UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL SOLUCIONÁRIO DE ÁLGEBRA. Realização:

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL SOLUCIONÁRIO APOSTILA DE ÁLGEBRA Realização: 2012

2 1. Matrizes 1.3. Questões 1. A = e B = AB = = = BA = = = 2. A = B, tal que B² =A B mxn. B mxn = A 2x2 m = 2 e n = 2 B = a² + BC = 3 b.(a + d) = -2 (a + d) = -2/b -2/b = -4/c 2b = c ab + bd = -2 c.(a+d) = -4 (a + d) = -4/c ca + dc = -4 cb + d² = 3 Substituindo 2b = c a² + 2b² = 3 2b² = 3 a² ab + bd = -2 3 a² = 3 d² a² = d² a = ±d 2b² + d² = 3 2b² = 3 d² Se a = -d a.b + b.d = -2 -db + bd = -2 0 = -2 (Absurdo!) Então a = d, já que db + bd = -2 bd = -1 (Possível) Substituindo a = d a² + 2b² = 3 ab + ab = -2 ab = -1 b = -1/a [d = a e 2b = c] c = -2/a A matriz se torna então:

3 B = B² = a² + 2/a² = = -2 a² + 2/a² = 3 chamando x = a² -2 2 = -4 x + 2/x = 3 x² + 2 = 3x x² - 3x +2 = 0 2/a² + a² = 3 = b²- 4ac = (-3)² -4.(1).(2) = 9 8 = 1 Como x = a² P/ x = 2 2 = a² a = P/ x = 1 1 = a² a = Então, há 4 possíveis valores para a: Então, há 4 possíveis matrizes B: a = B 1 = a = B 2 = B 3 = a = 1 B 4 = a = -1

4 3. A 0 e AB = AC, A, B, C têm multiplicação definida a) B = C? A mxn. B axb = A mxn. C cxd Sabe-se que A mxn. B axb = M mxb n = a A mxn. C cxd = M mxd n = c M mxb = M mxd, então b = d. E n = a, n = c. Então, a = c. Então: A mxn.b nxb = A mxn.c nxb (A -1.A).B = (A -1.A).C = IB = IC, então B = C. b) Se existir Y tal que YA = I, B = C? Sabe-se que a matriz identidade tem a forma I nxn Então Y nxm.a mxn = I nxn AB = AC A mxn.b axb = A mxn. C cxd Y nxm.a mxn.b axb = Y nxm.a mxn.c cxd I nxn.b axb = I nxn.c cxd b = d, n = a = c M nxb M nxd Y.A.B = Y.A.C I.B = I.C B = C 4. A e B são comutativas se AB = BA Encontrar M = que sejam comutativas com x.1 + y.0 = 1.x + 1.z x = x + z z = 0 z.1 + w.0 =0.x + 1.z z = z x.1 + y.1 = 1.y + 1.w x + y = y + w x = w z.1 + w.1 = 0.y + 1.w z + w = w z = 0 Então M, para obedecer ao sistema acima, deve ser da forma: 5. A = a) A² = A.A

5 A³ = A².A = A.A² (I) (II) (I) A².A = (II) A.A² = Então A³ = b) f(x) = x³ - 3x² + 4, f(a) =? f(a) = f(a) = f(a) = c) g(x) = x² - x 8, g(a) =? g(a) = g(a) = 6. a) b) c)

6 d) e) f) 7. A mxm e B mxm A é invertível, então A.A -1 = A -1.A = I Mostrar por indução que (A.B.A -1 ) n = A.B n.a -1 Supõe-se que (ABA -1 ) n = AB n A -1 é verdadeiro. Então: P/ n = 1 (A.B.A -1 ) 1 = A.B1.A -1 = A.B.A -1 P/ n = 2 (A.B.A -1 ) 2 = (A.B.A -1 ).(A.B.A -1 ) = A.B.(A -.. A).B.A -1 = A.B.I.B.A -1 = A.B 2.A -1 Supõe-se que para n = k, a afirmativa é verdadeira. Então (A.B.A -1 ) k = A.B k.a -1

