios: é é Como as multiplicidades algébrica e geométrica com multiplicidade algébrica e com multiplicidade algébrica A soma das multiplicidades algébricas é : Os subespaços próprios são 8 9 < = U = : 5 ; com R ; ( tem multiplicidade geométrica ), e 8 < U = : = 5 ; com ; R ; ( tem multiplicidade geométrica ), pelo que as multiplicidades algébrica e geométrica dos dois valores próprios coincidem Conclui-se que esta matriz é diagonalizável Neste caso, para se construir a matriz diagonalizante P; escolhem-se três vectores próprios de A; um associado a associados a e dois Para garantir a invertibilidade de P; escolhe-se, na expressão geral

11 ALGA - Eng Civil e EngTopográ ca - ISE - / - Valores e vectores próprios 5 dos vectores próprios, um ligado a cada um dos diferentes parâmetros que aí guram A matriz diagonal D tem na diagonal os valores próprios de A, pela ordem em que guram, nas colunas de P; os vectores próprios a eles associados: A matriz P pode, então, ser P = 5 e, neste caso, P AP = 5 : A matriz 5 tem três valores próprios distintos, por isso é diagonalizável