Acadêmico(a) Turma: Capítulo 2: MATRIZES

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Laura de Sousa Silva
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1 1 Acadêmico(a) Turma: 2.1. Definição Capítulo 2: MATRIZES A teoria das matrizes e a teoria dos determinantes são pré-requisitos para resolução e discussão de um sistema linear. Define-se matriz m x n uma tabela de m por n números disposto em uma tabela de m linhas e n colunas. A mxn : A é uma matriz que possui m linhas e n colunas. Ex: A 2x3 = matriz 2x3 [ ] 3 5 A 4x1 = matriz 4x1 [ ] 0 3 a 11 a 1j A mxn = matriz mxn [ ] a i1 a ij 2.2 Classificação de Matrizes 1ª) Matriz Linha: Toda matriz da forma A1xn, ou seja, possui uma única linha. Ex: A= [3 0 2] 2ª) Matriz Coluna: Toda matriz da forma Anx1,ou seja, possui uma única coluna 2 Ex : A= [ 7] 3 3ª) Matriz Quadrada: Toda matriz que possui o número de linhas igual o número ao número de colunas Anxn ou Amxm.

2 2 Ex: Matriz 2x2 A= [ ] Matriz 3x3 A= [ 2 5 3] iguais Diagonal principal: São os elementos da matriz quadrada cujos índices são Dp= {aij i=j} = {a11; a22; a33;... aii} Diagonal secundária: São os elementos de uma matriz quadrada em que os índices tem soma igual a n+1 Ds= {aij i j} = {a12; a31; a32;... aij} 4ª) Matriz Nula: É toda matriz que possui os elementos iguais a zero Ex: A= [ 0 0 0] ª) Matriz Identidade: Toda matriz que possui a diagonal principal igual a 1 e os demais termos iguais a 0 Ex: I2= [ ] 2.3 Operações com Matrizes Soma e subtração A adição e subtração de matrizes são definidas somente para matrizes de mesma ordem. Para somar ou subtrair matrizes iguais, bastar somar ou subtrair os elementos correspondes de cara matriz. Ex: 1- A = [ ] e B = [ ] A + B = [ 2 + ( 1) ] = [ ]

3 A =[ 6 8 1] e B= [ 5 2 1] A B = [ ] = [ 1 6 2] Produto de um número (constante) por matriz Multiplicar uma matriz por um número significa obter uma nova matriz com todos os elementos da primeira matriz multiplicado pelo número. 2 1/2 Ex: 1-4x [ 3 4 ] = [ ] x [ 5 ] = [ 10] Produto de matrizes O produto de matrizes é definido quando o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda matriz, resultando em uma nova matriz com o número de linhas da primeira matriz e o número de colunas igual ao da segunda matriz, isto é: Quando a condição é satisfeita, os elementos da linha 1 da matriz A irá multiplicar os elementos das colunas da matriz B, gerando assim a primeira linha de elementos da

4 4 matriz C. Depois, a segunda linha da matriz A irá multiplicar, novamente os elementos das colunas da matriz B, gerando a segunda linha da matriz C, e assim sucessivamente. 1 0 Ex: A 3x2 = [ 2 2] e B 2x3 = [ ] 3 4 Lembrando que AB BA, já que: A 3x2 xb 2x3 Número de colunas de A é igual ao número de linhas de B, gerando uma matriz 3x3 B 2x3 x A 3x2 Número de colunas de B é igual ao número de linhas de A, mas gera uma matriz 2x Propriedades da multiplicação de Matrizes 1- Associativa: Considere a matriz A mxn, B nxp e C pxq Logo: ABC = A(BC) = (AB)C 2- Distributiva: Considere as matrizes A mxn, B mxn e C nxp Logo: (A+B)C = AC +BC 3- Não comutativa: Como visto anteriormente, AB BA

5 5 2.7 Matriz identidade A matriz identidade é uma matriz quadrada em que os elementos da diagonal principal são todos iguais a um e os demais elementos iguais a zero. A matriz identidade funciona como um elemento neutro da multiplicação de matrizes,, ou seja, qualquer que seja a matriz quadrada A de ordem n, tem-se que: 2.8 Matriz Transposta A I n = I n A = A Denominamos a matriz transposta de A por A t. Considerando que A=(aij)mxn, tem-se que: A t = (a t ji)nxm e a t ji = aij. Para se obter a matriz transposta de uma matriz, basta inverter as linhas e as colunas da mesma. Ex: 1- A = [ ] At = [ 5 3] A = [ ] At = [ ] Propriedades da matriz transposta 1- (A t ) t = A 2- (A + B) t = A t + B t 3- (AB) t = B t A t 4- (ka) t = k A t 2.9 Matriz inversa Matriz inversa de A é aquela matriz B, tal que: AB = BA = elemento neutro Sabe-se que o elemento neutro no produto de matrizes é a matriz identidade (I), logo chama-se a matriz B de matriz inversa de A, representada por A -1 Definição: Dada uma matriz inversível A, chama-se inversa de A a matriz A -1, tal que A*A -1 = A -1 *A= In

6 6 Ex: A = [ ], A 1 =? Seja A 1 = [ x y z w ], tal que A A 1 = I Logo: [ 1 2 z ] [x 3 4 y w ] = [ ] Efetuando o produto entra A e A -1 tem-se: x + 2y z + 2w [ 3x + 4z 3 + 4w ] Igualando o produto das matrizes a identidade: x + 2y z + 2w [ 3x + 4y 3z + 4w ] = [ ] x + 2y = 1 Logo: { 3x + 4y = 0 z + 2w = 0 e { 3z + 4w = 1 Resolvendo as equações: x = 2 y = 6 4 z = 1 w = 1 2 Logo a matriz inversa de A é A 1 = [ ] 4 1 2

7 7 Lista de Exercícios (UFV) Dada a matriz: A = [ ], determine: a) A² b) A.A t c) 2A+3A t 2- (PUC) Os números reais x, y e z que satisfazem a equação matricial mostrada a seguir são tais que sua soma é igual a: x 1 y [ ] [1 z x + y + z 0 1 ] = [ ] 3- (UEL) Considere as matrizes M e M² representadas a seguir: Qual o valor do número real a? M = [ a 0 b a ] e M2 = [ ] 4- (UEL) Sejam as matrizes A e B, 3x4 e pxq, respectivamente. Se a matriz A*B é 3x5, qual o valor de p e q? 5- Faça a multiplicação das matrizes abaixo, quando possível: 2 4 a) [ 7 3 ] [ ] 10 2 b) [ ] [ 0 6] c) [ ] [ 1 9] d) [ 4 ] [ ] 2 5- (Vunesp) Seja A=[ aij] a matriz real 2x2 definida por aij=1se i j e aij= -1 se i>j. Calcule: a) A -1 b) A 2

8 8 6- (UEL) Qual o valor da soma de todos os elementos da inversa da matriz M mostrada a seguir? M = [ ] (Unirio) Dada a matriz A = [ 3 2 ], determine o valor de A-1 +A t -I Qual o elemento a23 da matriz inversa de [ 2 1 0]? (Fuvest) Considere as matrizes: A= (aij)4x7, tal que aij= i j; B= (bij)7x9, tal que bij = i e C= AB. Calcule os elementos C63 e C38.

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