7 Então se deve provar que para n = k + 1 a afirmativa é verdadeira. (A.B.A -1 ) k+1 = (A.B.A -1 ) k.(a.b.a -1 ) = (A.B k.a -1 ).(A.B.A -1 ) = A.B k.(a -1.A).B.A -1 = A.B k.i.b k.b.a -1 = A.B k.b.a -1 = A.B (k+1).a Resp.: a12 = 4; a13 = 2; a23 = -4; 9. a) Resp.: A matriz S é simétrica b) Resp.: A matriz P é antissimétrica. 2. Determinantes 2.3. Questões 1. A = e B = a) deta + detb = ( ) + (3.1 0.(-1)) = = 1 b) det(a + B) = = = 4 1 = 3 2. a) det(ab) = det(ba) det(ab) = deta.detb e det(ab) = detb.deta Como deta.detb = detb.deta Temos que det(ab) = det(ba) Afirmativa verdadeira! b) A afirmativa é verdadeira! c) det(2a) = 2detA Sabe-se que det(x.a) = x n deta Portanto det(2a) = 2 n deta A afirmativa é falsa! d) det(a²) = (deta)² det(a²) = det(a.a) = deta.deta = (deta)² A afirmativa é verdadeira!

8 3. a) A = D = a 14 c 14 + a 24 c 24 + a 34 c 34 + a 44 c 44 c ij = (-1) i + j. c 24 = (-1) 2+4 = 1. (11 + 7) = 18 c 34 = (-1) 3+4 = -1. (12-10) = -2 D = 0.c (-2) + 0.c 44 = 18 6 = 12 b) A = D = a 14 c 14 + a 24 c 24 + a 34 c 34 + a 44 c 44 c ij = (-1) i + j. c 14 = (-1) 1+4 = -1. (2i i² + I + 3i) = -1.(6i + 1) = -6i - 1 c 24 = (-1) 2+4 = 1. (7i + 2i + i²) = 9i 1 c 44 = (-1) 4+4 = 1. (12 + i² i - 1) = i = i D = -i.(-6i - 1) + i.(9i 1) + 0.c (20 +3i) = 5 + 3i 4. D = a 11 c 11 + a 12 c 12 + a 13 c 13 + a 14 c 14

9 c ij = (-1) i + j. c 11 = (-1) 1+1 = D = a 1 5. = (-1) D = (b a)(c² - a²) (c a)(b² - a²) = (b a)(c a)(c + a) (c a)(b a)(b + a) = (b a)(c a)(c + a b a) = (b a)(c a)(c b) = (-1)(a b)(c a )(-1)(b c) = (a b )(b c)(c a) a) deta = 1, A -1 = A Se A é invertível, então temos que Como deta = 1, adja é a matriz transposta dos cofatores de A. Ou seja, sendo C a matriz dos cofatores de A, adja = C t. Como deta = 1, C = A. Então adja = A t. Da mesma forma, como deta = 1, A t = A. Portanto, adja = A. Desta forma, temos que A -1 = A. Afirmativa verdadeira! b) Se A é invertível, então temos que A é matriz triangular superior, ou seja A = (a ij ) e a ij = 0 sempre que i > j. adja a matriz transposta dos cofatores de A. Ou seja, sendo C a matriz dos cofatores de A, adja = C t. Como A é matriz triangular superior, a ij = 0 sempre que i > j, C é matriz triangular inferior, a ij = 0 sempre que i < j, e C t é matriz triangular superior, a ij = 0 sempre que i > j. Desta forma, A -1 também é matriz triangular superior. A afirmativa é verdadeira! c) Sendo A =, k 1 = k 2 = k 3 =... = k n = k Temos que deta = k 1. (-1) 1+1. k 2. (-1) 1+1. k 3. (-1) k n-2. (-1) 1+1.

