Uma matriz m x n é um quadro de elementos dispostos em m linhas e n colunas. Os valores de m e n são sempre positivos e inteiros.

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Sílvia Ramalho de Escobar
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1 MATRIZES

Cada elemento da matriz é indicado por aij, onde i refere-se à linha e j refere-se à

2 DEFINIÇÃO Uma matriz m x n é um quadro de elementos dispostos em m linhas e n colunas. Os valores de m e n são sempre positivos e inteiros. M = à M é uma matriz 2 x 3. Cada elemento da matriz é indicado por aij, onde i refere-se à linha e j refere-se à coluna na qual o elemento se encaixa. Na matriz, temos : a 11 = 4 a 12 = 9 a 13 = 10 a 21 = 8 a 22 = 6 a 23 = 5

3 ELEMENTOS

4 Exercício 1. Determine a matriz A = ( a ij ) 2 x 2, em que a ij = i + j, se i = j e a ij = i j, se i j.

5 Exercício 2. Multiplique os elementos da diagonal principal da matriz M quadrada de ordem 3 x 3 onde a ij =

6 TIPOS DE MATRIZES

7 Exercício 3. Determine as matrizes oposta e transposta das matrizes abaixo: a)

8 Exercício b)

9 Exercício c)

10 Exercício 4. Calcule x e y para que a matriz seja simétrica.

11 Exercício 5. Seja A a matriz A = (aij) 2x3, cuja lei de formação é dada abaixo. É correto afirmar que:

12 Exercício 6. Sendo as matrizes A = (aij) e B=(bij),quadradas de ordem 2 com aij = i² - j² e bij = -i² + j², o valor de A B é :

14 Igualdade de matrizes Duas matrizes, A e B, serão iguais se forem do mesmo tipo e se os elementos correspondentes forem iguais. Determine x e y para que as matrizes A e B sejam iguais.

15 Adição e subtração de matrizes Dadas duas matrizes de mesmo tipo, A e B, denomina-se matriz soma (A+B) a matriz obtida adicionando-se os elementos correspondentes de A e B, o mesmo ocorre para a subtração. A única necessidade é que as matrizes sejam do mesmo tamanho nxm.

16 Exemplo Resolvido Dadas as matrizes A e B determine A+B.

17 Exercício 7. Determine a matriz C, resultado da soma das matrizes A = e B =

18 Exercício 8.Dadas as matrizes A =, B = e C = determine a matriz D resultante da operação A + B C.

19 ümultiplicação de número real por matriz Dada uma matriz A e um número real k, denomina-se multiplicação de matriz por escalar (numero real K), a matriz obtida multiplicando-se cada um dos seus elementos por k. Observe como exemplo a determinação da matriz.

20 ümultiplicação de matrizes Sendo A uma matriz do tipo mxn e B uma matriz do tipo nxp, define-se produto da matriz A pela matriz B a matriz C, do tipo mxp, tal que cada elemento de C é calculado multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha i da matriz A pelos elementos correspondentes da coluna j da matriz B e, a seguir, somando-se os produtos obtidos.

21 Exemplo Resolvido ATENÇÃO: O produto entre duas matrizes A e B é definido se e somente se, o número de colunas da matriz A for igual ao numero de linhas da matriz B. Assim:

22 ATENÇÃO O produto entre duas matrizes A e B é definido se, e somente se, o número de colunas da matriz A for igual ao numero de linhas da matriz B. Assim:

23 9. Calcule o produto de A = por B =

24 10. Se A é uma matriz 3 x 4 e B uma matriz n x m, então: a) existe A + B se, e somente se, n = 4 e m = 3; b) existe AB se, e somente se, n = 4 e m = 3; c) existem AB e BA se, e somente se, n = 4 e m = 3; d) existem, iguais, A + B e B + A se, e somente se, A = B; e) existem, iguais, AB e BA se, e somente se, A = B.

25 11. Sobre as sentenças abaixo: I. O produto das matrizes A 3x2.B 2x1 é uma matriz 3 x 1. II. O produto das matrizes A 5x4.B 5x2 é uma matriz 4 x 2 III. O produto das matrizes A 2x3.B 3x2 é uma matriz quadrada 2x2. É verdade que: a) Somente I é falsa; b) Somente II é falsa; c) Somente III é falsa; d) Somente I e III são falsas; e) São todas falsas.

26 12. O valor de a para que a igualdade matricial abaixo seja verdadeira é: a) 1 b) 2 c) 0 d) -2 e) -1

27 13. Calcule a matriz transposta da matriz C dado que C =

28 14. Sendo as matrizes A = (aij) e B = (bij), quadradas de ordem 2 com aij = i² j 2 e bij = -i² + j², o valor de A - B é

29 DEFINIÇÃO MATRIZ INVERSA Uma matriz quadrada A, é dita invertível quando existe outra matriz denotada A -1, tal que A. A -1 = I onde I, é a matriz identidade.

30 Exemplo Resolvido Se queremos descobrir a matriz inversa da matriz A representada abaixo recorremos a uma matriz genérica que nos permitirá multiplicar as matrizes. Assim: A = e A -1 =

31 MÉTODO PRÁTICO É necessário calcular o determinante da matriz (caso o determinante de igual a zero, não existe matriz inversa para ela). Em seguida basta inverter a ordem dos elementos da diagonal principal e trocar o sinal dos elementos da diagonal secundária. MÉTODO PP-SS :Inverte a POSIÇÃO da PRINCIPAL e muda o SINAL da SECUNDÁRIA

32 15. Determine a inversa da matriz A =

33 16. Determine o valor de x que garante que a matriz tem inversa.

34 17. Caso exista, encontre a inversa da matriz

35 18. Sejam as matrizes Onde x e y são números reais e M é a matriz inversa de A. Então o produto xy é: a) 3/2 b) 2/3 c) 1/2 d) 3/4 e) 1/4

36 19. Multiplicando-se por obtém-se a matriz.então o valor de x é: a) -1 b) 0 c) 1 d) 2 e)3

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