10 deta = k 1. k 2. k k n-2. k n 2 = k. k. k.. k. k 2 = k n-2. k 2 = k n A afirmativa é verdadeira! d) Sendo A =, uma matriz triangular superior Temos que deta = a 11. (-1) 1+1. a 22. (-1) 2+2. a 33. (-1) a (n-2)(n-2). (-1) n-2+n deta = a 11. a 22. a a (n-2)(n-2). a (n-1)(n-1). a nn A prova é análoga para uma matriz triangular inferior. A afirmativa é falsa! = = 0 9., em que n= a.d b.c 3. Sistemas Lineares c. Questões 1. a) kx + y + z = 1 x + ky + z = 1 x + y + kz = 1 D =

11 D = k³ - 3k + 2 = k³ - 3k +3 1 = (k³ - 1) + 3(1 k) = (k 1)(k² + k + 1) 3(k 1) = (k² + k + 1 3)(k 1) = (k² + k 2)(k 1) = (k + 2)(k 1)² P/ k = 1 D = D x = D y = D z = = 0 Sistema Possível e Indeterminado P/ k = -2-2x + y + z = 1 x - 2y + z = 1 x + y - 2z = 1 D = = 0 D x = = 9 Sistema Impossível D y = = 9 D z = = 9 P/ Sistema Possível e Determinado b) x + y + kz = 2 3x + 4y +2z = k 2x + 3y - z = 1 D = D = 9k 8k = k 3 P/ k = 3

12 -2x + y + z = 1 x - 2y + z = 1 x + y - 2z = 1 D = = 0 D x = = 0 Sistema Possível e Indeterminado D y = = 0 D z = = 0 P/ Sistema Possível e Determinado 2. a) x + y + z = 1 2x - 3y + 7z = 0 3x - 2y + 8z = 4 0 = 1 (Absurdo!) Sistema Impossível. b) x - y + 2z = 4 3x + y + 4z = 6 x + y + z = 1

13 Chamando z = λ, temos x = 5/2-3λ/2 e y = -3/2 + λ/2, c) 2x - y + 5z = 19 x + 5y - 3z = 4 3x + 2y + 4z = 25 d) x + 3y + z = 0 2x + 7y + 4z = 0 x + y - 4z = 0

14 3. a) Fazendo x = 0 2y w = 2 w + 2 = 2y 2y = 2z y = z 2z w = 2 w + 2 = 2z 2y + 2z w = 4 2y + 2y w = 4 4y w = 4 4y + 4z 3w = 8 4y + 4y 3w = 8 8y 3w = 8-12y + 3w = -12 8y 3w = 8-4y = -4 y = 1 z = 1 w = 4y 4 w = 4 4 w = 0 b),

15 c) d) Toda matriz-solução obtida em b) é a soma de uma matriz-solução encontrada em c) com a solução particular encontrada em a). 4. a) 3x + 5y + 12z - w = -3 x + y + 4z - w = -6 2y + 2z + w = 5

16 , b) 3x + 5y + 12z - w = -3 x + y + 4z - w = -6 2y + 2z + w = 5 2z + kw = 0 D = a 11 c 11 + a 21 c 21 + a 31 c 31 + a 41 c 41 c ij = (-1) i + j. c 11 = (-1) 1+1 = 1. (2k 4 8k 2) = -6k 6 c 21 = (-1) 2+1 = -1. (10k 4 24k 10) = 14k + 14 D = 3.( -6k 6) + 1.( 14k + 14) + 0.c c 41 = -18k k + 14 = -4k 4-4k 4 = 0 k = -1 (Sistema impossível) 5. x 1 + x 2 + 5x 3 8x 4 = 1 x 1 + 4x x 3 3x 4 = 1-2x 1 + x 2 2x x 4 = -2 3x 2 + 8x 3 + 5x 4 = 0

17 4. Vetores c. Questões 1. a) (8,9,4) b) (-4,28,10) c) (10,22,9) d) (9,10,15) 5. Operações com vetores c. Questões 2. a) -8, b) -43, c) 1,75

18 3. a) (4, -1, 3), b) (-6, 12, -30), c) (-13, -9, 20), d) -9, e) (-1, 17, 7) 4. Assumindo um dos vetores como (x,1,1) temos que x=-1. Assim temos o outro vetor como (- 4, -5, 1), para serem unitários basta dividi-los pelas suas normas. Existem outras soluções dependendo dos valores arbitrários escolhidos como neste caso (x,1,1).. 5. C = 2 6. m = a = (3, 6, -7) b = (3x, y + 2,21) 3 x 3x + 6 x (y+2)-7 x 21 = 9x+6y-135 = 0 X = (135 6y)/9 Sendo x = 1, y = 21; b = (3,23,21) 9. a) 3 b) 4i + 13j 10k ;(4,13,-10) c) -22 d) Espaços vetoriais a. Questões 1. Usando as operações com matrizes verifica-se para elementos de M(2,2) são fechadas para a soma e multiplicação por escalar e verifica-se as propriedades da soma(associativa, comutativa, elemento neutro, oposto) e multiplicação(distributiva por vetor, distributiva por escalar, associativa, neutro). Dica: quando necessário use a matriz nula, O onde todos os elementos são nulos, e também a matriz identidade.

19 2. Foram definidas as operações de soma e multiplicação por escalar. Agora verifica-se as propriedades da soma e multiplicação. Dicas: 1. use as definições das operações. Por exempo: (r(f+g))(x) = r(f+g)(x)=r(f(x)+g(x))=rf(x)+rg(x) = (rf)(x)+(rg)(x) = (rf + rg)(x). 1 (x). exemplo. 2.Outra é que você deve usar funções como N(x) = 0, O(x) = -f(x) e I(x)=f - 3.Pode-se usar funções particulares para verificar, como f(x)=ax, por 7. Subespaços vetoriais a. Questões 1. a) Seja, temos de verificar as seguintes condições: 1. : 2. Seja, então є W: 3. Seja, então : Logo, está provado que W é um subespaço vetorial de. B) Seja, temos de verificar as seguintes condições: 1. : 2. Seja, então

20 є U: 3. Seja, então : Logo, está provado que U é um subespaço vetorial de. 3. a), logo: 1. (OK) 2. Seja, então є : 3. Seja, então : Logo é um subespaço vetorial de., logo: 1. (OK) 2. Seja, então є : 3. Seja, então : Logo, é um subespaço vetorial de., logo: 1. (OK) 2. Seja, então є : 3. Seja, então :

21 Logo, é um subespaço vetorial de. b), logo: 1. (OK) 2. Seja, então є : (NÃO SATISFAZ) Logo, W não é um subespaço vetorial de 4. Resp: b, c e d a) Sim b) Não c) Não Resp: Sim. 8. Combinação linear a. Questões 1. Nenhum 2. a) b) Não há solução. 3. a) b) Não há solução.

22 c) d), onde Resp: Coeficientes a = 2 e b = 4 6. Resp: q(t) = p 1 (t) 3p 2 (t) + p 3 (t) 9. Dependência e independência linear c. Questões 1. Seja, temos: Logo, Pela Regra de Cramer, temos que: Sabemos que, para eles serem LD, x e y devem aceitar soluções diferentes de 0. Para isso, temos: Se, a única solução será, logo os vetores serão LI.

23 2. Sejam os vetores, temos: Logo, Pela Regra de Cramer, temos: Logo, para os vetores serem LD, o sistema tem de aceitar soluções diferentes de 0. Então, 3. a) Sejam os polinômios e, temos: Logo, Pela Regra de Cramer, temos:

24 Após os cálculos, encontramos que, logo há infinitas soluções para esse sistema, o que significa que os polinômios são LD. 4. a) Sejam os vetores, temos: Logo, Pela Regra de Cramer, temos: Após os cálculos, encontramos que, logo há infinitas soluções para esse sistema, o que significa que os vetores são LD. b) Sejam os vetores, temos: Logo,

25 Pela Regra de Cramer, temos: Logo, há infinitas soluções c) Sejam os vetores, temos: Logo, Logo, há infinitas soluções. d) Sejam os vetores, temos: Logo, Pela Regra de Cramer, temos: Logo, há infinitas soluções.

26 5. Sejam os vetores, temos: Logo, Pela Regra de Cramer, temos: Após os cálculos, encontramos que, então o sistema possui infinitas soluções e os vetores são LD. 6. Temos: Substituindo pelas combinações dos x s e agrupando os termos:

27 Sabendo que { } é L.I.: Tendo como única solução. Portanto { } é L.I. 7. Temos que e são L.D. ( ) (Provando a ida) ; admitindo soluções além da trivial. Se. Se. ( ) (Provando a volta) Então: ; como pode ser diferente de zero: ; portanto para valores arbitrários de e basta fazermos que dessa forma haverá soluções além da trivial.